扰动引力场对远程火箭影响的分析及补偿方法研究进展

吴燕生，王宗强，宋剑爽

(1. 中国航天科技集团有限公司，北京 100048； 2. 北京宇航系统工程研究所，北京 100076)

0 引 言

远程火箭是国家战略力量的主要组成部分，而精确命中能力和快速发射能力是其最为核心的指标。对于采用纯惯性制导的远程火箭而言，影响其精度的因素主要有制导工具误差和制导方法误差。惯性平台、加速度表、陀螺仪等工具性能不完善引起的落点偏差，属于制导工具误差。在发展初期，远程火箭精度的70%～90%取决于制导工具误差。近年来，随着惯性测量系统硬件水平和标定技术的提高，制导工具误差大幅度降低，使得其对精度的影响逐渐减少。相对而言制导方法误差的影响逐渐凸显。地球扰动引力场是引起远程火箭制导方法误差的最主要误差源，其对远程火箭精度的影响体现在两方面[1]：

1)影响火箭的受力。由于箭上惯导系统无法敏感地球引力，因此火箭在箭上进行导航与制导解算时地球引力只能基于简化的数学模型进行计算，进而导致箭上真速度、真位置的求解误差和制导指令的生成误差。仿真分析表明，对于一万千米左右航程的远程火箭，全弹道上作用的扰动引力造成的落点偏差最大可达千米量级。

2)影响火箭发射时的定向。扰动引力场引起的垂线偏差是影响陆基或海基机动发射远程火箭定向精度的重要因素。机动发射情况下垂线偏差需要基于扰动引力场数据进行计算，其计算误差直接导致火箭发射时的定向误差。仿真表明，机动发射情况下发射点垂线偏差对远程火箭落点偏差的影响也可达千米量级。

为保证远程火箭的精度，需要基于地球扰动引力场的精确计算研究其相应的补偿方法。为此，需要首先建立扰动引力场影响的分析框架，揭示扰动引力场影响的机理；其次，针对目前扰动引力场精确模型计算量大的问题，提出扰动引力场的快速重构和赋值方法；最后，针对目前的制导方法，建立扰动引力场影响的补偿方法。

1 扰动引力场的影响分析方法研究进展

扰动引力场对远程火箭精度的影响包括垂线偏差和飞行过程扰动引力两个因素。前者影响火箭的初始对准，进而导致发射惯性系的构建误差，后者影响火箭真实受力的计算。这二者影响机理不同，因此分析方法也不尽相同。

1.1 垂线偏差的影响分析方法研究进展

垂线偏差的影响分析旨在剖析该摄动因素对远程火箭落点偏差的影响量级、影响特性、误差传播机理等问题。国外对这一问题的研究起步较早，公开资料主要集中在分析垂线偏差对地面载体纯惯性导航精度的影响分析[2-3]，而对于远程火箭的影响分析，公开文献不多。目前，可查阅的最早一篇分析火箭发射点区域重力场异常对落点精度影响的文献出自美国国防部公开的一份军事技术报告。在该报告中，学者Gore[4]在仅考虑几何项偏差的情况下求解了垂线偏差引起的关机点速度、位置矢量偏差，进而通过关机点偏导数计算了落点偏差，该方法可实现垂线偏差影响的定性分析，但也存在模型假设较多、分析精度较差的问题。20世纪80年代初，贾沛然[5]对文献[4]提出的方法进行了改进，在主动段关机点状态偏差以及关机点偏导数的求解中均对地球自转的影响进行了修正，较大提升了垂线偏差影响的分析精度。

上述方法侧重于定量分析垂线偏差的影响特性，但对其影响机理仍缺乏细致的分析。王明海等[6]推导了法线坐标系与垂线坐标系之间的转换关系，分析了火箭在这两类坐标系中积分的受力差异，得出垂线偏差不仅引起几何项误差还影响火箭受力的结论。段晓君等[7]分析了发射点垂线偏差与发射方位角之间的耦合影响。

在此基础上，文献[1，8]对垂线偏差的影响机理进行了系统性的建模和分析，结果显示垂线偏差对火箭的影响可划分为几何项、初值项和受力项三部分，并基于小偏差理论分别推导了每一部分的解析表达式，这也成为当前相关领域学者普遍接受的一种分析模型。王磊[9]基于该模型对垂线偏差及其它定位定向误差的影响进行了分析，改善了几何项与初值项之间的耦合关系，进一步提高了分析模型的精度。

