不可分小波构造及其在图像水印中的应用

刘斌 熊静雯

摘  要： 针对张量积小波数字图像水印算法在几何攻击下鲁棒性较差的问题，提出一种将不可分小波、奇异值分解以及Arnold置乱变换相结合的数字图像水印算法。该算法首先构造了二维不可分小波滤波器组，其次对水印图像进行Arnold置乱变换，对原始图像用不可分小波进行多尺度分析，然后分别对其低频部分和置乱后的水印进行奇异值分解，最后在两者的奇异值矩阵中嵌入水印。实验结果表明，该算法能实现水印的嵌入和准确提取，并且水印的不可见性好，与张量积小波相比，该方法在对滤波、噪声、剪切、旋转、加噪的攻击下，鲁棒性较强。

关键词： 图像水印; 不可分小波; 奇异值分解; 多尺度分析; 水印嵌入; 版权保护

中图分类号： TN918?34; TP391                    文献标识码： A                     文章编号： 1004?373X（2020）11?0087?05

Non?separable wavelet construction and its application in image watermarking

LIU Bin， XIONG Jingwen

（School of Computer Science and Information Engineering， Hubei University， Wuhan 430062， China）

Abstract： In view of the poor robustness of tensor product wavelet digital image watermarking algorithm under the geometric attack， a digital image watermarking algorithm in combination with the non?separable wavelet， singular value decomposition （SVD） and Arnold scrambling transform is proposed. In the algorithm， a filter bank of two?dimensional non?separable wavelet is constructed first. And then， the watermarking image is subjected to the Arnold scrambling transform， and the non?separable wavelet is used to perform multi?scale analysis on the original image. The low?frequency part and the scrambled watermarking are subjected to the SVD. In the end， the watermarking is embedded in the singular value matrix of the two. The experimental results show that the algorithm can accurately embed and extract watermark， which is of good invisibility performance. In comparison with the tensor product wavelet， the proposed method is of better robustness under the attack of filtering， noise， shearing， rotation and noise adding.

Keywords： image watermarking; non?separable wavelet; SVD; multi?scale analysis; watermarking embedment; copyright protection

0  引  言

随着信息技术的飞速发展，数字多媒体与人们的生活已经息息相关，人们能够很容易地将信息进行复制、存储、修改与转发等，正是因为这个原因使得信息也很容易以非法途径传播。因此，针对数字信息的版权保护等问题，数字图像水印技术等被提出。

数字水印技术是将一些标识信息（如文本、图像及标识符等）通过某种方式嵌入数字载体（语音、图像及视频等）中，但不影响原载体的使用价值，同时，嵌入的信息不易被人眼所感知，且能够通过其隐藏的水印信息实现内容认证、版权保护以及信息隐秘传输等，其中用于版权保护是目前一个非常重要的研究方向。目前，国内外对其进行了大量研究，常见的大多分为两类：一种是空间域算法，典型的有LSB算法，这种算法虽然实现起来简单，但是极易受到攻击，例如，加噪和压缩都能使水印失效;另一种是变换域算法，典型的有基于离散小波变换（DWT）[1?2]的水印算法和离散余弦变换（DCT）[3?4]的水印算法，前者拥有多尺度分析的特点，可以抵抗加噪、压缩等攻击，但因为二维张量积小波是由一维小波通过张量积生成的，存在着方向上信息提取不足的缺陷。后者的主要思想是通过分块进行DCT将水印嵌入，能抵抗一部分攻击，但在受到旋转时水印信息损失较为严重。

