累积和-休哈特控制图在GNSS 变形监测中的应用

段 朋

（安徽理工大学测绘学院，安徽 淮南 232001）

变形监测是指对变形进行长期观测，以观察其空间位置和内部形态随时间变化的规律[1]。随着科学技术的进步，许多大型建筑被投入使用。变形监测在高层建筑和大坝的形变情况监测中的作用愈加重要。在对变形体的长期监测中会获得大量数据，其中包含变形体结构的正常振动，也包含异常振动。对数据中的异常振动进行有效的识别和分析，是判别变形体是否安全的前提，因此对长期监测数据中的异常数据判别的准确性将会影响到整个监测过程与后续决策的可靠性[2]。

全球导航卫星系统（Global Navigation Satellite System，GNSS）具有测站间无需通视、自动化程度高、可全天候作业以及定位精度高等特点。这些特点使得GNSS 在测绘领域得到广泛的应用，推动了测绘领域的技术革新。李宏男等[3]探讨了全球定位系统（Global Positioning System，GPS）技术的发展过程，对基于实时动态（Real-Time Kinematic，RTK）载波相位差分技术的健康监测的前景做了展望，认为这项技术克服了传统测量的众多缺陷，具有独特的优越性。

对于变形监测数据中异常的识别与预警工作，国内外众多学者做了大量的相关工作。吴浩等[4]提出了一种基于小波分析的改进型3σ 粗差探测方法，结果显示其对较大粗差的检出效果较常规方法要好。戴海亮等[5]提出一种小波多尺度分解与奇异谱分析相结合的非线性运动建模方法来提取GNSS 站坐标时间序列的有用信息，提高了坐标时间序列的建模精度。REN 等[6]提出基于奇异谱分析的方法对GPS 坐标序列进行预处理，实验结果表明基于奇异谱的预处理方法可以较好地监测出粗差，减弱粗差对不确定跳变的准确判别，对粗差的监测和丢失数据的恢复具有重要意义。

控制图方法是统计过程控制（Statistical Process Control，SPC）中用于发现过程异常的理论方法。在SPC 中，控制图方法是应用较成熟的方法，常规的控制图有休哈特控制图和累积和控制图。两类控制图在对过程控制中各有侧重，互有优势，针对这一问题，本文提出一种累积和与休哈特的联合控制图，对GNSS 站坐标序列中的异常数据进行识别，并与使用单一控制图的实验结果对比分析。

1 两类常规控制图

1）休哈特控制图。休哈特控制图是由Shewhart 博士依据统计的3σ 原理提出的，被广泛应用在生产过程中产品的质量控制与实验数据控制。

当检测过程趋于稳定时，假定一组观测值Xt，t=1，2，3，…相互独立且服从同一正态分布N（μ0，σ2）。则在样本容量为n 时，样本均值落在置信区间的概率为99.73%，此时可以认为过程是受控的；反之，若有一部分样本均值落在置信区间外，这就表明发生小概率事件，过程存在异常。休哈特控制图的上控制线、中间线、下控制线分别为

2）累积和控制图。累积和控制图是基于序贯概率比检验而提出的，假定一组观测值Xt，t=1，2，3，…相互独立且服从同一正态分布N（μ0，σ2），在某一时刻过程均值发生偏移后，X～N（μ0，σ2），概率密度函数分别为f0（x）和f1（x）。

根据序贯概率比检验得到似然比统计量为

两边取对数，得到通用的对数形式似然比为

令k=（xt-μ0）/2，Δ=μ1-μ0，得到

同理，可得到累积和控制图的下偏移统计量为

2 联合控制图方法与参数设置

在使用联合控制图对过程进行控制时，需确保应用条件与相关参数一致，这样才可以将结果在同一图中呈现。先要确定样本大小一致，这样才可以将累计和控制图与休哈特控制图绘制在同一个图中。在实际使用累积和控制图时，样本大小根据实际需求设置，通常将其设置为1。在处理GNSS 坐标序列时，设置休哈特控制图与累积和控制图均不进行分组，样本大小均为1。从累积和统计量的定义来看，累积和控制图的中心线在0 的位置，而休哈特控制图的中心线在观测值的均值位置，为了使监控效果更直观，需要将两图的中心线调整到同一位置。首先，固定休哈特控制图的位置不变；其次，将累积和控制图的统计量按一定系数缩放，保留其趋势变化；最后，在中心位置加上均值，将累积和控制图的预警阈值也同样加上均值，这样控制图在图形上的统一就解决了。在对GNSS 坐标序列进行之前，还需将两类控制图的参数设置统一。

在应用累积和控制图前，需要根据实际情况对参数进行设置，设预警阈值为h。对于未知的偏移，为了有更好的监测效果，取k=0.5。为了计算预警阈值h，需要引入平均运行链长（Average Run Length，ARL）LAR的概念，为控制图发出预警之前的平均样本数。建议使用SIEGMUND[7]提出的近似方法来计算预警阈值h。累积和控制图的单侧ARL与均值偏移量的关系为

