得到魔杖的概率

刘金龙

塔塔镇来了一位奇怪的魔法师，他在镇子东头的老槐树下放了两个箱子，引来了镇上人的围观。

魔法师摆放的两个箱子中，甲箱子是透明的，里面有1枚黄灿灿的金币，乙箱子却是不透明的，里面可能有1根魔杖。据说魔杖很厉害，可以让人拥有人人羡慕的魔法，不过这些魔法需要有一颗善良的心才能使用。

可是，乙箱子里可能有魔杖，也可能没有，每个人的选择机会只有一次：要么选择单独拿走乙箱子，要么将两个箱子同时拿走。

你肯定会说，当然是两个箱子都拿走啦，不拿白不拿！别着急，既然是魔法师摆放的箱子，哪会那么容易让你都拿走呢！

魔法师拥有可以预测未知的魔力，据说他的魔力预测未知的准确率高达90%，在他预测到你会将两个箱子都拿走时，他就会让乙箱子空着，你虽然拿到了两个箱子，却只能拿到1枚金币;若魔法师预测到你会单独拿走乙箱子，他就会预先把1根魔杖放进乙箱子中，这样，虽然你只拿走了乙箱子，放弃了甲箱子里的金币，却可以得到1根很厉害的魔杖。那么，你会做出何种选择呢？

古噜噜：这有什么问题吗？如果让我选择的话，我当然将两个箱子都拿走喽！万一魔法师预测不准，我至少还能拿到1枚金币啊。

阿木老叔：别着急做决定，魔法师的预测准确率可是高达90%的，让我们先测算一下吧。

第一种思维如果魔法师预测到来拿箱子的人会将两个箱子都拿走，他就会让乙箱子空着，这个时候拿箱子的人实际就要选择将两个箱子都拿走，这样至少能拿到1枚金币;如果魔法师预测到来拿箱子的人只拿乙箱子，他就会将1根魔杖放入乙箱子里面，这个时候，拿箱子的人实际更应该将两个箱子都拿走，因为甲箱子里可是有着1枚金币呢，无论何时都存在，没理由放弃啊。

第二种思维

古噜噜：他们两拨人的分析都很有道理啊，到底该拿两个箱子还是单独拿走乙箱子呢？

阿木老叔：又迷糊了吧？这就是这道题的精妙之处，也是数学的有趣之处，继续认真往下看吧。

塔塔镇的居民中，无论是哪一种思维的人，他们想的都是最大可能拿到魔杖，出现一个最佳的结果。既然知道了魔法师预测的准确率，我们不妨帮他们做一个概率的分析。

当魔法师的预测正确时，最佳结果是拿箱子的人可以拿到1根魔杖;而当魔法师的预测出现错误时，那最佳结果便是拿箱子的人可以拿到1根魔杖加1枚金币。

当拿箱子的人选择拿走两个箱子的时候，会出现两种结果：拿到1枚金币或者拿到1根魔杖加1枚金币;当拿箱子的人单独选择乙箱子的时候，也会出现两种情况：拿到1根魔杖或者什么也得不到。因为选择拿走两个箱子和单独拿走乙箱子是两个相互独立的事件，因此，这两种选择各自有50%的可能。

在选择拿走两个箱子的时候，能拿到1枚金币的概率是100%，而能拿到1根魔杖的概率却只有10%。因为从整体上分析，选择拿走两个箱子的概率是50%，所以，能拿到1根魔杖的概率实际是5%（拿到1根魔杖+1枚金幣），而能拿到1枚金币的概率也就是50%（拿到0根魔杖+1枚金币）。

在选择单独拿走乙箱子的时候，能拿到1根魔杖的概率是90%，什么都得不到的概率是10%。因为从整体上分析，选择单独拿走乙箱子的概率是50%，所以，拿到1根魔杖的概率是45%（拿到1根魔杖+0枚金币），而什么都得不到的概率则是5%（拿到0根魔杖+0枚金币）。

古噜噜：看完这个博弈的过程，我觉得其实也没什么最佳结果了，因为条件限制，只能出现这样的情况。

阿木老叔：明白了吧？这里面其实包含了一个著名的悖论，叫作纽科姆悖论。也有人说这个悖论是自由意志信徒和决定论信徒的“石蕊试纸”。感兴趣的小伙伴们可以继续深入研究探讨哦。

编辑：可是，大家有没有想过，若改变其中的某个或者某几个条件，是不是就可以避免出现这个悖论呢？

古噜噜：对啊，我怎么没想到呢，可是，改变哪一个条件呢？

阿木老叔：从博弈的过程来看，一切都与魔法师预测未来的准确率有关，我们不妨试一下改变这个准确率，看看结果会怎么样。

假设将魔法师预测未来的准确率改为50%，那么在选择拿走两个箱子的时候，能拿到1枚金币的概率是100%，而能拿到1根魔杖的概率却达到了50%，因为从整体分析，两个事件的概率还是各占50%，所以，能拿到1根魔杖的实际概率是25%（拿到1根魔杖+1枚金币），而能拿到1枚金币的概率还是50%（拿到0根魔杖+1枚金币）。

而在选择单独拿走乙箱子的时候，能拿到1根魔杖的概率也降到了50%，什么都得不到的概率则上升到了50%。再结合整体选择单独拿走乙箱子的概率为50%，从而得出，拿到1根魔杖的概率实际已经降为25%（拿到1根魔杖+0枚金币），而什么都得不到的概率实际也增加到25%（拿到0根魔杖+0枚金币）。

这样的话，毫无疑问，当然就是将两个箱子都拿走了，因为无论拿不拿甲箱子，能够单独拿到1根魔杖的概率都是25%，而将两个箱子都拿走还能增加50%的概率同时得到1根魔杖+1枚金币，若不拿甲箱子的话，反而有25%的概率空手而归。

古噜噜：看来，魔法师的预测准确率才是这个悖论的关键所在啊！

阿木老叔：明白了吧？之所以为悖论，就是因为受本身给出的一些条件的限制，若改变其中的关键条件，也许悖论就不存在了。好好学习吧。