一类Ostrowski型双边不等式1

时统业, 曾志红

（1.海军指挥学院，江苏 南京 211800 ；2. 广东第二师范学院 学报编辑部，广东 广州 510303）

本文假设常数M ＞0， f是定义在［a,b ］ 上的二阶可微函数且M．为方便起见，记

1938年，Ostrowski[1]给出了用函数值近似平均值的误差估计．

Ostrowski不等式已有许多改进和推广[2-12]，包括扰动的Ostrowski型不等式[5]、涉及导函数凸性的Ostrowski型不等式[8-9]、加权的Ostrowski型不等式[12]等等. 在文献[2]中有如下结果：

本文把注意力集中到用一阶或二阶导数来估计差值I．将仿照文[13]的方法给出式(1)的加强．

1 预备知识

为得到本文的主要结果，需要下面的引理．

引理1 设 f是［a,b ］上的二阶可微函数，且f′′在［a,b ］上可积，则有

证明 用分部积分法容易证明，这里略去过程．

故式(2)得证．类似可证式(3)．

由引理2知λ≥0，μ≥0．

2 主要结果

证明 由引理1，对任意常数ε，有

综合式(8)~(9)，可得I≤φ()ε1，其中

综合式(10)~(13),式(4)得证．

综合式(15)~(18),式(5)得证．

证明 利用引理1，对任意常数ε有

综合式(25)~(26)，可得I≤φ()ε3，其中

综合式(27)~(30),式(21)得证．

综合式(25)和式(31)，可得I≤φ()ε2，其中

综合式(32)~(35),式(22)得证．

证明 在定理2中取 x =(a +b) 2即可得证．