矩阵分块常见题型总结

司福宁

【摘要】 矩阵分块是矩阵学习中的难点部分，本文总结归纳了有关分块矩阵的分块方法、基本运算、求逆、求转置等基础知识，列举了矩阵分块在实际应用中的常见题型。

【关键词】 矩阵 分块 总结

1 引言

矩阵分块在处理阶数较高的矩阵中经常使用，学生在学习这一块内容，尤其是面对高阶矩阵时往往心生畏惧。其实，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，如同矩阵是由数组成的数表一样。因此在运算分块矩阵时，把一些小矩阵当作数来处理，使用普通矩阵的运算方法来处理分块矩阵即可。为此，本文总结归纳了分块矩阵的常见题型及解题方法，以期学生在学习分块矩阵时有所帮助。

2 有关分块矩阵的基础知识

将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

2.1 常见的分块方法

（1）列向量分块法，即A=（α1，α2，…，αn）其中αi为A的列向量。

（2）行向量分块法，即，其中βj为A的列向量。

（3）分成两块，即A=（A1，A2），其中A1，A2分别为A的各若干列作成。或，其中B1，B2分别为A的各若干行作成。分成四块，即

注：矩阵的分块方法不是唯一的[1]，以上只是列举了常见的分块方法。矩阵分块可以根据问题的不同进行灵活分块选择。

2.2 分块矩阵的基本运算（以2×2型分块矩阵为例）

（1）加法：若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即

注：分块矩阵加法形式上看成是普通矩阵的加法。

（2）数乘：

（3）乘法[2]：

2.3 分块矩阵求逆

定义法：若

另外，求分块矩阵的逆矩阵时，也常用广义初等变换法和解方程组法。

2.4 分块矩阵的秩

2.5 分塊矩阵转置

注：分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置.

2.6 分块对角矩阵

定义：设A是 n 阶矩阵，若满足（1）A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，（2）其余子块都为零矩阵（3）对角线上的子块都是方阵，那么称A为分块对角矩阵.

注：分块对角矩阵具有如下性质，

3 分块矩阵常见题型举例

例1（分块矩阵的乘法运算）

求证：Am×n=0m×n的充分必要条件是方阵ATA=0n×n.

证明：把A按列分块，有A=（aij）m×n=（α1，α2，…，αn），于是，

，那么

所以，A=O

例2（利用分块矩阵求矩阵的逆）

一般地，当矩阵中含有较多的零元素，或高阶矩阵经分块后有若干子块是有特征的矩阵时，用分块矩阵进行运算是比较方便的，可以大大减少运算量[3]。

例3（求分块矩阵的逆） 设A，B均为2阶矩阵，A*与B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，求分块矩阵的伴随矩阵。

总结

分块矩阵的加法运算、乘法运算以及求转置时都与普通的矩阵运算有很大的相似之处，本文总结了有关矩阵分块的基础知识和实际应用中的常见题型。矩阵分块这部分内容经常会与其他知识点结合在一起考查，比如求解矩阵方程，求秩、求逆矩阵等。限于篇幅，分块矩阵的广义初等变换在此没有介绍。

参考文献：

[1] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].背景：中央民族大学出版社，2014：161-162.

[2] 张宇.线性代数9讲[M].北京：高等教育出版社，2019：41-42.

[3] 钱椿林.线性代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010：64.