基于数学建模的创课导学

张享发 粟丽妮

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称高中数学课标）提出，高中数学教学目标的制定要突出学科核心素养导向，建议教师关注学科核心素养目標在教学中的可实现性，研究其融入教学内容和过程的具体方式和载体，注重创设合适的情境，结合现实生活对教材内容进行整合，在课堂中给学生提供富有挑战性的学习内容，帮助学生在自主探索、动手实践和合作交流中获得学科核心素养的提升.数学建模作为数学学科六大核心素养之一，是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.在课堂教学中培养学生的数学建模素养，需要让学生亲身体验“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”的全过程.

近年来，“互联网+”对数学教育产生了广泛、深刻的影响，唐剑岚教授所提出的实验创课，指的是在课堂教学中借助信息技术、实物教具等实验工具创设数学课程，简称实验创课[1].我们借助唐教授的实验创课思维，提出了“以问题为导向、以实验为抓手、以解惑为目标”的三大教学原则，倡导教师遵循创课导学“问题—实验—解惑”三步教学法：通过创设现实生活情境，引导学生从数学的视角去发现和提出问题，相机开展实验探究，最终解决问题.显而易见，创课导学的教学方法和数学建模素养的培养存在着极高的契合度.

人教版高中数学必修3《均匀随机数的产生》一课教学内容中涉及的数学方法是随机模拟方法，数学思想是从特殊到一般、近似逼近和算法思想;学习重点是设计模型并运用随机模拟方法估计未知量，难点是如何把未知量的估计问题转化为随机模拟问题.下面笔者以该课教学为例，谈谈如何基于数学建模素养的培养实施创课导学.

一、在实际情景中发现问题，从数学的角度提出问题

数学建模是集理解问题、提出问题、分析问题、解决问题于一身的综合素养，因此，基于数学建模的创课导学，第一要务是培养学生理解问题、发现问题、提出问题的能力.在本课开课伊始，教师用谈话法导入，与学生展开了下面的对话.

师：我们正处在信息化时代，谁能举例说说大数据如何影响自己的生活？

生：在淘宝网购物时，该网站会给我们推送很多类似自己浏览过的商品信息;在微博上浏览文章，也会被推送很多类似的文章信息.

师：看来，大数据对我们的影响，不仅在于它的信息量大，更在于它所重塑的后信息环境.一个大规模生产、分享和应用数据的时代已经到来.（播放《几何概型与大数据》微视频，然后课件呈现“问题一”）

问题一：大数据为什么能如此精准地影响我们的生活？里面隐含了怎样的原理？

生：比如通过计算汽车拥堵时段的时间概率值以及拥堵路段的长度概率值，可以优化红绿灯的设置，让红绿灯根据路况变化自行做出时间上的调整.里面隐含了几何概型、统计概率的原理.

师：前面我们学习了利用计算机或计算器模拟实验产生整数值随机数来估算古典概型的概率.那么对于几何概型，我们是否也能用同样的方法来处理呢？请大家根据之前所学整数值随机数产生的方法，分别用计算器和计算机进行模拟实验，生成[0，1]的均匀随机数.（课件呈现“问题二”）

问题二：能否根据整数值随机数的产生方法，模拟产生[0，1]的均匀随机数？

学生分别按照课件指示的方法操作试验.部分学生用计算器模拟实验，依次按[SHIFT][RAN#][=]，再反复按[=].部分学生用计算机Excel表格模拟实验，在空格中输入函数“=rand（ ）”，按回车，产生一个随机数;通过复制、粘贴上面输入的内容，则可以产生多个随机数.

以上教学过程，“问题一”体现了在现实生活情景中理解问题、发现问题、提出问题，借助案例进行创课的思想，旨在让学生领悟几何概型的价值，激发进一步学习的热情;“问题二”体现了从复习旧知中提出问题，借助计算器、计算机等实验工具，在实践中拓展应用均匀随机数产生的方法，增强学习信心.让学生类比“整数值随机数的产生”操作[0，1]均匀随机数的产生实验，既明确了本课的实验工具，又强化了实验操作要领，为后面的实验探究做好了准备.该教学流程初步体现了问题导向、实验导学、旨在解惑的创课导学理念.

二、用变量思维确定参数，用建模思想模拟实验

为了培养学生的数学建模能力，教师需要在教学过程中设置相应的建模活动.基于数学建模的创课导学，重视建模活动中的问题导向、实验平台创设、实验探究过程展开以及结论分析.也就是说，创课导学既重视在实验前对学生进行变量思维和建模思想的启发引导，也重视在实验中对学生加强动手能力培养，在实验完成后还要引导学生对实验结果进行合理性分析评价.

