飞行器控制的伪线性系统方法——第二部分：方法与展望

段广仁

(哈尔滨工业大学控制理论与制导技术研究中心，哈尔滨150001)

0 引 言

本文的第一部分《综述与问题》首先将非线性控制方法归纳为基于李雅普诺夫泛函的设计方法、基于最优控制的设计方法和以线性为主导的设计方法，并简要地综述了这三类非线性控制方法中的重要进展；其次，在此三类设计方法的框架下，特别对飞行器控制的非线性方法进行了概述，并由此引入伪线性系统的概念；然后，对于卫星姿轨控制、空间交会与拦截、飞行器制导等六类典型飞行器控制问题，给出了二阶伪线性系统的描述形式。

该部分首先综述了伪线性系统理论的现有成果，然后针对第一部分提出的六类典型飞行器控制问题的一般二阶伪线性系统模型，介绍了二阶伪线性系统状态反馈的直接参数化控制方法，给出了使闭环系统矩阵相似于给定常值矩阵F的伪线性状态比例加微分反馈控制律的全体，以及对应的右特征向量矩阵的参数化表示。该参数化表示依赖于给定的常值矩阵F和自由参数矩阵Z，这两个参数矩阵提供了所有的设计自由度，可用于优化闭环系统性能。为此，我们以闭环特征结构要求、闭环系统干扰抑制要求以及最小闭环特征值灵敏度要求为例，考虑了通过综合优化设计自由度实现控制系统多目标设计的问题。最后对伪线性系统理论的内涵、优势和发展前景进行了讨论。

1 伪线性系统综述

1.1 一阶伪线性系统

主导控制系统分析与设计近百年的状态空间模型描述就是一阶系统描述。作为一类重要的一阶非线性系统，一阶伪线性系统自然得到人们的首先关注。

1.1.1定义

伪线性系统(Quasi-linear systems)是一类特殊的非线性系统，其具有线性形式而本质是非线性。通常来说，一阶伪线性系统可以写成

式中:x是系统状态，θ是时变参量，u是控制系统输入。很多非线性系统都可以写成伪线性系统的形式，甚至一些系统不需要任何处理，就是“天然”的伪线性系统。下文通过两个例子说明。

例1Lorenz系统(1963年，美国气象学家爱德华·洛伦兹(Edward Lorenz)为大气对流提出的简化数学模型)：

可以写成伪线性系统形式

例2Van del Pol方程(1927年，荷兰物理学家巴尔塔萨·范德波尔(Balthasar Van der Pol)描述真空管放大器的极限环振荡现象)：

一旦将非线性系统写成伪线性系统的形式，则可以尝试一些成熟的线性系统理论和方法。而且，伪线性系统的形式不唯一，这种不唯一性也可以为系统提供一定的设计自由度。

1.1.2现有结果概述

控制理论发展的初期，人们研究的重点是线性系统。随着实际工程需求和线性系统理论的成熟，非线性控制系统理论成为研究热点，研究学者对伪线性系统的研究也随之展开。

人们先考虑了伪线性系统的分析问题。关于伪线性系统的求解问题，大多研究的对象是系统矩阵为常值的伪线性系统，提出了此类系统存在伪周期解及存在条件[1-4]。同时，也有学者研究伪线性系统的齐次解，但对系统参数有一定的限制条件，例如系统参数是慢时变的[5]、非线性项是周期变化的[6-7]等。关于伪线性系统的能控性问题，研究学者从带有扰动的线性时变系统入手，推导了此类系统能控的充分条件，之后推广到一般伪线性系统，值得一提的是该条件依赖于伪线性系统的解[8]。关于伪线性系统的稳定性问题，Banks等[9]首先研究系统矩阵是上三角形式的稳定性判据，并且指出系统矩阵对于所有状态是连续且Hurwitz的，则伪线性系统是全局渐近稳定的[10]。文献[11]针对伪线性系统提出了依赖于类状态转移矩阵的系统局部稳定的条件，同时给出了吸引域的计算方法。Ghane等[12]在伪线性形式下研究了非线性自治系统的稳定性，通过伪线性形式下离散化模型进行分析，将标量系统稳定的充分条件推广到n阶系统。