文献[1]是将宿主图像进行张量积小波分解，得到低频子图并对其进行分块，对每一块做SVD变换得到[U]，[S]，[V]，将置乱后的水印以一定的强度多次重复地嵌入[S]中，并对其再次进行SVD变换得到[U1]，[S1]，[V1]，最后用[U]，[S]，[V]做逆奇异值变换等处理得到含水印图像，该算法对于剪切、噪声、滤波、压缩都有较好的抵抗力，但是对于质量因子为4以下的压缩攻击鲁棒性较差。文献[2]采用将彩色RGB的宿主图像转换到Lab彩色空间，在其亮度分量[L]上进行张量积小波分解，得到1个低频和3个高频分量，分别对其和水印图像做SVD变换得到相应的[S]，然后用加性原则以不同的强度将水印的奇异值矩阵[S]嵌入到其余的奇异值矩阵中，最后做相应的逆变换得到嵌入水印的图像。文献[3]首先把宿主图像变换为整数DCT域，将系数划分为非重叠的块，利用非线性混沌映射完成块的选择，然后用所选择的块构造循环矩阵，最后用循环矩阵计算奇异值将水印嵌入。文献[4]采取对水印图像做置乱变换，将宿主图像分为8×8的子块，对每个子块进行DCT变换，选择每一个子块的中频系数，与在Zig?Zag排序中相邻的6个系数的平均值做比较，以相应的公式嵌入中频系数上，最后对每个子块做DCT反变换得到水印图像，该算法鲁棒性较好，但是对于旋转抗攻击效果较差。文献[5]选取宿主图像DWT分解后的LH和HL子图，然后将其8×8分块做DCT变换，对AC分量根据Zig?Zag排序选取系数放到矩阵[A]中，再对[A]进行SVD奇异值变换得到[S]，在[S]上以加性原則嵌入水印，最后做相应的逆变换得到含水印图像，该算法矫正了几何攻击使其对几何攻击有较好的抵抗力。文献[6]在嵌入水印时结合了DWT，DCT和SVD，该算法在确保水印抗噪声和滤波攻击的同时也提高了抗旋转、剪切攻击的能力。文献[7]采取SSVD和DWT结合的数字水印算法，先对水印图像进行SSVD以提取其主分量，然后对宿主图像进行一级DWT变换，取其低频分块进行SVD，将水印主成分以加性嵌入原则嵌入其奇异值矩阵的最大值位置，该算法对于剪切攻击的鲁棒性较差。

目前还没有人将二维不可分小波用于数字图像水印，因此结合上述各种技术的优点，本文针对于大多数算法抗旋转能力较差的特点，提出了将不可分小波、奇异值分解和Arnold置乱变换相结合的水印算法，实验结果表明，该算法在滤波、压缩、剪切、噪声，特别是旋转攻击都具有更好的抵抗力。

1  二维不可分小波变换

目前二维小波变换可以分为两种：一种是张量积小波变换;另外一种是不可分小波变换[8]。前者由一维小波通过张量积生成，即使二维张量积小波延续了其部分良好特性，但其对图像的处理依然存在着一些不足和缺陷。例如，大部分的二维张量积小波基的紧支撑正交的性质是以舍弃其对称性作为代价换来的，正是因为其不具备对称的特性，使得图像分解得到的各个子图会存在相位失真，并且这种相位失真将无法避免地产生图像细节信息上的失真，与此同时，二维张量积小波变换只强调垂直、水平以及对角线方向上的信息，不具备各向同性，导致其不能捕获各个方向上的奇异性。故本文选用二维小波变换中具备各向同性的不可分小波变换，以捕获所有方向上的奇异性。

因为Daubechies[9]证实了小波分解的实现是用信号或图像和离散滤波器进行卷积完成的，所以利用小波对图像进行处理的核心问题就是小波低通滤波器和高通滤波器的构造。Chen等是将MRA作为基础，采取的方法是矩阵扩充，提出了一种高维不可分小波滤波器组的一般构造方法[10]，其在理论上来说可以构造出无数组滤波器。本文在此基础上给出二维不可分小波滤波器组的具体构造形式。

二维不可分小波变换可以由二维不可分滤波器组实现。设不可分小波变换过程中的抽样矩阵[S=][2002]，不可分小波滤波器组为[mj（x，y）]，[j=0，1，2，3]，则具有紧支撑、正交性、对称性的二维四通道不可分滤波器组的形式可构造[11]如下：

[（m0（x，y），m1（x，y），m2（x，y），m3（x，y））=                              14（1，x，y，xy）j=1k（UjD（x2，y2）UTj）V] （1）