（一）均匀随机数的原理

从区间[0，1]产生均匀随机数变换为在区间[[a，][b]]上产生均匀随机数，这已经涉及线性变换的问题，是学生理解上的第一个难点，而用几何概型估计随机事件的概率是学生理解上的第二个难点，也是本课的学习重点.数学课堂教学中，突出重点、突破难点的基本方法是问题导向、实验导学.

师：如果用[x]表示[0，1]上的均匀随机数，如何用式子表示[2，5]上的均匀随机数？（学生静默、思考，可以看出，对于区间的平移、伸长，学生不出所料出现了理解上的困难）大家能看出这里的区间长度、区间起点吗？

生：从区间起点及长度来看，应该先向右平移2个单位，再向右伸长3个单位.

师：怎样才能做到只向右伸长3个单位或5个单位呢？大家动手画一画、想一想，伸长的时候区间的长度、区间的起点如何变化？

生：伸长必须是左右两边同时变化，做不到只向右伸长3个单位或5个单位，所以我是先伸长3倍，再向右平移2个单位.

师：如果用[x]表示[0，1]的均匀随机数，你能用式子表示区间[2，5]上的随机数吗？

生：如果[x]是[0，1]的均匀随机数，那么[2+3x]就是区间[2，5]上的均匀随机数.

师：很好！下面请同学们在计算器或PAD上进行模拟试验，产生5个[0，3]，5个[2，5]上的均匀随机数，并记录在学案上.

学生自主操作实验.教师在巡视时重点观察学生两个方面的表现：第一，区间伸长3倍及伸长3倍再整体平移2个单位的数学表达是否正确;第二，使用实验工具进行实验操作是否规范、记录实验数据是否准确.观察到学生都能正确表达、准确操作后，课堂进入下一个问题解决过程.

师：我们将问题一般化，（课件出示“问题三”）要产生任意指定区间[[a]，[b]]上的均匀随机数，我们该如何变换呢？

问题三：如何产生区间[[a]，[b]]上的均匀随机数？

生：先伸长[b-a]个单位，再平移[a]个单位;[x]是区间[0，1]上的均匀随机数，[a+（b-a）x]为区间[[a]，[b]]上的均匀随机数.

师：很好！在均匀随机数方面，大家已经完成了由特殊到一般的学习历程.这样我们就可以在区间[0，1]的基础上，学会产生任意区间上的均匀随机数，只需关注区间的长度和起点就可以进行任意区间的变换了.（师课件呈现本环节分析理解过程，如图1）

数学学习的过程，是一个从特殊到一般、从具体到抽象的思维发展过程.学生经历了以上学习过程之后，对“区间[[a，b]]上的随机数”不再存在理解上的困难.

（二）均匀随机数的应用

从几何概型的实际运用到感悟随机模拟实验中的概率思想，这些教学过程可以让学生体会到新知其实是旧知的自然延伸，并可从中得到思想方法的涵育.

1.用一维长度型几何概型，初步培育学生的建模思想

师课件出示“例1”，带领学生先后展开以下探究活动：用几何概型公式求出答案的精确值;在Excel表格中，用随机模拟方法得出答案的估计值;总结用频率估计概率的步骤.

例1：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断.那么，剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？

很显然，例1是一个一维長度型几何概型问题.为了帮助学生厘清相关概念，教师先进行了演示操作（如图2），紧接着与学生展开了如下对话.

师：大家先想一想，这是一个什么概型？概率是多少？

生：这是一个几何概型.把绳子分成三等分，当剪刀落在AB段时则满足题意，概率为1/3.

师：这位同学帮我们找到了事件A即“剪得两段的长都不小于1米”发生的条件，并确定了它是几何概型.有没有同学能更详细地说一说，它为什么是几何概型？

生：剪刀落在哪里都是等可能发生的，且结果有无限多个，这符合几何概型的特征.