关于伪线性系统的控制问题，文献[13]通过求解代数Riccati方程设计了伪线性系统的P和PI镇定控制器。Banks等[14]利用一系列线性时变系统近似逼近伪线性系统和目标函数解决了伪线性系统线性二次最优控制问题，要求在足够小的时间域内以保证其收敛性，进一步将文献[14]的结果应用到主动磁轴承旋转柔性轴的非线性最优控制[15]。Cloutier等[16-17]通过求解状态依赖Riccati方程解决了伪线性系统的调节和H∞控制问题，提出了线性控制方法的可以应用的条件。进一步，Çimen和Lin等分别提出了基于状态依赖Riccati方程/状态依赖微分Riccati方程的伪线性系统控制方法[18-19]。

上述关于伪线性系统的分析和设计只是针对伪线性系统的几种特殊形式进行的，并未对一般伪线性系统进行研究。作者及其合作者建立了正常[20-22]、广义[23-25]一阶伪线性系统控制律设计基本理论和方法，给出了使得闭环系统矩阵相似于某一待定稳定矩阵F的控制律的全体，以及对应的特征向量矩阵的参数化表示。该方法兼顾非线性系统和线性系统的优点。

1.2 二阶伪线性系统

许多自然现象、动力过程的描述都是二阶系统，并已在航天器的飞行动力学[26]、单机无穷大电力系统[27]、机器人的关节控制[28]等许多领域有了应用。这类二阶系统模型都是非线性的，例如机械臂的一般动态方程如下

近年来，我们考虑了如下的一般二阶伪线性系统模型

式中:x是系统状态，θ是时变参量，u是控制系统输入。传统的处理方法都是将二阶系统转化为一阶系统后利用已有的方法处理。这种做法没有考虑到二阶系统的模型下直接设计的优势，有可能会带来4个问题：

1) 许多模型的系数矩阵是具有一定物理意义，系统转化后参数的物理意义就失去了；

2) 转化后系统维数增加，导致计算量增加；

3) 转化破坏了系统矩阵的性质(如：正定性、稀疏性等)和系统结构；

4) 转化后可能会出现数值稳定性问题，在转化过程中产生的误差将直接影响最终结果。

鉴于上述考虑，我们直接在二阶伪线性系统的框架下研究了系统的控制律设计问题，具体包括：

1)建立了二阶伪线性系统状态反馈的直接参数化控制方法，通过设计伪线性状态反馈控制律，可使闭环系统化为一个具有指定特征结构的二阶线性定常系统，并提供了控制系统设计中的所有自由度[29]。同时，还将研究成果推广到广义二阶伪线性系统的状态反馈控制律设计之中[30]。

2)建立了二阶伪线性系统输出反馈的直接参数化控制方法，给出了使闭环系统矩阵相似于给定常值矩阵F的伪线性输出反馈控制律的全体，以及对应的左、右特征向量矩阵的参数化表示。该参数化表示依赖于给定的常值矩阵F和自由参数矩阵Zb和Zc，这三个参数矩阵可以提供设计自由度用于优化闭环系统性能[31]。

3)将提出的二阶伪线性系统的直接参数化控制方法应用于导弹制导与控制[32-34]、航天器姿态控制[35-36]、空间合作目标的交会[37]、非合作目标的交会与拦截控制[38]等问题，充分地显示了伪线性系统方法的优越性。

1.3 伪线性系统理论

有关高阶伪线性系统的理论方法[39-46]，我们将另文讨论。这里只阐述两个观点。

伪线性系统既包括一阶伪线性系统和二阶伪线性系统，同时也包括高阶伪线性系统。众所周知，以状态空间为基础的现代控制理论只面向一阶的状态空间模型描述，所有的理论方法都是针对状态空间描述的一阶微分方程来展开的。站在这一固有观点上看，二阶系统和高阶系统根本没有存在和讨论的必要。然而由本文可见，二阶伪线性系统的直接设计方法是非常简单、方便的，并且具有一阶系统设计方法所不能获得的优势。

