“整体思想”在整式运算中的运用与思考

颜厥胜

[摘要]整式运算法则的教学是中学数学教学的难点，其形成伴随着对“整体思想”的不断渗透和整体结构的不断扩展。文章以整式的加减运算和乘除运算中出现的问题为例，具体阐述如何在教学中运用“整体思想”，从整体结构上把握运算形式;运用“整体思想”不断丰富学生对整式运算法则的理解和认识;利用思想方法的递进式渗透和对旧知识的再认识，帮助学生克服学习过程中的重重困难。

[关键词]整体思想;整式的加减;整式的乘除

[中图分类号]G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（ 2020） 21-0059-02

一、问题的提出

笔者在教学中发现，学生在学习七年级上册“整式的加减”和七年级下册“整式的乘除”中出现了较多的问题，包括对字母表示数的理解以及运用乘法公式计算等都出现了一些典型的错误，学生学习的障碍在哪里？教师教学中应该怎样处理呢？经过深入地钻研教材、系统地思考和整理，笔者认为在问题解决中应该强化运用“整体思想”解题，在学习运算法则时也应该利用“整体思想”帮助学生加深对运算法则的认识，下面以学生在学习过程中出现的问题为例进行阐述。

二、据果索因

1.整式加减运算出现的问题示例分析

[错例1]-a表示负数

[错例2] _4ab+3b²_9ab_b²=_4ab+9ab_3b²_b²

[错例分析]错例1主要是学生对字母表示数的概念理解不透彻，对负数表示方式的认识不清，把-a前的“一”号作为整个数唯一的符号，没有意識到-a中的整体a还含有符号。错例2是学生在学习有理数加减运算时已经接触过类似的问题，也犯过类似的错误，但在整式加减运算时仍然会再犯错，特别是整式前面是负号时，移动位置容易漏掉负号或者把负号给了移过来的项。

2.整式的乘法运算出现的问题示例分析

[错例3] （2n+4m）（2n-4m）=2n²-4m²

[错例4]（2m-1）²=2m²-1

[错例分析]出现错例3、错例4的原因主要是对平方差公式和完全平方公式的结构没有完全掌握，对算式中的代数式与公式中的字母a、b的对应关系没有认清楚。错例3主要是对字母前的数字不知道怎样处理，而错例4则是直接把完全平方公式当作平方差公式处理，而且还出现了与错例3同样的错误，没有把“整体”括号起来。

3.去括号时出现的问题示例分析

[错例5]（x+1）²一（x+2）（x-2）=（x+1）²-x²-2²

[错例6 ]4x²-2（x-3）=4x²-2x-3

[错例分析]错例5、错例6出现的主要是符号和漏乘的错误，这类题学生容易出错，主要原因是对去括号法则理解不透彻，另一方面是由于学生“跳步”造成的，分配律和去括号同时进行，对初学者来说容易顾此失彼。

三、教学对策

1.运用“整体思想”，从整体结构上把握运算形式

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

错例1、错例2是在学习整式的加减运算时出现的，错例1表明学生对字母a的意义认识不清，字母a 可以代表任何有理数。可以把字母a 看成是一个“整体”，而前面的“一”号是a的前面加个负号，表示a的相反数，-a是不是负数由a的符号决定，有三种情况。只有当a是正数时，-a才是负数。对于-a的理解对后面的学习也有较大的影响。比如求|a|时，要考虑整体的a的符号，也是分三种情况：①当a>0时，|a|=a;②当a=0时，|a|=0;③当a<0时，|a|=-a。第③种情况的-a表示正数，而不是学生一开始认为的负数。错例2中学生在进行整式加减运算的时候，没有把每一项当作一个“整体”，在移动它们的位置时把前面的符号搞混了。首先应弄清-4ab+3b²-9ab-b²这个多项式应由哪些项构成，这些项就是一个整体，在运用加法交换律交换他们的位置时，应“整体”交换，而不应该把他们前面的符号丢了或者换了，这也是一个典型的没有从整体上把握运算的错误。在有理数的加减运算中就已经渗透过这种整体思想的运用。

错例3出现的问题就是在运用平方差公式时没有把左边的2n，4m“整体”看作公式里的a和b，等式右边的平方应对“整体”平方，即（ 2n）²一（4m）²，最后才能得到正确的结果。错例4初看是平方差公式与完全平方公式弄混淆了，究其原因还是没有从整体上把握算式的结构，（2m-1）²是一个整体，（2m-1）的平方与完全平方公式（a-b）²=a²-2ab+b²左边的形式相同，2m相当于公式中的a，1相当于公式中的b。

