关于一道向量试题的解题反思

许四军

摘要：向量是高中数学重要内容和解决问题的有效工具，近几年高考中出现的关于向量问题的考查也越来越凸显向量知识的重要性。本文结合一道向量试题，尝试从代数，几何及向量角度去研究解决向量问题，旨在抛砖引玉，能够让大家带来更多思考。

关键词：高考;向量;试题研究

中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2020）16-0177-02

平面向量是高中阶段重要内容，是连接代数与几何之间的桥梁，主要用代数的方法研究几何，是研究数学问题的重要工具.笔者在实际教学中发现，学生对向量比较畏惧，学习困难比较大，向量问题往往错误率比较高[1]。究其原因，还是对向量概念理解不清，对向量的应用及其作为重要解题工具把握不到位.来看一道来自平时的向量作业题：

引例：设非零向量a→，b→且|a→|=2，|a→+2b→|=2，则|a→+b→|+|b→|的最大值为

分析：由于向量处于代数和几何之间的学科，因此向量问题通常可以从代数、几何和向量三个角度去考虑.[2]

解法一：代数法。由|a→+2b→|=2，两边平方得，|a→|2+4a→b→+4|b→|2=4

又|a→|=2，代入得，a→b→+|b→|2=0即b→（a→+b→）=0，也即b→^（a→+b→），

因为向量a→，b→，a→+b→构成以|a→|为斜边的直角三角形，故|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4，

由基本不等式可得，|b→|+|a→+b→|2？|b→|2+|a→+b→|222（当且仅当|b→|=|a→+b→|=2时取”=”），所以|a→+b→|+|b→|最大值为22.

解法二：整体思想。注意观察到未知向量与已知向量之间有如下关系：

（a→+b→）-b→=a→，（a→+b→）+b→=a→+2b→，

不妨令a→+b→=x→，b→=y→则试题转化为：

设非零向量x→，y→且|x→-y→|=2，|x→+y→|=2，则|x→|+|y→|的最大值为

结合向量加法、减法运算的几何表示可知，与为以向量为邻边的平行四边形的两条对角线.如下图：

因为|x→-y→|=|x→+y→|=2，即平行四边形对角线相等，故该四边形为矩形，所以，|x→|2+|y→|2=4

由基本不等式知识，|x→|+|y→|2？|x→|2+|y→|222（当且仅当|x→|=|y→|=2时取”=”）

所以，|x→|+|y→|的最大值也即|a→+b→|+|b→|最大值为22.

解法三：解析法（轨迹法）考虑教材上分别从几何表示和坐标表示两种途径去展开向量知识的研究，因此向量的问题也可以从解析法的角度去分析解决.[3]

因为|a→|=2，不妨设向量a→起点为坐标原点，且设a→=OA→=（2，0），如下图：

设b→=OB→=（x，y），则a→+2b→=（2+2x，2y），因为|a→+2b→|=2，故向量b→终点B轨迹为：（x+1）2+y2=1

而在坐标运算下，|a→+b→|+|b→|=（x+2）2+y2+x2+y2，其几何意义为BC+BO.

也即：在圆（x+1）2+y2=1上找一点B，值得BC+BO取得最大值.

因为OC恰为圆的直径，故BC2+BO2=4，

由方法一中基本不等式，可得BC+BO最大值为22即为所求.

解法四：利用向量的线性表示（几何）[4]

假设向量a→，b→首尾相连，根据向量线性运算的法则，作出向量a→+b→，a→+2b→如下图：

又|a→|=|a→+2b→|=2，故DOAB为等腰三角形，而C为AB的中点，所以OC^AB.

所以由勾股定理得，OC2+AC2=OA2即|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4.

由基本不等式可得，当且仅当|a→+b→|=|b→|=2时，|a→+b→|+|b→|最大值为22.

结语

在平时数学学习中，我们会遇到大量数学试题，如果只是机械式的做题，而不去思考，反思，那么学生的思维是没有灵性的，效率也不高。希望本文可以起到抛砖引玉的作用，让学生在学习过程中能够多思考多反思[5]，促進自己更加高效的学习。

参考文献：

[1]陈桂玲.小学数学课堂趣味导入策略[J].现代教育，2017（10）.

[2]许国平.小学数学课题教学中学生创新意识的培养[J].科学咨询（教育科研），2017（12）.

[3]夏小刚，吕传汉，汪秉彝，等.中小学“数学情境与提出问题”教学的实验研究[J].中国教育学前沿，2007，13（3）：84-87.

[4]佚名.中小学数学“情境——问题”教学模式研究[C]//教师教学能力发展研究科研成果集（第十三卷）.2018.（6）13-117.

[5]刘金艳.小学数学情境教学研究分析[J].中国校外教育旬刊，2015（6）：103-103.