师：抓住了几何概型的等可能性和无限性，很好！只有确定了概型的种类，才能准确地求出概率的值.我们知道，无论是古典概型，还是几何概型，都是基于操作试验提炼而来的.虽然通过大量重复试验可以求出频率，但大量重复试验会消耗大量的时间和人力.今天，我们站在前人的肩膀上，可以借助计算器或计算机进行模拟试验，只不过，我们需要为机器设计一个基本的试验方案.为此，我们需要把试验结果和随机数一一对应，完成以下思考.（课件出示“思考一”）

思考一：①变量的范围是多少？②如何通过计算机产生变量？③事件A发生的条件是什么？如何用数学语言表示？④如何统计事件发生的频数？如何计算频率？

学生在纸上写写画画.教师巡视并启发学生思考，之后呈现分析过程及相关操作（如图3）;学生在PAD上操作，试验产生多个均匀随机数.之后是课堂分享各组试验结果（略），展开数学对话.

师：可以看出，各组算出来的频率不尽相同，和我们用几何概型公式计算出来的概率也不完全一样.谁来说一说为什么会有这样的结果？

生：我们每一组试验的次数不一样.

师：虽然试验次数不同，结果也不尽相同，但和1/3都很接近.我们通过大量试验计算出来的是频率，这个值与试验次数有关.这就是随机模拟的思想——用频率近似概率.

以上教学，先引导学生厘清概型种类，运用之前所学几何概型公式求出概率的精确值，再参考整数值随机数在模拟试验中的运用，利用Excel表格的随机数函数功能，用随机模拟方法得出答案的估计值，最后将两种方法进行比对，让学生体会用几何概型估计随机事件的概率思想.

2.用二维面积型几何概型，进一步发展学生的数学思维能力和利用模型解决问题的能力

师课件出示“例2”，将知识的应用引向纵深;课件出示“思考二”，启发学生自主思考，为分组展开实验设计做准备.

例2：假设你家订了一份报纸，邮递员可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，请问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

思考二：①为了表示时间，我们需要产生几组均匀随机数，范围是什么？②事件A发生的条件是什么？如何用数学语言表示？③如何统计事件A发生的频数？如何计算频率？

接下来，师生围绕关键问题展开课堂对话.

师：为了表示时间，我们需要产生几组变量？

生：需要两组变量[x]和[y]，分别代表邮递员送报到家时间和父亲离家时间，且两个时间都是随机的，在相应时间区间上是等可能发生的，有无限多种可能.因此，我们可以通过产生两组均匀随机数来表示.

师：这两组变量的取值范围呢？

生：[x]∈[6.5，7.5]，[y]∈[7，8].

师：6：30至7：30为什么表示成[6.5，7.5]？

生：把一个小时记作1，三十分钟则是0.5.

师：事件A发生的条件是什么？

生：只要报纸在父亲离家前送到，事件A就能发生.

师：事件A发生的条件如何用数学语言表示？

生：[x]<[y].

在确认学生数学思考基本对路之后，教师安排了如下探究活动：①弄清楚“思考二”中的3个问题后，初步设计例2中的随机模拟试验方案;②分组讨论，在学案上填写Excel表格中的具体内容;③以小组为单位展示本组表格设计，并解释每个空格中填写的内容.

学生分组进行探究活动，教师巡视指导;课堂展示某一个小组的表格设计，并通过课件呈现例2的分析过程及计算机模拟实验设计方案（如图4），随后安排学生分组完成Excel表格实践操作及试验结果汇报.

经过多轮次的操作练习，学生对计算机模拟试验操作已经驾轻就熟，虽各组试验结果不同但频率近似，于是教师课件出示“思考三”，并进行了改变实验次数的演示试验（如图5、图6），提醒学生注意观察图5和图6中频率稳定的范围，感受试验次数越多、概率估计越准确的原理.

思考三：①为什么每组得出来的频率值不一样？②利用随机模拟法得到的结果是精确值还是近似值？③利用随机模拟法估计几何概型的概率所蕴含的统计思想是什么？

图5重点观察频率及散点分布.图6是把试验次数设为横轴、事件A发生的频率设为纵轴后形成的一个折线图，是随机取出的一个拆线图，从中可发现，试验次数越多，频率越会稳定在0.87～0.88之间.综合图5和图6的观察结果，最终可以确定，取常数0.873作为试验结果相对近似.

以上教学过程，继续践行问题导向、实验导学、旨在解惑的教学原则，成功强化了学习重点：教师通过引导学生思考、设计、操作随机模拟试验，让学生进一步感受建模思想在几何概型随机模拟试验中的应用价值;学生通过演示实验，逐渐明白了一个道理——在随机模拟试验中，要使估计值更精确，如精确到“最后取常数0.873作为试验的结果”，需要在模拟试验中通过不断重复操作试验产生更多的随机数，并根据随机数进行频数统计，但是，这当中的数据运算量相当大，操作过程也会十分烦琐.

