让学生体验知识形成带来的快乐

赵丽娟

一、案例背景

本案例选自人教版高中数学必修2第二章2.2.1《直线与平面平行的判定》。高中立体几何课程历来以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为主要目标。《新课程标准》要求“认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉，运用图形语言进行交流的能力，空间想象能力与一定的推理论证能力”。

二、案例过程

老师：我们已经学习过点，线，面的位置关系，今天探究如何判定直线与平面平行的。给两分钟时间，请思考以下问题：

1、生活中，哪些现象给我们以直线与平面平行的形象呢？

2、我们应该如何判定直线与平面平行关系呢？你有哪些解決方案？

3、在直线与平面平行的过程中，蕴含着怎样的思想方法呢？

学生静静思考，并做记录;教师巡视、观察。

学生1：教室看成长方体模型，棱和对面平行，因为……直觉告诉我平行。

其他学生窃窃私语。

学生2站起来说：我认为他说的很荒谬，因为直觉是不严谨的，常常会出差错。但是我也却无法反驳他所说的实例……我感觉我翻开课本的时候，书的边沿和桌面也是平行的，因为把书的边沿可以放回桌面。

学生3：我感觉教室打开的门边沿和门框所在面平行，并且无论门在什么位置，都和门框所在平面平行，但是我不知道为什么？

其他学生发出惊叹声音，不由自主看向门，主动翻翻课本，体验直线和平面平行。

老师评价：我也很同意大家所举实例。

学生1说：“直觉”，在数学史上不正是有很多大胆的猜测，直觉，才引领我们一步步走向真理吗？学生2说他的原因是“书可以放回桌面”，这也给我们提供一个思路;学生3的观点是“门无论在什么位置”，这也给我们提供一种新的方案。

老师：那么我们判定直线与平面平行的方法有哪些方案呢？

（学生小组讨论，并做记录;老师不时指导，巡逻）十分钟后，小组展示：

小组1（展台呈现记录，并口述）：直线 与平面 平行的定义是直线 和平面 没有公共点，定义一般是双向互推的，可用符号表示为 ，由此定义可以得到直线 和平面  平行的基本判定。

小组4（展台呈现记录，并口述）：线在面内的判定转化为点在面内的判定，即  ，从而转化为点和面的问题，类比公理1，我们将判定直线与平面平行问题，转化为点与平面问题，或者直线与平面内直线平行问题。

小组5（展台呈现记录，并口述）：异面直线所成的角的确定，我们是通过将两条异面直线平移至共面来解决的，即把空间问题转化为平面图形问题。

小组6（口述）：小组5的方案提醒我，只要说明直线和平面夹角是0，也可以判定直线和平面平行。

老师评价：想不到同学们能有这么多的想法，值得鼓励，为优秀的自己鼓掌。

老师：那么接下来，实际操作以上方案，是否可行？先论证小组1的方案，即“已知直线 与平面 无公共点，证明：直线 与平面 平行”。

学生：显然是可以证明的，但是已知条件太苛刻了，平面是无线延伸的，直线是无线延伸的，很难说明“无公共点”。理论正确，但是不好操作。

老师：确实是这样的，操作性不强，却理论上可以说明直线和平面平行。（老师在副黑板上书写该证明方法）

老师：小组5的方案，即“已知直线 与平面 夹角0，证明：直线 与平面 平行”。那么如何求直线与平面的夹角？

学生：直线与平面的夹角计算量大，不简便，并且不利于实际生活中应用。

老师在副黑板写下该证明方法。

老师：小组4的方案，即“已知点A在平面 外，点A在直线 上，求证：直线 与平面 平行”。

学生4（用笔实践，让其他学生观看实验）：这是错误结论。

小组4补充：“已知点A，B在平面 外，点A，B在直线 上，求证：直线 与平面平行”。

学生4再次用笔实践，让其他同学观看，强有力的说明该结论的错误性。

小组4不肯放弃自己的方案被推翻，再次补充：“已知直线 在平面 内，直线 与直线 平行，求证：直线 与平面 平行”。

学生4静静思考……

学生2：对啊，翻书的过程，书的边沿，桌面和书的交线平行，所以书的边沿和整个桌面是平行的，类似的开门也是这个道理啊。

其他学生也纷纷表示赞同。

老师：同学们的讨论很激烈。那么，平面内的直线，是任意一条？无数条？还是两条？还是一条就可以？针对以上情况，请说明你的理由或者举出反例反驳。

学生思考，全班陷入沉寂。

这时老师紧抓“条数”问题展开探究。

老师：由上面的图形分析，不必证明任意一条，无数条，只需要证明平面内的一条直线与另一直线平行即可。

老师在副黑板上继续写出此定理，口述：“若一条直线与平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行”。

老师继续提问：同学们，上面命题有什么补充吗？请实际操作说明。

学生很快寻找出漏洞，老师补充完整，并在主黑板上书写“直线与平面平行的判定”，即：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与平面平行。

作用：判定或证明线面平行。

关键点：在平面内找（或作）出一条直线与平面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题。

老师继续追问：如图，平面 外的直线 平行于平面 内的直线 ，则这两条直线共面吗？直线 与平面 可能相交吗？

学生反映很灵敏，能够准确说出答案。

老师：请思考如何具体寻找出平面内的直线呢？现在立体几何问题转化成平面问题，结合初中所学知识和你的数学经验，寻找直线与直线平行的判定，总结记录下来。

学生小组讨论，展台展示，并举例。

接下来，老师设计两个例题，意在：1、帮助学生准确理解并牢记线面平行的判定定理，紧抓条件和结论，着重注意其中的关键词;2、帮助学生总结解题技巧，平行四边形和中位线是判定线线平行的有效工具，强调学生总结线线平行的判定。

例1：判断下列命题的真假？说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行（）

②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行（）

③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行（）

例2：（见课本60页已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，

求证：EF || 平面BCD

练习：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1中点，求证：EF||平面BD1B1

老师：请回忆本节课所学内容，回顾探索直线与平面平行的判定过程，总结判定直线与平面平行的方法，归纳判定线线平行的技巧。