解决错例5的问题也可以把（x+2）（x-2）看作一个整体，是（x+1）²减去一个整体。整体用平方差公式先加括号得（x+1）²- （x²-2²），再去括号即得正确结果。错例6错在去括号时符号的错误，可以把-2看作整体乘另一个整体（x-3），用乘法分配律得到正确结果4x²-2x+6。或者分两步走，先等于4x²-（2x-6）再去括号等于4x²-2x+6。第二种解法中也是强调减去整体（2x-6），先把整体括号起来，再去括号。

2.运用“整体思想”，从整体结构上丰富学生对运算法则的理解和认识

比如教材中的合并同类项法则：合并同类项是把各个同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。但是在实际应用中学生不理解这个法则，比如3a-5a=（ 3-5）a=-2a，其中系数是3减5，学生问为什么法则里面却是“系数相加”呢？这里仍然是运用“整体思想”“理解运算法则，代数式是由两个“整体”3a与-5a相加，而-5a的系数是一5，3加一5就是3减5。通过运用整体思想能较轻松地理解法则的含义。

又如，教学多项式乘多项式时，教师可通过讲解计算相同长方形面积的方法得出（m+n）（a+b）=m（a+b）+n（a+b） =ma+mb+na+nb或者（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b=ma+na+mb+nb，两种方式推导出多项式乘多项式的法则，都可以运用“整体思想”来理解。第一种以（a+b）作为一个整体，用乘法分配律乘以多项式（m+n）;第二种以（m+n）为整体，用乘法分配律乘以多项式（a+b）推导出结果，最后再让学生用文字语言来叙述法则，这样学生就能从整体思想上理解多项式相乘法则的推导。

在运用乘法公式计算时也需要用整体思想，如计算：（-x-1）（1-x）需要把一x看作一个整体，再用平方差公式展开，（-x-1）（1-x）=（-x-l）（-x+1）=（-x）²—1²。计算：（x+y-1）²需要把三项中的两项看成一个整体，再运用完全平方公式展开，如（龙+y一1）2=[（z+y）一1]2=（x+y）²—2（x+y）+1。又如，计算（a-b+c）（a+b-c）也需要把（b-c）看作一个整体，（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]=a²一（b-c）²。“整体思想”既加深了学生对运算法则的理解和认识，又巩固了学生对运算法则的运用。

3.“整体思想”在數学运算中的递进式扩展

数学运算是数学学科的核心素养之一，是数学活动的基本形式，是学生必备的一项基本技能，是贯穿整个数学学习的基本链条，也是得到数学结果的重要手段。

从字母代表数、整式的加减到整式的乘除，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式，无不可以运用整体思想去帮助学生加强对运算法则的理解，运用乘法公式解决问题也常用到这个方法。比如，已知a+b=14，a²+b²=100，求ab的值。有学生这样解：因为a+b=14，所以a= 14-b代人a2+b2=100中得（ 14-b）²+b²=100，接着就解不下去了（因为七年级还没学到一元二次方程的解法），所以，这里也是从整体思想人手，不可分别求Ⅱ、6的值，应从整体去求ab。又如，已知a+b=5，ab=-3，求a²+b²和（a-b）²，这同样也是用整体思想解决问题。整体思想在解决问题中有广泛运用，后面的二次根式、解二元一次方程组等运算中，也可以时不时运用整体思想，都伴随着整体思想的不断渗透和整体结构的不断扩展。因此，教学中要加强知识的前后联系。教师要利用思想方法的递进渗透和对旧知的再认识，帮助学生克服学习过程中的重重困难。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。教师应从树立整体思想的概念人手，从整体结构上把握运算形式;运用“整体思想”不断丰富学生对整式运算法则的理解和认识;利用思想方法的递进式渗透和对旧知识的再认识，让学生能够灵活掌握并能应用到具体问题中去，这对学生思维方式的创新和解题方法的提升都有帮助。

[参考文献]

[1]陈恩丹.基于“生成性”教学理念下的法则教学实践[J].中学数学，2017（538）：25.

[2]王连业.“添括号”与“去括号”错例剖析及教学建议[J].中学数学教学参考，2019（ 1-2）：8.

[3]武丽虹.建构核心问题着力数学运算[J].中学数学教学参考，2019（9）：12.

（责任编辑谭斯陌）