三、用量化思想计算求解，借检验结果梳理思路

数学建模能力的培养还需要在试验活动结束以后，运用相关计算原理来验证模拟试验结果的合理性;运用计算方法验证模拟试验的可行性，是本课学习的第二个难点.本教学环节实际是上一个教学环节的延伸，仍然围绕例2展开.师课件出示“问题四”，引導学生围绕该问题展开相关的计算和验证活动.

问题四：在“例2”中，如何用几何概型的计算公式求出答案的精确值？

运用几何概型理论求概率，旨在培育学生将实际问题转化为数学模型的数学建模素养，培养学生量化计算、数形结合的答题能力.

为问题求解的过程，大致包括以下三步.

第一步，确定一方的时间，明确事件发生的条件.若父亲离家时间确定为7：20，则邮递员送报时间为6：30至7：20即可;若邮递员送报时间确定为7：15，则父亲离家时间为7：15至8：00即可.而事件A发生的条件是送报时间≤离家时间.于是，师课件演示模拟试验的过程并呈现试验的结果（如图7）.

第二步，两个时间均随机，确定概率模型.运用几何画板演示：分离父亲离家和邮递员送报两个时间轴，几何画板动态分析事件结果构成的方形区域（如图8），确定问题为面积型几何概型.

第三步，设量建系，量化面积，计算概率.引导学生通过建立直角坐标系来解决问题（如图9），最后师生一起完成量化计算，得到准确概率.设邮递员送报时间为[x]，爸爸离家时间为[y]，则爸爸离家前取得报纸，只需送报时间早于离家时间，即[6.5≤x≤7.5，7≤y≤8]，[y≥x]，于是[P（A）=SASΩ=1-12×12×121×1=78].

求解结束，师生展开了如下对话.

师：将试验得到的散点图和估计的概率，与理论画出的示意图和计算的概率相对比，会发现结果是惊人的相似.随机模拟试验的思想是什么？

生：频率概率.

师：哪位同学来说一说用计算方法得出的概率与通过随机模拟试验方法得出的概率的关系？

生：通过随机模拟试验计算出来的是频率，即概率的近似估计值.通过几何概型计算公式计算得出的，则是概率的准确值.随机模拟试验的次数足够多时，这两个结果会非常接近，随机模拟试验的结果才更加可靠.

接下来是师生互动：教师以问题串的提问方式，引导学生归纳总结设计随机模拟试验时需要考虑的主要问题，厘清设计试验的基本思路;最后课件呈现思路图示（如图10）.

均匀随机数的应用教学，呈现了一个学习难度逐渐上升的过程.随机参数从一维上升到二维，难度加大，教师借助简单的线性规划原理，引导学生采用数形结合的方法确定可行区域，进而计算相应区域的面积，再运用几何概型的公式计算出准确的概率，从而验证了模拟试验的合理性.学生最终明白“用计算方法得出的概率与通过随机模拟方法得出的概率，当随机模拟试验的次数足够多时，这两个结果会非常接近，结果才更加可靠”，达成了学生对随机模拟方法的深刻理解，实现了问题导向、实验导学的“解惑”目标.

基于数学建模的创课导学，旨在将教学实施过程从知识技能立意转向核心素养立意.与传统的教学方法相比，以“问题导向、实验导学”为基本理念的创课导学，聚焦学生数学建模素养的培养，更能引导学生思考、探索数学与现实之间的关联，积累用数学模型解决实际问题的经验，从而加深对数学内容的理解，增强创新意识和数学知识应用能力.但是，创课导学对教师提炼教材核心问题的能力、组织开展课堂实验的能力要求都比较高，对学生理解能力、动手能力以及课堂实验工具的选择等也都有不低的要求，因此，在创课导学初始阶段，教师不可操之过急，需准确把握教材内容，精心设计核心问题，如此方能在课堂教学中创设与学生能力相适应的实验平台，引导学生通过实验探究、合作探究最终解决问题，让创课导学的课堂真正成为培养学生数学建模素养的课堂.

参考文献：

[l]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化教学的理念与策略——以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究，2015（9）.

[2]黄一娉，黄梦远，唐剑岚.基于5E学习环和H P工具的数学实验创课设计——以“函数图象平移变换”的教学为例[J].中小学课堂教学研究，2017（6）.

注：本文系广西教育科学“十三五”规划A类课题“e-数学实验室环境下高中数学课堂教学创新策略研究”（立项编号：2017A010）的阶段研究成果.

（责编 白聪敏）