1.2 扰动引力的影响分析方法

地球扰动引力反映了火箭实际受到的引力与采用标准引力场模型计算出的引力之间的差异。对采用闭路制导的远程火箭而言，扰动引力对弹道的影响需要分主动段和自由段来分析，主动段扰动引力主要影响火箭箭上惯导系统真速度、真位置的解算精度，而被动段扰动引力则主要影响制导中需要速度的计算精度。

1.2.1主动段扰动引力的影响分析方法

扰动引力对惯性导航系统的影响特性，在20世纪70年代就有大量学者对此进行了探讨。起初学者们主要将扰动引力视为随机过程，而后基于协方差分析方法对惯导系统的误差传播问题进行分析[10-12]，但其分析结果并不能反映地球扰动引力对惯性导航系统的真实影响。随着大地测量和地球物理学的不断发展，地球扰动引力的计算模型越来越多，计算精度也越来越高。基于此，Chatfield等[13]采用数值方法分析了不同精度扰动引力模型对惯性导航系统的影响特性。Heller[14]提出将高精度引力模型嵌入到惯性导航积分回路中来提升惯性导航系统精度的方法，但由于计算效率的限制，该方法只能应用于惯性导航更新频率较低的情况，对于高速运动的飞行器并不适用。

中国学者对扰动引力影响下的弹道误差传播特性也进行了充分的研究。20世纪80年代初，陈国强分析了地球扰动引力对火箭惯性制导系统的影响[15]，随后又基于摄动法建立了地球扰动引力对远程火箭落点精度影响的解析分析模型[16]，相比于数值方法该方法极大提升了扰动引力对远程火箭影响的分析效率。郑伟等[1]深入研究了扰动引力对标准弹道的影响问题，并指出在进行影响特性分析时需要考虑扰动引力与视加速度之间存在的耦合作用，否则会产生较大的分析误差。基于此，王磊推导了扰动引力与视加速度耦合模型的解析表达式，构建了考虑该耦合项的弹道误差传播解析计算模型[17]和高精度数值积分模型[18]，显著提升了扰动引力对标准弹道影响的分析精度。此外，针对扰动引力与视加速度的耦合作用机理、存在条件等问题，王磊[9]将弹道误差传播分析问题中的参考基准划分为动力学标准弹道和导航标准弹道两类，并指出仅在分析以动力学标准弹道为基准的弹道误差传播问题中才需要考虑扰动引力与视加速度的耦合影响。

在工程应用方面，学者们针对不同发射状态条件下扰动引力对弹道的影响特性问题进行了定量的仿真分析。董茜等[19]采用数值法分析了不同航程下被动段扰动引力对弹道的影响情况，初步揭示了扰动引力的影响量级和特性。李晓燕等[20]分析了不同频段扰动引力对落点精度的影响，同时对比了不同发射点情况下扰动引力对弹道落点的影响。袁宇等[21]通过分析给出了满足计算精度前提下选取最小球谐函数阶次的规律。上述分析方法和结论对于认识扰动引力影响下的弹道误差传播特性具有一定的借鉴意义，也可为实际的工程任务提供指导。

1.2.2自由段扰动引力的影响分析方法

远程火箭在自由飞行段中仅受地球引力的作用，可视作椭圆轨道中的一段，因此原则上轨道误差传播分析方法都可用于对远程火箭自由段的误差传播问题进行分析。截至目前，在人造卫星、深空探测飞行器、远程火箭高精度制导等技术需求牵引下，考虑摄动因素的航天器大气层外轨道/弹道预报方法已发展至数十种。如图1所示，这些方法总体可划分为数值法、解析法和半解析法三大类[22-23]。数值法也称特殊摄动法，主要是通过数值积分求解摄动方程，主要有Cowell法、Encke法以及参数变分法等，这类方法具有计算精度高、对各种摄动因素可统一处理、公式和程序简单等优点，一般用于精密定轨与精密轨道预报等领域。但数值法也存在累计误差大、物理概念不明确、计算耗时等缺点，不过随着近年来计算机技术和数值计算方法的发展，比如并行计算方法和自适应变步长算法的提出，使得数值法计算效率低的问题得以有效改善[24]，这将极大扩展数值法在轨道/弹道预报领域中的应用范围。

图1 轨道/弹道摄动方法Fig.1 Orbital/ballistic perturbation method

解析法也称为一般摄动法，主要是通过将考虑摄动因素的轨道在某种标准状态下进行展开，并推导轨道预报或轨道偏差预报的解析解。表1给出了几种典型解析法的特性及其应用范围对比。

