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巧用转化策略提升解题能力

2020-07-18杨昆

安徽教育科研 2020年12期
关键词:解题能力小学数学

杨昆

摘要:小学数学涉及很多图形知识,其中求解图形面积、线段长度是重要考點。部分问题具有一定难度,不仅需要学生牢固掌握基础知识,而且需要具备灵活的思维,需要根据给出的已知条件进行巧妙的转化。为让学生掌握转化技巧,提升图形问题的解题能力,教学中应做好题型的总结,为学生逐一的剖析,为他们解答相关习题带来启发。

关键词:小学数学 图形问题 解题能力

小学数学中涉及的图形有三角形、平行四边形、梯形、圆形以及长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等,相关题型复杂多变,学生仅仅掌握基础知识是不够的,还应注重学习相关的解题方法与技巧,充分挖掘题干中的隐含条件并进行巧妙的转化,才能实现顺利求解。因此,教学中,教师应结合具体例题,为学生讲解转化的相关技巧,促进其解题水平的提升。

一、用割补法解答图形问题

割补法是解决图形问题的重要方法之一,具有较强的灵活性,需要根据已知条件对分开的、看似无规则的图形进行割补,将之转化为规则的、易于求解的图形。教学中,教师应为学生讲解割补法的相关知识,加深其对该种方法的认识与理解,提高其应用割补法解答图形问题的意识。同时,为让学生掌握割补法在解题中的应用,教师应筛选具有代表性例题,与学生一起分析解题思路,使学生在加深印象的同时掌握割补法适宜解答的题型、积累割补法应用经验,以便再遇到类似问题时能够及时找到解题突破口,实现快速、高效解题。

例1,已知半圆的半径为5厘米,已知角度已在图1(甲)中标出,求图中阴影部分的面积(π取3.14)。

分析:图1(甲)中的阴影部分是分开的,而且不规则,看似无法直接运用所学知识求解。事实上,可以将右侧的阴影部分割补到左侧与之对应的位置,然后运用扇形及三角形面积计算公式,通过作差求解。

解答:运用割补法将图1(甲)转化为图1(乙)。由于半圆的半径为5厘米,因此直径为10厘米,对应扇形的半径也为10厘米。由图中45°角可知,扇形的面积为半径10厘米圆的1[]8,对应圆的面积S圆=10×10×π=100π平方厘米,对应扇形的面积为S扇=1[]8×100π=12.5π平方厘米,而空白三角形的面积S三角形=1[]2×10×5=25平方厘米。综上可知,阴影部分的面积S阴影=12.5×3.14-25=14.25平方厘米。

二、用平移法解答图形问题

平移法是通过平移一些图形,将原本看似复杂的图形转化为规则图形的一种解题方法。通过平移,能降低分析问题的难度,提高解题的成功率。教学中,为让学生掌握平移法,一方面,教师应讲解使用平移法解答的例题,帮助学生弄清平移的思路。另一方面,应鼓励学生总结适宜平移法解题的题型,尤其对于被分隔成多个部分的图形,可考虑使用平移法进行转化、解题。另外,应鼓励学生积极思考,总结使用平移法解题的技巧,即根据题目要求,平移图形时可将图形适当变形,如在保持图形面积不变的基础上可将平行四边形变形为长方形,从而降低计算复杂度。

例2,如图2(甲)为一块长16米、宽10米的长方形农田,中间分布两条长方形、一条平行四边形的道路,道路的宽均为2米。则该农田种植农作物的面积有多大?

