三种插值方法在水下地形测量数据处理中的应用和比较

庄宿军 汪志飞

（华东电力设计院有限公司，上海200063）

在测量数据的处理中，数值分析方法使用的越来越多，其中插值法更是解决了由于实际测量中仪器频率过低从而导致数据不完整等类似的问题。文章[1]中采用三次样条函数插值方法获取遥感卫星引导数据，并证明该方法计算的引导数据不但平滑,而且加速度变化稳定。文章[2]中采用局部多项式法、克里金插值法、线性插值三角网法等三种方法,对海浪数据进行插值,并对比了三者的插值效果, 结果表明线性插值三角网法对边界和岸界处理明显优于局部多项式法、克里金插值法。目前，随着科技的进步，水下地形测量发展的速度非常快，测量手段从最初的测深绳到现在的测深仪，效率成倍的提高。但在使用测深仪进行测量的时候，会碰到一个问题：GNSS 和测深仪由于构造不同，采集的数据并不具有同步性。而我们需要获得的水下地形数据，位置和高程必须是要同步的，所以本文采用插值法来解决此问题。由于目前可用的插值方法众多，本文选取了三种插值方法进行插值，并对插值的结果进行了比较分析。

1 数学模型

1.1 拉格朗日插值

对某个多项式函数，已知有给定的k+1 个取值点：

其中xj对应着自变量的位置，而yj对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同xj的都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

1.2 牛顿插值

牛顿插值公式：

等间距牛顿差值公式：

1.3 三次样条插值

表1 三种插值结果

图1 三种插值结果

2 计算与分析

在进行某区域水下地形测量时，测深仪频率为0.5Hz，2 秒采集一个点，GNSS 接收机频率为1Hz，1 秒采集1 一个点，由此会导致GNSS 数据与测深仪数据不能相互对应。表1 中时间为奇数秒的为测深仪数据实测数据，偶数秒的为文中介绍的三种方式的内插水深值。

将三种插值结果进行比较分析，如图1 所示。

从上图可以看出拉格朗日插值结果与实际数据趋势相比较，有一部分插值数据有“跳动”现象，这些数据与附近数据相比，变化幅度较大。

牛顿插值结果要比拉格朗日插值结果更加平缓，很少有插值数据突然偏离数据曲线，所以牛顿插值结果要比拉格朗日插值结果更符合实际情况。

而三次样条插值结果则比前两种插值结果更具有连续性，曲线很平滑，插值后的结果与附近数据相比具有很强的逻辑性，所以在对本次测深数据的插值处理中，三次样条插值要比拉格朗日插值和牛顿插值要更加适用。

3 结论

本文结合实际水下地形测量中的测深数据，分别利用拉格朗日插值、牛顿插值和三次样条插值解决了测深数据与GNSS同步问题，同时对三种插值方法进行比较分析，得出了三次样条插值方法更加适合于处理测深数据的结论。