表1 几种典型解析法对比情况Table 1 Comparison of different analytical methods

半解析法综合了数值法和解析法的优点，其基本思路是：建立轨道要素的变分方程后，不再构造慢变量的解析解，而是用数值法求解；同时，用解析法求解出短周期项的摄动解，再与慢变量的数值积分解相加，即得到完整的摄动解。该类方法具有较高的计算精度和效率，目前已成为长期轨道预报中一种十分有用的方法。

尽管平根数法在卫星轨道预报中应用广泛，但在远程火箭应用方面则效果较差。潘刚[33]、Wang等[34]基于数值仿真详细分析了平根数法在预报远程火箭偏差时的精度，并从机理上探讨了该方法在处理这类问题时精度较差的原因。中间轨道法、非正交分解法和状态空间摄动法是远程火箭自由段弹道预报中比较常用的方法。中间轨道法和非正交分解法在用于求解考虑J2项引力影响的弹道偏差问题时效果较好，但在考虑较高阶地球引力项的影响时，这两种方法的解析解推导都很困难[35]。

状态空间摄动法是20世纪80年代，由任萱[29]提出的用于快速计算扰动引力对弹道影响的分析方法，其基本原理如图2所示。采用状态空间摄动法推导弹道偏差解析预报模型的关键有三点：1)在合适的坐标系中构建摄动方程，这将影响状态转移矩阵解析解推导的复杂度；2)基于合理假设推导摄动方程的状态转移矩阵解析解；3)将摄动力矢量表示为摄动方程自变量的函数。21世纪初，郑伟[30]对状态空间摄动法进行了更深入、系统的研究，完善了等角/等地心距/等时摄动模型，并进一步推导出了等高摄动模型。Wang等[35]在此基础上，结合沿飞行弹道的扰动引力重构模型，推导出了可考虑任意阶扰动引力影响的弹道偏差解析预报模型，并在扰动引力影响补偿方法中得到应用。

总体而言，扰动引力场对弹道影响分析的研究已比较全面和深入，对其影响机理也有了较清楚的认识，目前研究重点和热点主要聚焦在进一步提升扰动引力场影响分析的效率和精度等方面。另外，随着数值积分方法效率和计算机硬件性能的持续提升，数值法和半解析法将逐步成为分析扰动引力场影响分析的主要发展趋势之一。

2 扰动引力场快速计算方法研究进展

扰动引力场的影响分析或者补偿首先需要确定发射点处垂线偏差和火箭飞行过程中扰动引力的值。在这方面，传统手段(比如垂线偏差的天文测量法以及扰动引力的球谐函数法等)均存在耗时长的问题。为此大量学者探讨了扰动引力场的快速计算方法，从而为实现火箭快速发射和扰动引力场实时补偿探索了可行的方案。

2.1 垂线偏差快速计算研究进展

垂线偏差是地面或空间一点重力垂线方向与该点参考椭球面法线方向的夹角[36]。远程火箭发射前，需要利用发射点的垂线偏差进行平台定向瞄准[37]，因此它是实现火箭高精度制导的重要大地测量保障之一。

目前垂线偏差的确定方法可分为两类。一是传统方法。主要采用天文大地测量的方法进行观测。即在同一点上进行天文观测，获取该点的自然坐标或者天文坐标，然后通过大地测量手段获得该点的大地坐标，经过简单的理论公式转换获得垂线偏差。直接观测法能给出优于1″ 精度的点值垂线偏差，但是需要结合天文和大地两种测量手段，非常耗时，每个测站上的天文观测需要3～5 h才能完成，远不能满足有快速发射要求的远程火箭发射时效性要求。

另一类方法是在重力场边值理论框架下，通过重力数据、地形数据以及卫星重力等多元数据，采用边值理论建立垂线偏差模型。高精度垂线偏差确定的关键是精密计算由地形产生的短波和甚短波分量。Jekeli[36]在1999年对高阶重力场模型计算的垂线偏差和天文测量结果进行比较后指出，EGM96重力场模型计算的垂线偏差存在200阶以后信号微弱的情况，也可以理解为垂线偏差的高频部分，必须由地形数据提供，类似结果还可以参见文献[38]。经典的地形影响计算公式是利用平面近似公式，这与过去地形分辨率不高、计算能力不足有关。国际上在20世纪90年代末期开展了球面积分的研究，给出了有不同近似条件、形式多样的球面积分公式[39]。解放军信息工程大学和卫星定位总站也独立开展了相关研究[40]。武汉大学推导了各类地形影响的严密球面积分公式序列[41]，严格顾及地球曲率影响项，保证了垂线偏差计算达到1″ 精度。通过模型法，在对某一区域密集网格垂线偏差进行计算的基础上，在火箭实际发射时即可通过插值得到发射点的垂线偏差。