传统的控制系统设计观点是将控制系统的模型和控制系统的设计方法完全割裂开来的，只有在控制系统的模型确定以后、不再变化的情况下，才讨论其控制系统的设计方法。然而，控制系统的模型描述从来都不是唯一的，选择不同的模型会直接导致方法上和结果上的差别。传统观点则完全忽略了控制系统模型选择也是控制系统设计的一个重要组成部分这一重要事实。区别于传统的控制系统理论，伪线性系统理论绝不仅仅是一阶伪线性系统的分析和设计理论，也不仅仅是二阶伪线性系统的分析和设计理论，而是一阶、二阶和高阶伪线性系统和控制系统设计方法论相融合的一个整体。

2 伪线性系统的参数化方法

2.1 问题描述

考虑如下系统

(1)

此外，作为全驱性要求，还需要作如下假设：

针对上述系统(1)，设计一个控制器，该控制器由两部分组成：

u=uc+uf

(2)

(3)

而uf为比例微分状态反馈项：

(4)

(5)

其中

(6)

令

(7)

根据假设3，则闭环系统(5)～(6)可转化为如下形式的一阶系统：

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

(12)

因此，闭环系统矩阵

(13)

是定常矩阵。

对于一般的非线性系统，这种要求通常难以实现。下文将在系统全驱假设3下实现这一目标。

2.2 直接参数化方法

1) 控制律参数化

定义

则下文的结果给出了问题FA全部解的求解方法[29]。

(14)

和

(15)

其中

(16)

(17)

下面进一步讨论一些相关问题。

2) 解的存在性条件

Q-1FQ=JF=Blockdiag(J1,J2)

(18)

σ(J1)∩σ(J2)=φ

(19)

定义

3) 参数空间的稠密性

3 多目标综合优化设计

从上一节可以看出，全驱二阶伪线性系统可以在以下意义下实现完全参数化的控制设计：

1) 总可以找到一个反馈控制器，在该控制器作用下，闭环系统是一个具有期望特征结构的定常线性系统；

3.1 多目标综合优化思想

在实际的飞行器控制工程设计当中，我们需要同时考虑精度、动态性能以及各种鲁棒性等，因此飞行器控制本质上是一个典型的多目标设计问题。前述全驱二阶伪线性系统的参数化设计方法所提供的参数矩阵F和Z可以进一步根据某些系统的设计要求来优化选取，以提高闭环系统的性能。任何一个对于闭环系统的设计要求都可以转化为对参数矩阵F和Z的约束。这种约束的形式可以是多样的，但归纳起来主要有以下几种：

指标型：

minJk(F,Z),k=1,2,…,nk

(20)

不等式型：

gl(F,Z)≥0,l=1,2,…,nl

(21)

等式型：

pj(F,Z)=0,j=1,2,…,nj

(22)

极限型：

(23)

进而，一个系统的多目标设计问题可以转化为如下综合优化问题：

(24)

3.2 典型参数约束条件

本节接下来讨论几种具体的设计要求，并给出其关于参数矩阵F和Z的显式表达，以便对参数矩阵F和Z进行优化来满足预期的多目标设计要求。

3.2.1期望特征向量要求

线性系统理论告诉我们，线性系统的响应与系统的闭环特征向量矩阵密切相关。闭环系统的一些其他性能，如闭环特征值灵敏度，也依赖于闭环特征向量[47]。因此在很多实际的飞行器控制问题中，经常会对闭环特征向量矩阵的整体或其中某些元素做出要求，即希望闭环特征向量尽可能接近期望值[48]。

鉴于此本节考虑了期望特征向量约束，在给出约束的具体形式之前，作为准备，引入如下两组指标集：

(25)

在此基础上，我们可以给出如下期望特征向量的等式约束：

(26)

当等式约束(26)无须严格成立，而是尽可能成立即可时，可以把式(26)的等式要求转化为极小化如下期望特征向量指标：

(27)

3.2.2干扰抑制

(28)

希望它尽可能地不受外界干扰d的影响。尽管研究的伪线性系统是非线性系统，但是由于所采用的直接方法可以获得一个闭环的线性系统，因此，由闭环系统(8)以及输出方程(28)可知，由d到所关心的变量y的关系可以在频域中表达如下：

y(s)=G(s)d(s)

(29)

其中

(30)

为了尽可能地消除干扰d对变量y的影响，希望极小化如下指标：

(31)

对方阵X，记

πX(s)=det(sI+XT)