式中：[m0（x，y）]，[m1（x，y）]，[m2（x，y）]，[m3（x，y）]分别为滤波器[H0]，[H1]，[H2]，[H3]所对应的频域形式。设[x=e-iω1]，[y=e-iω2]，[Ujj=1，2，…，k]为正交对称阵，[D（x，y）=Diag（1，x，y，xy）]，[V2=（V0，V1，V2，V3）2]为正交阵，[V1，V2，V3]为[4×1]向量，[V0=（1，1，1，1）T]。为得到[6×6]具有对称性不可分小波滤波器组，取[k=2]，构造：

[V=1-11-1111111-1-11-1-11]，取[P=10100101010-110-10]，[Aj=cos αj-sin αj00sin αjcos αj0000cos  βj-sin  βj00sin  βjcos  βj][j=1，2，…，k]。按[Uj=12×P×Aj×PT]构造[Ujj=1，2，…，k]，可以验证[Ujαj，βj]是中心对称正交阵，[V2]是酉矩阵。在此方法中，[αj，βj]的不同取值可以得到不同的具有正交、紧支撑且对称的滤波器组[H0]，[H1]，[H2]，[H3]，其中，[H0]为低通滤波器，[H1]，[H2]，[H3]为高通滤波器。这里给出[α1=π7]，[β1=π]，[α2=π12]，[β2=π24]时的一组滤波器在时域下的形式：

很显然，它们是不可分的，即不能被分解为两个一维小波滤波器的张量积，且具有对称的性质（关于滤波器中心对称或者反对称）、紧支撑的性质，也可以验证得知它具有正交性，是一组能够完全重构滤波器。

2  基于不可分小波变换的水印算法

为了增强数字图像水印对各种攻击的抵抗效果，本文算法先将水印图像进行Arnold变换[12]和SVD分解[13]。选择宿主图像进行多尺度不可分小波后的低频部分进行SVD分解，在其奇异值矩阵上嵌入水印。通过其嵌入过程的逆过程可以提取出水印。

2.1  水印的嵌入过程

设待嵌入水印的宿主图像[I]的大小为[M×N]，原始水印图像[W]的大小为[m×n]。

1） 對原始水印图像进行Arnold置乱变换，得到置乱后的水印图像[W]。

2） 对宿主图像[I]用本文方法构造的低高通滤波器进行[n1]级不可分小波变换，得到[3n1+1]个子图。

3） 将第[n1]级低频子图[LLn]作为嵌入水印的区域，对[W]以及[LLn]根据式（2）和式（3）做奇异值分解，得到奇异值矩阵[SW]和[SLLn]。

[SVD（LLn）=[ULLn  SLLn  VLLn] ] （2）

[SVD（W）=[UW  SW  VW] ] （3）

4） 使用加性原则在奇异值矩阵上嵌入水印得到[S′LLn]，嵌入的强度为[λ]，[λ]根据嵌入水印后图片的鲁棒性以及可视性而定。嵌入公式如下：

[S′LLn=SLLn+λSW] （4）

5） 用[S′LLn]根据式（5）进行逆奇异值分解得到[LLn′]，最后对其进行[n1]级不可分小波逆变换得到含水印的图像[IW]。

[LLn′=ULLn×S′LLn×VTLLn] （5）

2.2  水印的提取过程

1） 对宿主图像[I]和含水印图像[IW]用本文方法构造的低高通滤波器进行[n1]级不可分小波变换。

2） 分别对经过不可分小波变换后的低频子图[LLn]和[LLn′]进行SVD奇异值分解，得到[SLLn]和[S′LLn]。

3） 用式（6）进行加性嵌入过程的逆过程，得到水印的奇异值矩阵[S′W]。

[S′W=（S′LLn-SLLn）λ] （6）

4） 用[S′W]进行逆奇异值分解得到[W′r]，最后将[W′r]用相同的置乱次数进行反Arnold置乱变换得到提取出的水印图像[Wr]。

3  仿真实验与测试

3.1  实验结果分析

宿主图像的大小是256×256的灰度Lena图像和512×512的灰度Mandrill图像，如图1a）和图2a）所示，水印图像Word1和Word2为64×64的二值图像如图1b）和图2b）所示，嵌入水印的图像如图1c）和图2c）所示。在无攻击时，对图1c）和图2c）做水印提取，提取出的水印与原始水印的NC均为1。