综上所述，为了满足远程火箭发射的时效性和精度要求，以考虑精密地形影响的模型法为基础实现区域数值重构，是当前最为可行的方法。

2.2 扰动引力快速重构研究进展

目前，地球外部扰动引力赋值的方法主要有球谐函数模型、点质量模型和基于地面重力数据的直接积分模式(比如基于Stokes理论、Molodensky理论等的积分解)，虽然可以采取进一步的快速算法进行优化，比如球谐函数换极法[42]、基于CUDA的球谐函数并行计算方法[43]等，但受制于球谐函数的阶数、点质量规模、分辨率和计算过程的复杂性，大幅度减少内存、提高计算速度的余地不大。

在箭载计算机硬件设备性能还不能大幅度提升的情况下，针对远程火箭实现快速、任意点随机发射等特点，需要在牺牲一定计算精度的条件下构建占用内存少、赋值速度快的扰动引力重构模型。在这方面，美国学者Junkins[44]早在1976年就提出了重力位的有限元表达方法，其核心思想是将飞行器的飞行空域进行网格剖分，并对网格节点进行扰动引力赋值，网格内任意点的扰动引力则采用空间插值算法进行逼近求解。上述模型主要面向局部区域的扰动引力快速赋值问题，Beylkin等[45]则探讨了一种全球扰动引力快速赋值模型，即“立方球”重构模型。Jones等[46]将该方法应用于近地卫星轨道的长期预报，分析了其计算效率和精度。

针对这一技术，我国学者也进行了深入的研究。有限元、分频余差法等方法先后被提出。在Junkins[44]工作的基础上，文献[47-50]进一步探讨了有限元方法的应用。谢愈等[51]、Zhou等[52]提出了沿飞行弹道的扰动引力有限元重构模型构建方法，并将有限元法扩展到被动段扰动引力快速赋值中，能够兼顾扰动引力赋值速度、赋值精度及箭上存储量要求。图3展示了沿火箭自由段弹道的有限元网格剖分示意图。需要指出的是，沿自由飞行段弹道的有限元网格需要基于标准二体弹道进行划分，因此需要在满足扰动引力逼近精度的前提下使网格尽可能大，从而保证所划分的网格能够覆盖火箭可能飞行的任意轨迹。王磊[9]将这一问题描述为一个优化问题，并提出了关于火箭飞行高度和最大有限元网格尺寸参数的拟合关系式。此外，郑伟等[1]综合插值和拟合两种数值逼近方法的优点，提出了基于广义延拓逼近算法的扰动引力有限元模型，进一步改善了扰动引力重构模型的逼近效果。

3 扰动引力场影响补偿方法研究进展

对远程火箭而言，扰动引力场影响补偿就是要在制导回路中消除该摄动因素对落点精度的影响。针对这一问题，国外鲜有相关公开文献进行报道。相对而言，我国学者研究的较为深入，相继提出了一系列补偿方法。

总体而言，补偿方法可分为直接补偿和等效补偿两大类。直接补偿即是在箭载计算机上加装精确的地球引力模型，用以计算火箭实际飞行过程中所受的地球引力。但当前技术条件下，将精确的点质量或球谐函数模型直接嵌入到箭上导航解算回路中依然在存储量和计算效率方面存在困难，而将扰动引力重构模型嵌入到箭上导航解算回路中则理论上完全可行，Wang等[53]通过仿真校验了这种思路的可行性，不过目前尚无实际采用此类方法进行箭上导航补偿的公开报道。

等效补偿[54]是根据扰动引力影响的特性，不直接对扰动引力进行补偿，而是通过建立扰动引力影响量与修正量之间的映射关系来改变发射诸元或导引、关机控制量，使得火箭根据惯性器件测量信息导引和关机控制，实现对扰动引力影响补偿的一种方法。马宝林等[54]深入分析了等效补偿的实现方式，提出了嵌入式、分布式、分段式、映射式等四种补偿模式(如表2所示)。