则由文献[49]中定理9.2(见第 356页)可推得如下引理。

则当A是Hurwitz矩阵时，下述Lyapunov方程

ATP+PA=-Q

的唯一解可由下式给出

(32)

基于上述引理，可证得下述结论。

(33)

其中

(34)

证明. 若取控制律(2)～(4)，则根据定理1可知闭环系统(8)的系统矩阵为

(35)

式中:V由式(14)给出。将式(35)代入式(30)可得

G(s)=CV(sI-F)-1V-1Ec

(36)

式中:Ec由式(11)给出。

由于矩阵F是Hurwitz的，关于P1和P2的下述李雅普诺夫方程

(37)

FTP2+P2F=-VTCTCV

(38)

定理3告诉我们，为了抑制干扰d对输出y的影响，我们可以极小化下述指标：

(39)

3.2.3特征值灵敏度

(40)

(41)

此时，在本文的控制律下闭环系统(5)可化为

(42)

其中

(43)

这里，

(44)

若根据式(7)定义状态变量X，则闭环系统(42)可以化为如下状态空间形式：

(45)

其中

(46)

这里，

下文基于上述带有参数摄动的模型(45)～(47)，讨论特征值灵敏度指标的求取。首先需要指出的是，根据文献[52-53]中的结果，当不考虑参数摄动的具体形式时，整体的特征值灵敏度可以由闭环特征向量矩阵的条件数给出，即极小化如下指标：

(48)

式中:αr≥0为合适的权重系数。

本节所讨论的参数摄动具有特定的形式(40)～(41)。针对此类型的摄动，极小化结构摄动灵敏度指标，来更加具有针对性地抑制参数摄动δ对闭环特征值的影响。为了求取结构摄动灵敏度指标，首先引入如下引理[47]。

(49)

基于引理2，可以得到如下结果。

F=diag(s1,s2,…,s2n)

(50)

(51)

证. 由题设可知

(52)

(53)

根据定理4，为了抑制参数摄动δ对闭环特征值的影响，可以极小化结构摄动灵敏度指标：

(54)

上面给出了三种具体的控制系统设计要求，如果要同时实现上面这些设计要求，可以分两种情形进行处理。

情形1：要求期望特征向量等式约束(26)严格成立，此时所要求解的综合优化问题可表述为

(55)

式中：αd,αr≥0为适当选取的权重系数。

情形2：仅要求期望特征向量条件(26)尽可能成立即可，此时所要求解的综合优化问题为

(56)

式中：αd,αr,αt≥0为适当选取的权重系数。

4 讨论与展望

4.1 关于伪线性系统

4.1.1一阶伪线性系统

控制系统的状态空间方法，连同庞特里亚金极大值原理和卡尔曼滤波，一同构成了现代控制理论的形成标志。状态空间方法在现代控制理论的形成过程中起到了绝对的奠基性作用。人们的一个固有认识便是任何一个系统最终总能表述成一个状态空间描述，即一个一阶非线性微分方程组的形式。这就是最一般的表示。从这一逻辑上讲，我们只要研究状态空间模型描述的一阶系统就足够了。正因为如此，也导致了人们对于一阶伪线性系统的青睐，这种固有的认识把人们束缚在一阶的状态空间描述框架之内，自然使得目前关于伪线性系统的研究结果都局限在一阶系统的框架下。

提起控制系统，人们就想到一阶系统描述。这种认识是残缺的、片面的，并可产生误导。

虽然基于状态空间模型表示的一阶非线性系统的稳定性、能控能观性等理论比较完善，但也不等于一阶系统方法对于所有控制问题都是最佳选择，一些一阶系统的方法在很多应用之中也是不方便的。

随着时间的推进，一阶伪线性系统会得到进一步的发展，但也会受到现有理论框架和方法论的束缚。

4.1.2二阶伪线性系统

在一定意义上说，这个现实的物理世界就是一个“二阶”的世界。众所周知的基础定律，如牛顿定律、动量矩定理、拉格朗日方程、欧拉方程、基尔霍夫定律等，所给出的物理模型都是二阶的。也就是说，在这些物理定律的主宰下，这个世界中的所有物理系统的数学模型都是二阶的。

