数控机床热误差预测的PSO-SVM模型

张 腰，杨庆东

(北京信息科技大学 机电工程学院，北京 100192)

0 引言

在数控机床加工系统的各类误差中，几何误差和热误差占数控机床加工系统总误差的40%～70%[1-2]。而主轴热误差是机床热误差中非常重要的一项。为减少主轴热误差的影响，需要对其进行溯源、分析与补偿，建立一个高精度的主轴热误差模型[3]。

国内外专家学者对此作了大量研究。王舒阳等[3]利用BP 神经网络的非线性函数拟合建模，但是该算法较为复杂，收敛速度慢，易陷入局部极值点，通用性欠佳；李泳耀等[4]-提出了基于最小二乘法支持向量机进行数控机床建模的预测方法，虽然该模型能够准确地预测热误差，但是训练需要大量的样本，过程计算复杂，训练时间长；林伟青等[5]提出了基于RBF(radial basis function)神经网络算法热误差模型，虽然与OLS(ordinary least square)回归模型相比，预测精度更好，但是模型训练样本多，复杂程度大，运算量大，调整权值过程中易出现病态；杜正春等[6]提出了基于模糊神经网络进行数控机床建模的预测方法，虽然能够准确预测热误差，但是该算法模型训练时间长，且收敛速度较慢。

本文采用粒子群算法优化支持向量机，建立PSO-SVM模型对数控机床热误差进行预测。粒子群算法能够避免陷入局部优化，更好地寻找支持向量机的参数C和g，优化热误差预测结果。PSO-SVM预测模型应用，为数控机床热误差建模预测提供了参考。

1 预测方案

1.1 支持向量机回归算法

f(x)=〈w·φ(x)〉+b

(1)

式中：w∈Rn为权值；b∈R为阈值；φ为将Rn空间的输入数据映射到高维空间的映射函数，设算法函数为

(2)

通过寻找最优w、b在公式中固定不变的情况下最小化置信范围，得到的最优化问题为

(3)

(4)

利用拉格朗日乘子法求解凸二次规划问题，所得结果为

(5)

通过学习重新定义SVM函数为

(6)

式中：b为变换前阈值；K(xi,x)为支持向量机核函数。

高斯径向基核函数、多项式核函数、高斯核函数三个函数中，由于高斯径向基核函数只有一个变量需确定，以其构造的SVM训练参数相对较少，较易确定参数，因而本文采用的是高斯径向基函数：

(9)

1.2 粒子群优化算法

粒子群优化算法(particle swarm optimization，PSO)是群体智能的优化算法，该算法是通过粒子在解空间追随最优的例子进行搜索[8]。假设在数控机床热误差的一个L维空间中搜索由n个粒子组成的群体，设第i个粒子的位置为xt=(x1,x2,…，xn)，速度为vt=(v1,v2,…，vn)，则第i个粒子在解空间的速度和位置的关系变化为

(10)

式中：t为进化代数；w为惯性权重；rand( )为在区间[0,1]中分布均匀的任意数；pbj为当前粒子本身飞行过的最好位置；gbj为粒子所对应的整个种群的最好位置；c1和c2为学习因子。

2 PSO-SVM预测模型

首先将支持向量机的误差惩罚因子C和核函数g设为相应的位置向量X。设置参数C和g的范围分别为0．1～100 和0．01～2000[10]。具体实现步骤如下：

1)数据预处理。选取测量数据中的一组数据，将其归一化到[0，1]范围内：

2)初始化粒子群。设置参数c1=1.5，c2=1.7，w=0.4～0.9，种群最大数量为20，终止代数数量为200，随机产生粒子的初始位置和初始速度。

3)利用PSO算法对SVM算法中惩罚系数C和核函数参数g进行寻优，寻优过程如图1所示。

4)建立PSO-SVM模型。确定支持向量机回归机中的惩罚系数C和核函数参数g后，将最佳参数输入到模型中，在训练集上训练PSO-SVM模型。

5)数控机床主轴热变形预测。利用训练后的模型在测试集上测试模型回归效果，预测主轴热变形。

3 模型训练及结果分析

3.1 热误差数据采集

选取某立式加工中心进行热误差测量实验。本文只对数控机床部分发热部件进行实验分析和研究。根据机床热源的分布，将温度传感器布置在数控机床前轴承、后轴承、室温等几个温度点，S1～S5电涡流位移传感器分别测量X、Y、Z方向热误差变形量，电涡流位移传感器安装位置如图2所示。

在测量温度和热变形过程中，数控机床的主轴以3000 r/min的转速连续运行，当热变形和各个关键温度点变化微小时停机。在机床运转过程中，实时采集各关键温度测点温度和热误差，所测得的热漂移误差如图3所示。

从图3可以看到，随着机床的运转时间增加，机床关键点温度的变化是先逐渐增大，然后趋于变化微小，X、Y、Z轴热漂移误差先逐渐变大后变化微小，对应的热变形变化如图4、图5所示。

由图4和图5可知:在 0～200 min 温度上升期间内，数控立式加工中心X、Y、Z轴热误差和主轴热偏差随着温升而逐渐增大，当数控机床运行到200 min 以后，热误差变化量、主轴热偏差误差和各个温度关键点的温度值仅有微小的变化，数控机床基本达到热平衡状态。

3.2 数控机床热误差模型预测与对比分析

将PSO算法寻优得到的最优误差惩罚因子C和核函数g代入SVM模型可得到数控机床热误差变化模型。图6为未经PSO优化的SVM模型预测值与误差值，图7为经过PSO优化的SVM模型预测值与误差值。

由图6、图7可以看到2种算法模型都可以预测热误差变化，但PSO-SVM算法模型能够较准确地拟合出实际主轴热变形曲线的变化，其预测误差小于SVM模型算法的预测误差，PSO-SVM 预测精度更好一些。

为再验证PSO-SVM建模预测方法的可行性与准确性，对Z轴热误差数据进行分析如图8所示。

图中深色线为粒子群算法优化之后的误差曲线，浅色线为未经粒子群算法优化的误差曲线。可以看出：SVM预测模型在Z方向最大预测误差为6.02 μm，而PSO-SVM预测模型在Z方向最大预测误差为2.56 μm，PSO-SVM预测误差比未经粒子群算法优化的误差值更小，误差值波动较小，热误差预测精度较高。

4 结束语

为了提高数控机床热误差预测模型的精度，本文提出了一种PSO-SVM的算法模型，可以避免SVM陷入局部优化、收敛速度慢等不足。在样本数量较少的情况下，选取PSO-SVM模型进行数控机床主轴热变形的预测，PSO-SVM预测模型能够快速且准确地找到SVM 中各参数的最优值，具有较好的泛化能力和较高的精度。

将PSO-SVM模型用于对数控机床主轴热变形进行预测，并与SVM预测模型进行对比，结果表明PSO-SVM主轴热变形预测模型效果优于SVM预测算法，热误差预测精度较高且训练时间短，为数控机床热误差建模预测提供了参考。