矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索

李燕娟

摘 要

矩阵的初等变换在线性代数中起着举足轻重的作用，本文基于行、列阶梯形矩阵研究矩阵的初等行、列变换，并多角度、多解法举例探索初等变换在求矩阵的秩、求逆矩阵、解矩阵方程及求解线性方程组等中的应用。

关键词

初等变换;线性代数;矩阵

中图分类号： O151.2                     文献标识码： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 18 . 23

Abstract

The elementary transformation of matrix plays an important role in linear algebra. This paper studies the elementary row and column transformation of matrix on the basis of row and column stepped matrix， and explores the application of elementary transformation in the rank of matrix， inverse matrix， solving matrix equations and solving linear equations with multi-angle and multi-solution examples.

Key words

Elementary transformation; Linear algebra; Matrix

矩陣的初等变换是线性代数中一个非常重要的内容，绝大多数的的教材在讲解矩阵的初等变换时，都会分别介绍矩阵的初等行变换和初等列变换。然而，现有文献在探索矩阵的初等变换应用时却多数只运用了初等行变换[1-3]。那么，可以运用初等列变换来解决问题吗？本文就此问题通过几个题型来举例说明初等行变换和初等列变换在解决相关问题中的应用及区别，以解决学生心中的疑惑。

1 矩阵的初等变换

由文献[4]和[5]，给出矩阵初等变换、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、列阶梯形矩阵、列最简形矩阵的定义。

定义1[4]：下面3种对矩阵所作的变换称为矩阵的初等行（列）变换：

（1）对调两行（列）。

（2）以一个非零数乘某一行（列）的所有元素。

（3）某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义2[5]：设A是m×n矩阵，A中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵A满足：

（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零行的下方。

2 矩阵的初等变换在线性代数中的应用

2.1 求矩阵的秩

因为初等变换不改变矩阵的秩，所以求矩阵的秩既可以进行初等行变换化为行阶梯形矩阵也可以进行初等列变换化为列阶梯形矩阵。

2.2 求逆矩阵

因为方阵A可逆的充分必要条件是A→E，所以可以利用初等行变换将（A，E）化为（X，Y），若X=E，则A可逆且A-1=Y，还可以利用初等列变换将AE化为FP，若F=E，则A可逆且A-1=P。

参考文献

[1] 赵怡欣，刘陆军.矩阵的初等变换应用研究[J].教育教学论坛，2017（25）：228-229

[2]缪应铁.矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用[J].数学学习与研究，2018（17）：24-24.

[3]唐献秀，林尤武.简谈矩阵初等变换的应用[J].科技信息，2012（33）：708+712.

[4]唐晓文，王昆仑，陈翠.线性代数（第二版）[M].上海：同济大学出版社，2012.

[5]杜美华.行阶梯与行最简形矩阵在线性代数中的应用及其在MATLAB中的实现[J].齐齐哈尔大学学报，2015（3）：90-94.