数学物理方法课程中欧拉方程的教学处理*

郑勇

(黔南民族师范学院物理与电子科学学院，贵州 都匀 558000)

1 引言

数学物理方程作为本科物理专业必修课，整体教学难度较大，对这门课程的探索与改革一直都是一个持续的话题，也有很多这方面的研究[1,2]。这门课程一个很重要的任务就是教授一些物理学中重要的偏微分方程求解方法，这也是课程难度最大的地方；讲授这门课程时，对教学内容进行适当的处理，为一些繁难的知识寻求一些简洁的讲授方法，都是十分必要的，对学生学习量子力学等后续课程也有帮助[3]。课程在求解偏微分方程时常常采用分离变量法，通过对偏微分方程进行分离变量，将偏微分方程问题转化成常微分方程问题进行求解。在分离变量出来的常微分方程中，频繁遇到的一类就是欧拉方程[4,5]。教学中我们发现，由于这类微分方程会反复出现，课程不少难度成分是由求解它们导致的。

一般来讲，在学习数学物理方法之前，学生已经学过了高等数学等先行数学课程。然而，从教材编排角度看，目前国内诸多主流高等数学教材对欧拉方程这类非常重要的微分方程的讨论却较为薄弱，要么略去不讲，要么比较简略或将其列为选学内容[6,7]。因此进行数学物理方法教学时，就学生已有的数学知识来看，很多时候都需要我们将欧拉方程的求解视为新课内容进行教学。虽然如此，一般数学物理方法教材对这类方程给出的求解过程却往往较为复杂，通常做法都是通过变量代换将其化为常系数微分方程进行求解，在教学中较为繁琐。事实上，在碰到这类微分方程时，找到一种恰当的教学处理方式进行求解及讨论，无疑会在教学中带来极大的方便。本文将对这个问题进行探索，力求提出简单可行的教学处理方式。

2 课堂教学中欧拉方程常见情况教学处理

首先我们注意到，数学物理方程教学中遇到的欧拉型微分方程往往都是齐次的，都可以用一种比较简单的方法写出特解。事实上，在教学中笔者常常把欧拉方程称作“同幂型”微分方程，因为总可以将方程的特解取为幂次函数型。以常见的二阶齐次形式方程x2f''+axf'+bf=0（a，b为常数）为例，通过观察很容易引导学生发现：方程等号左边其实是x2f''、xf'、f三者的一个组合，最终为0，说明三者加起来最终要能够完全抵消。最简单的，若认为三者具有相同的函数形式，显然常见的xβ形式的幂次函数满足这个要求，因为对f=xβ而言，的确是“同幂次”的。如果取幂次型特解带入方程，原则上可以定出满足要求的β和特解。这与求解诸如等常系数微分方程时将指数型特解带入求解的情形十分相似。因此，在大多数情况，寻找欧拉型微分方程x2f''+axf'+bf=0的特解一种较为简便的处理就是以幂次函数形式带入方程进行试探。

虽然如此，在具体教学过程中仍有许多需要注意的地方，比如，数学物理方法课程中常常还会遇到方程中b=0的情况。下面我们以课程中平时遇到的具体问题为例来进行阐述。

2.1 拉普拉斯方程在柱坐标下或极坐标下分离变量时出现的欧拉方程的教学处理

拉普拉斯方程在柱坐标下或极坐标下分离变量得到的径向部分方程[4]：ρ2R''+ρR'+n2R=0，其中n=1,2,3,4,…….这个方程显然是一个齐次欧拉方程。

由于这个方程只是分离变量时出来的常微分方程中的一个，在课堂教学中若采用一般教材中给出的求解思路，即通过作函数代换转化为常系数微分方程求解的话，会占据较大的讲授篇幅，而且会使整个求解过程显得十分繁冗复杂。于是我们可以采用如下教学处理方式。

当n≠0时，只需令R=ρβ，可得β=±n，这样求得两个特解，于是：R(ρ)=Cρn+Dρ-n（C，D为任意函数），需要注意的是n=0的情况，简单地令R=ρβ此时并不能得到两个线性无关特解。事实上，此时方程实际上是

这种情况即前面所说的b=0情况。只需令R'=ρβ，可得β=-1，可取R'=Cρ-1，于是这种情况的解可以写为：（C，D为任意函数）。显然，整个求解过程比一般教材上给出的表述简单的多，可以极大地降低学生理解难度。