式中：k=Δ/2；b=h+1.166Δ。当Δ 为零时，LAR=b2作为近似估计。累积和控制图的ARL 与单侧ARL的关系可以表示为

式中：LAR+为上侧监测过程的ARL；LAR-为下侧监测过程的ARL。两侧ARL 的数值相同。

控制图的参数设置完成，下面通过仿真实验来检验联合控制图的检出效果。

3 仿真实验与结果分析

联合控制图与单独控制图的检出效果进行对比分析。实验数据为安徽理工大学某学院楼顶测站的监测数据，测站竖直方向波动比较大，不适宜做实验数据，采用水平方向上的X 方向的GNSS 数据。实验数据采样间隔为1 s，采集1000 历元的GNSS数据。图1 为GNSS 坐标序列。

图1 GNSS 坐标序列

应用控制图算法进行控制前，需要检验实验数据的正态性，通过运用Shapiro-Wilk 检验，得到数据的P 值为0.204，大于0.05，可以判断实验数据服从正态分布。取实验数据的均值μ0作为休哈特控制图的中心线，休哈特控制图的上控制线、下控制线分别可以由式（1）和式（3）得到。为了累积和控制图有更好的检出效果，取k=0.5。累积和控制图ARL 与休哈特控制图ARL 取同一值，由式（12）得到单侧ARL 为740，这样预警阈值h 可以由近似计算得到。在GNSS 坐标序列1000 历元中的400～500 处加入0.8 倍、1 倍、2 倍、3 倍的标准差作为变形数据，检验算法的检出能力。

图2 为休哈特控制图对仿真实验数据的监测结果。由图2-a～图2-e 可以看出，休哈特控制图对仿真实验数据中加入大偏移的异常数据具有较好的检出能力，而对小偏移的异常数据检出能力较差。休哈特控制图在实验中对2 倍标准差以上的偏移能够进行有效预警，但是对于2 倍标准差以下的偏移没有及时有效预警。实验证明了休哈特控制图对大偏移检出效果较好的结论。

图2 休哈特控制图对仿真实验数据的监测结果

图3 为累积和控制图对仿真实验数据的监测结果。由图3-a～图3-e 可以看出，在GNSS 变形监测中累积和控制图对仿真实验数据加入小偏移的异常数据具有较好的检出能力。图3-a 中仿真实验数据未加入标准差发生统计量超出预警阈值的问题情况是由于数据采集过程中多路径效应等产生的粗差而造成的，会使积累控制图产生误判，这种情况会随着仿真实验数据加入标准差的增大而消失。分析图3-b～图3-e 的结果，对仿真实验数据加入0.8 倍、1 倍、2 倍和3 倍标准差的异常数据，累积和控制图均及时给出了预警信息。累积和控制图对仿真实验数据加入1 倍以下标准差的异常数据发生异常的范围判定大致准确，但对于仿真实验数据发生大于1 倍标准差偏移的异常发生范围的判定不准确，累积和控制图误判的范围随着偏移的增大而增大。

表1为两类控制图报警区间。比较两类控制图，累积和控制图对加入的0.8 倍、1 倍标准差偏移具有较好的检出能力，能及时给出预警信息，且能识别出偏移出现的位置；对加入的2 倍、3 倍标准差偏移亦具有检出能力，但给出的预警区间为403~596，402~649，误判范围随着加入偏移的增大而增大。

图3 累积和控制图对仿真实验数据的监测结果（续）

表1 两类控制图报警区间

仿真实验数据标准差大偏移使得累积和控制图产生了预警滞后性，对过程中其他因素导致的偏移检出能力减弱。休哈特控制图对加入0.8 倍、1 倍标准差偏移的区间没有给出预警，在加入2 倍、3 倍标准差偏移区间处给出了预警，并且基本正确识别出了偏移发生的位置。

考虑将两种控制图结合进行监测过程，以及时发出预警信息和识别异常发生位置，提高检出异常的效率。图4 为累积和-休哈特联合控制图对仿真实验数据的监测结果。

图4 联合控制图对仿真实验数据的监测结果

联合控制图中实线表示的是休哈特控制图统计量，虚线代表的是累积和控制图统计量。分析联合控制图，在图4-b 与图4-c 中分别在400～500 历元处添加了0.8 倍和1 倍的标准差，休哈特控制图没有显示预警信息，而累积和控制图及时发现异常，发出预警信息。在图4-d 中，两个控制图都发出了预警信息，累积和控制图出现回收速度的滞后导致无法准确识别偏移发生位置，休哈特控制图则能准确识别偏移发生的位置。联合控制图对大小偏移均具有较好的检出能力。

图4 联合控制图对仿真实验数据的监测结果（续）

4 结论

本文对GNSS 异常探测中的两种控制图方法进行了详细的阐述，并通过对实测数据加入变形信息的方法，发现了使用单一控制图对过程均值进行控制时存在缺陷。依据LUCAS[8]的思路考虑使用累积和控制图与休哈特控制图的联合方法同时对过程进行控制，结果表明联合方法提高了对异常数据的检出能力，在使用过程中做到了无论是大偏移还是小偏移，都具有良好的检出效果。联合控制图弥补了两者的不足，将两图结合的方式也使得控制结果更加直观。