根据补偿时机的不同，等效补偿又可分为弹道诸元补偿、制导诸元补偿和箭上实时补偿三种类型，下面分别进行介绍。

3.1 弹道诸元补偿方法

弹道诸元补偿的思路最早由郑伟[30]提出，其核心思路是通过修正火箭的发射诸元来实现对扰动引力场影响的补偿，具体步骤可描述为：1)在不考虑扰动引力场影响的情况下计算弹道基本诸元；2)基于扰动引力影响分析方法快速计算扰动引力场引起的落点偏差；3)构建弹道落点偏差同发射诸元修正量之间的映射关系。

从计算流程中可以看出，火箭发射诸元修正量的计算首先需要求得其落点偏差，这可以采用前面介绍的扰动引力场快速分析方法实现。另一方面还需要建立落点偏差同诸元参数修正量之间的映射关系。为此，Ma等[55]推导了远程火箭落点偏差与火箭末级俯仰程序变化率、发射方位角等发射诸元修正量之间的解析函数关系，进一步提升了弹道诸元补偿的效率。

3.2 制导诸元补偿方法

制导诸元补偿的关键是求解落点偏差与制导诸元修正量之间的映射关系。

在摄动制导框架下，制导诸元主要包括标准关机点状态参数、落点偏差对关机点状态的偏导数以及导引系数等。康建斌等[56]针对传统的摄动制导方案在实际飞行过程中抗扰能力差等缺点，提出了一种基于虚拟再入点状态参数控制泛函的摄动制导方案，该方案可有效补偿主动段干扰因素的影响。马宝林等[54]分析了扰动引力场对飞行特征量的影响机理，提出了分步式和映射式两种摄动制导诸元补偿方案。在闭路制导框架下，制导诸元则包括虚拟目标和需要速度两个，通常只需对这二者之一进行补偿。基于虚拟目标的闭路制导补偿由于仍采用椭圆弹道计算需要速度，方法简单，所以基于该方法的补偿研究比较活跃。而基于需要速度的补偿方案原则上需要求解考虑复杂摄动因素的Lambert问题，计算过程较前者复杂。

3.3 箭上补偿方法

一般来说，不管是弹道诸元补偿还是制导诸元补偿都可考虑较复杂的摄动因素，但往往计算比较耗时，影响发射效率。另一方面，弹道诸元或制导诸元补偿方法一般基于标准弹道进行修正量的计算，对大范围弹道偏差的适应性较差，无法保证补偿精度[9]。

针对上述问题，一些学者探索了在箭上实时计算扰动引力影响修正量的方法。如陈磊等[57]、鲜勇等[58]、王宗强等[59]提出采用神经网络模型或回归模型离线构建需要速度修正量与关机点位置之间的映射模型，并在箭上实时进行修正计算。仿真结果显示此类补偿方法在特定条件下精度较高，也能保证足够的效率，但针对不同的发射条件、航程条件，该类方法均需要重新进行地面计算和训练。

王磊[9]基于扰动引力影响的解析计算模型，提出了基于零输出响应的闭路制导实时补偿方法。补偿流程如图4所示。该方法的核心思路是在原有Lambert制导回路中嵌入了一个反馈修正项，修正量通过一套可同时考虑J2项引力和扰动引力影响的解析公式进行计算，且计算一次耗时在20 ms以内，因此可进行实时修正。此外，采用该方法时仅需要在火箭发射前进行一次沿弹道的扰动引力重构模型构建，时间在2 s以内。仿真结果表明，对航程超过一万千米的远程火箭，该方法的补偿误差在50 m以内，且对大范围弹道偏差的适应能力很强。综合所有方法来看，基于零输出响应的闭路制导实时补偿方法在计算精度、效率、对火箭机动发射的适应性等方面都表现出一定优势，是当前针对该问题最佳的解决方案。但是该方法仍有改进的余地，比如仍然需要基于标准弹道来构建扰动引力重构模型，因此研究完全不依赖标准弹道数据的扰动引力箭上补偿方法将是该领域进一步努力的方向。

图4 考虑不规则引力箭上补偿的闭路制导系统Fig.4 Closed-loop guidance system considering irregular gravitational perturbation compensation

4 结束语

扰动引力场影响已成为制约远程火箭精度和快速反应能力进一步提升的瓶颈。本文从影响机理、快速重构方法、补偿方法等三个方面分析了国内外的研究进展，梳理出目前在工程上可用的主要方法，为进一步提升远程火箭的精度和快速反应能力提供了方法上的参考。但针对工程上面临的具体约束，还有必要与远程火箭的具体使用流程、诸元方案、制导方案等深度融合，才能真正为提高远程火箭发射效能提供支持。