图3a）～图3k）前两幅图像是本文算法的攻击后图像以及提取水印图像，后两幅图像是文献[4]的攻击后图像以及提取水印图像。

图4a）～图4n）前两幅图像是本文算法的攻击后图像以及提取水印图像，后两幅图像是文献[14]的攻击后图像以及提取水印图像。

3.2  测试指标评价

为了验证鲁棒性和不可见性的优劣，则要讨论含水印图像的质量即可见性和提取出水印与原始水印的相似度。其中，含水印图像的质量一般采用峰值信噪比PSNR来衡量嵌入水印的图像与原始图像之间的相似度[15]，通常PSNR越大，含水印图像与原始图像的差异就越小，含水印图像的质量越高，水印透明性就越好，且当PSNR超过30 dB时，人眼基本不能分辨出两幅图像之间的差异。其公式如下：

[PSNR=10×logM×N×2552i=0M-1j=0N-1I（i，j）-Iw（i，j）2] （7）

对于提取水印与原始水印的相似性，一般采用归一化相关系数NC来评价[16]。其中，NC越趋近于1，提取的水印与原水印越接近，表明水印效果越好。其计算公式如下：

[NC=i=0m-1j=0n-1W（i，j）×Wr（i，j）i=0m-1j=0n-1W2（i，j）×i=0m-1j=0n-1W2r（i，j）] （8）

表1列出了Mandrill图像在本文算法和文献[4]算法在不同攻击下提取出水印和原始水印之间的NC值对比，表2列出了Lena图像在本文算法和文献[14]算法在不同攻击下提取出水印和原始水印之间的NC值对比。

为了进一步说明本文算法嵌入水印具有较强的鲁棒性，将本文算法与文献[4]算法进行对比可知：用512×512的灰度级Mandrill图像，用构造的6×6不可分滤波器组进行3层分解，水印图像Word2的Arnold置乱次数为10，嵌入强度[λ]为7，嵌入水印后的图像的PSNR为32.544。将本文算法与文献[14]算法进行对比可知：用256×256的灰度级Lena图像，用构造的6×6不可分滤波器组进行2层分解，水印图像Word1的Arnold置乱次数为10，嵌入强度[λ]为7，嵌入水印后的图像的PSNR为37.349 4。为了对比的可行性和对等性，文献[14]用db3作为小波基，嵌入强度为7。

根据表1和表2中数据以及图3和图4中受到攻击后提出水印的效果，可以看到，文献[4]对旋转以及JPEG压缩因子为3以下的攻击抵抗力较差，文献[14]在均值滤波、中值滤波、椒盐噪声、剪切以及旋转180°的攻击下鲁棒性较差。而本文算法在大多数攻击下的NC值都在0.9以上，特别是在旋转攻击的鲁棒性上有了很大的提升。除此之外，本文算法在遭受其他攻击时也明显高于文献[4，14]的NC值，因此可以说明，在抵抗以上攻击时，本文算法的水印鲁棒性强于文献[4，14]中的算法。

4  结  论

本文通过分析现在已提出的数字水印的相关算法中存在的缺陷与问题，提出了不可分小波与SVD奇异值分解以及Arnold变换相结合的算法。实验数据表明，该算法在遭受滤波、噪声、旋转、剪切、JPEG压缩攻击后所提取出的水印图像具有较好的鲁棒性，特别是在对于旋转攻击的抵抗力明显强于文献[4，14]算法，且其NC值大部分都在0.9以上。综合实验结果表明，本文提出的算法提高了水印在几何攻击下的鲁棒性，且对其他攻击也有较好的抵抗力，是一种行之有效的方法。

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