2.2 拉普拉斯方程在球坐标下分离变量时出现的欧拉方程的教学处理

拉普拉斯方程在球坐标下进行求解时，通过引入一个形如l(l+)1的参数分离变量后得到的径向部分方程为[4]：

这个方程也是欧拉型常微分方程，采用幂次型函数带入方程求特解的方式很容易求解。只需令R=rβ，带入方程即可求得β1=l，β2=-(l+1)，这样求得两个特解，于是：R(r)=Crl+Dr-(l+1)（C，D为任意函数）。值得注意的是，在这个问题中，为什么分离变量时引入的常数选为l(l+)1的形式也是初学者常常觉得疑惑的一个地方。这个问题现行的教材中几乎都不作说明，特别容易让学生困惑，但是这个问题仍是很重要的，因为这个常数在量子力学介绍氢原子理论时对应角动量平方算符的本征值。

在教学中，上面的简洁求解过程为我们理解这个问题提供了很好的切入点，使我们可以用一种简单的方式给学生讲清楚这个问题。事实上，我们完全可以把引入的常数记为λ，方程即为：

可以简单看出λ具有l(l+1)的形式。因为将特解形式R=rβ带入方程后可得：β2+β-λ=0.根据一元二次方程韦达定理，两根β1，β2满足：β1+β2=1，β1β2=-λ，故λ=-β1β2=-(1-β2)β2=(β2-1)β2，即具有l(l+1)的形式，其中l=β2-1。

3 欧拉方程在非齐次情况的教学处理

虽然就课程中出现的欧拉方程而言，上述的教学处理已经足够了；但是教学中难免需要补充与推广，因此我们这里也讨论一下形式更为一般的欧拉方程的处理，比如非齐次情形的处理。事实上，学生掌握了齐次情况求解后，只需要借助一些高等数学教材[6-8]中常常都有介绍的常数变易法，即可讨论非齐次情况，只是步骤稍多。对非齐次或形式更为一般的欧拉方程，我们仍希望能够找到的更好的处理方式。我们注意到人们对欧拉方程以及与之相关的方程的研究较为广泛[9-11]，也提出了一些新的求解方法。但是直接把这些求解方法用于课堂教学，学生接受起来还是不易的。我们希望在这里对一般形式的欧拉方程也给出一种适合课堂教学的简洁处理方式，以供需要对课程内容进行拓展时采用。我们重点以二阶欧拉方程一般形式为例，更高阶情况可类似推广。

注意到方程x2f''+axf'+bf=g(x)即：因此可以改写成下面“因式分解”的形式：

其中r1，r2为两个常数。容易看出r1，r2是方程r2+(a-1)r+b=0的两根，因为将（3）式与原方程比较，r1+r1=a-1，r1+r1=a-1。这样，我们可令：注意到可能存在(a-1)2-4b＜0的情况，我们需要把r1，r2视为复数。先暂时将（3）式左边中用h(x)表示，即：

于是可将(1)式写为下面的形式：

只需两边同乘xr1-1，这个一阶常微分方程可以直接解出：再带入到（4）式，我们得到：只需两边同乘xr2-1，从这个一阶常微分方程就可直接解出原方程通解：

这种用“因式分解”思路引导学生逐步求解的过程非常方便学生理解。显然，这种做法可以直接推广至三阶及更高阶一般形式的欧拉方程，形如xnf(n)+…+axf'+bf=g(x)之类的方程，只需将其改写成下面“因式分解”形式：只是高阶时确定因式分解常数r1，2r，……的代数方程是高次方程而已，这一点可以对照二阶时情况容易看出；然后再一步步求解即可。如果需要在数学物理方法课程中补充一般形式的欧拉方程的求解时，我们建议仍然以二阶情况为重点讨论，然后直接推广至三阶以上即可。

4 结论

综上，我们对如何在数学物理方程课程教学中恰当处理遇到的欧拉方程问题进行探索，介绍了具体的教学处理方式，给出了一些具体的细节上的建议。相对于一般教材对该类方程给出的求解方法而言，这些处理方式无疑具有简洁明了的特点，对降低这门课程的难度，帮助学生掌握相关知识内容具有积极意义。

我们认为，在教学中选取恰当的策略是十分必要的。在处理课程中欧拉方程这个问题上，对出现最多的齐次情况采用幂函数带入求特解的方式简洁明了，便于学生熟练掌握，有利于教学节奏的掌控与推进；而对一般非齐次欧拉方程，其实在教学中极少遇到，我们介绍的“因式分解”策略可以作为教学内容的拓展介绍给学生自学。虽然我们以数学物理方法课程为例介绍对这类方程的处理，但是对涉及这些方程的其他专业课教学显然也有帮助。