但遗憾的是，受状态空间模型和状态空间理论的影响，在处理这些二阶系统的控制过程中，人们还是硬生生地把它们都化成了一阶系统，为的是能够应用一阶系统的理论方法来处理问题。殊不知，在二阶系统的框架下，既可以保留系统的物理特性，同时也能更简洁、更方便地实现系统的控制。在这方面，机器人控制领域的发展起到了一定的引领作用。尽管许多机器人控制方面的论文也是在一阶系统的框架下处理的，但是这一领域的学者们却是较早地在二阶系统的框架下处理了机器人控制问题。尽管他们这方面的工作往往都归结到解耦后的二阶单变量古典频域理论，没有充分利用系统设计中的自由度，但也彰显了直接法非常方便的特性，使人们清楚地看到，使用状态空间为基础的一阶系统方法来处理问题，有时候也是相形见绌的。

鉴于二阶系统突出的普遍性，关于二阶伪线性系统的理论和应用研究必定在将来得到迅猛发展。

4.1.3高阶伪线性系统

一个复杂的控制对象往往会包含多个组成部分，而每个组成部分作为一个物理部分，其系统模型的描述一般是二阶的(特殊情况下也可能有一阶的)，因而这些子系统组合起来则往往给出一个高阶(大于二阶)的系统模型。尽管如此，人们多半还是千篇一律地、形而上学地把这些高阶系统再一次转化成一阶系统，目的是要基于以状态空间模型为基础的一阶系统的控制理论方法来处理控制问题。这就是高阶伪线性系统很少见的原因。但事实上，初步研究[39-46]已经表明，即使对于这些高阶伪线性系统，在高阶系统的框架下来考虑相应的控制问题也是非常简单、方便的。

4.2 关于飞行器控制

4.2.1一阶和二阶伪线性系统方法

自20世纪初以来，凡是在时间域上处理的飞行器控制问题，无论是线性的还是非线性的，几乎都是基于状态空间方法的一阶系统理论框架上开展的。众多的飞行器控制问题，尽管它们的原始模型是二阶的，同许多其他的二阶系统的控制问题一样，都被化成了一阶系统去处理。

那结果如何呢？

1) 对于线性的情形，有可能把一个可以简单处理的问题复杂化了，但在理论结果上还是完备的；

2) 对于非线性的情形，在稳定性这一重大问题上，结果多半是片面的，或者要求了系统的特殊形式，或者增加了苛刻的条件。因为一阶系统框架下的稳定性理论本身就很难处理。

这不是一阶系统理论方法的问题。人们上百年的努力都倾注到一阶系统上，在一阶系统理论方法方面取得了多方面进展。问题出在方法论上。由本文可见，对于这些传统的飞行器控制问题，采用二阶系统的直接参数化方法，可以很容易地解决系统的控制问题。更难得的是，可以在极其宽泛的条件下得到一个线性的闭环系统，同时还能挖掘出系统控制设计中的所有的设计自由度。这是应用一阶系统控制方法较难实现的。

经过上百年的研究，飞行器控制问题的一阶系统设计方法很难再有重大突破了，除非人们在一阶系统的控制理论方法方面取得重大突破，在一阶伪线性系统方面能够有强有力的方法出现。

然而，飞行器控制问题的二阶系统直接处理方法，随着人们对其认识的不断深入，将会得到迅速的发展和完善，并逐渐在飞行器控制工程应用中发挥重要作用。

4.2.2高阶伪线性系统方法

今天面临许多复杂的飞行器控制问题，例如，带有大挠性附件的卫星的姿态控制问题、带有复杂执行(驱动)机构和/或检测部件的飞行器控制问题、考虑液体晃动的卫星控制问题等。这些复杂的飞行器控制问题本质上或者为多个子系统的串联，或者为多个子系统的并联，或者为多个子系统的反馈结构。有关这样复杂飞行器的控制问题，人们自然的处理方法也都是把它们化成了一阶系统。但实际上，由于它们的这种多系统复合结构，其自然的系统模型应该是高阶系统。

目前在高阶系统方法方面所做的一些初步尝试[39-46]也将为复杂飞行器控制问题开辟一个重要方向。随着高阶伪线性系统理论的完善和发展，复杂飞行器控制问题的高阶系统方法也会得到非常广泛的应用。

致 谢

作者感谢其学生顾大可、胡艳梅、赵天一等人协助查找文献和组织材料。