分析:图2(甲)中种植农作物部分被分隔成六个部分,而且对应边的长度未知,因此直接求解显然不可能。部分学生虽然想到使用总的面积减去道路的面积求解,但计算时容易忘记道路重合部分,导致出错。事实上,使用平移法进行转化,可获得事半功倍的效果。

解答:其中一条平行四边形道路和长方形道路的面积相等,因此,可将其转化为长方形的道路,将图2(甲)中的道路平移成图2(乙),长方形农田的总面积S农=16×10=160平方米,三条道路去除重合部分面积S路=(2+2)×10+2×(16-2-2)=40+24=64平方米,则种植农作物的面积S=S农-S路=160-64=96平方米。

三、用转换法解答图形问题

转换法是一种间接求解图形问题的方法。当采用直接法求解图形问题的难度较大时,可转换为求解问题的反面,得出反面的结果后,用总体减去反面,便可得出要求解的结果。为使学生熟练应用转换法解答图形问题,教学中,教师应展示相关例题,引导学生从整体上把握图形,不要只盯着要求解的问题,通过转换寻找解决问题的思路。另外,要让学生多加练习,在训练中积累转换法的应用技巧,鼓励学生多与同学沟通、交流,注重借鉴他人优点,不断提升自己的解题水平。

例3,如图3,长方形ABCD的长和宽分别为5厘米、3厘米,EF将其分成两个长方形,在边AB和CD上分布着大小不等的三角形,其顶点均落在EF上,求空白部分的面积。

分析:题目给出的已知条件非常少,对多数学生而言直接求解空白部分的面积难度较大。解题时可采用转换法,通过求解阴影部分的面积间接的求出空白部分的面积。

解答:长方形ABCD的面积S长=5×3=15平方厘米。求解阴影部分面积时可先分析三角形面积的表达式,从中找到规律,而后进行解答。以长方形ABFE中的三角形为研究对象,其面积表达式均为1[]2×底×高。高均相等,等于BF的长,而各底加起来正好为AB的长,则其总面积为S1=1[]2×AB×BF。同理,在长方形EFCD中也存在这一规律,其总面积S2=1[]2×CD×FC,而AB=CD=5厘米,BF+FC=3厘米,则S1+S2=1[]2×AB×BC,表明其为长方形ABCD面积的一半,则空白部分的面积S=1[]2S长=7.5平方厘米。

四、用代换法解答图形问题

代换法主要运用的是面积或线段相等,通过等量代换实现解题的一种方法,在解答小学数学图形问题中应用率较高。为让学生掌握这一重要方法,对题干进行巧妙的转化,实现快速解题,教学中教师应引导学生关注图形中的等量关系,如在长方形中两条长和两条宽分别相等、正方形中四条边均相等。同时,设计针对性的问题,与学生一起分析、解答,使其深入理解代换法的具体应用。

例4,如图4,ADHE为长方形,BCGF为正方形,其中正方形两条边和长方形AD、EH边重合,其中FH=18厘米,AC=24厘米,求长方形ADHE的周长。

分析:题目中并未直接给出长方形ADHE的长和宽,需要从已知条件中找到等量关系,通过替换解答长方形ADHE的周长。

解答:由已知条件可知FH=18,AC=24厘米,即,FG+GH=18厘米,AB+BC=24厘米。则AC+FH=AB+BC+FG+GH=42厘米。又因为GH=CD,根据所学的长方形、正方形边的等量关系可知,BC=FG=HD。则AC+FH=AB+BC+CD+HD,而AB+BC+CD=AD,因此,AC+FH=AD+HD,因此,长方形ADHE的周长=2×(AC+FH)=2×42=84厘米。

小学数学图形问题教学中,为提高学生的解题能力,应让学生认识到转化的重要性,尤其要结合经典例题讲解不同题型地转化方法,包括割补、平移、转换、代换等,让学生掌握这些转化方法的应用技巧以及注意事项,提高其灵活应用转化思想解决问题的能力。

参考文献:

[1]徐大莲.小学数学高年级“图形与几何”错题类型分析及对策研究[J].学周刊,2020(3):20.

[2]叶品贤.基于数形结合思想的小学数学图形与几何教学研究[J].科学咨询(教育科研),2019(9):166.

[3]蒋敏杰.小学数学“图形认识”教学的目标立意与实施策略[J].中小学教学研究,2019(2):8-14.

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