柯西不等式的推广及其应用

高建全 蔡肖楠

【摘  要】随着新课程改革的不断推进，素质教育在我国的发展效果显著，高中数学作为高中学习阶段中最重要的学科之一，其创新教学的观念也逐渐被教师所采纳，柯西不等式是高中数学课程中比较重要的不等式结构之一，如何让学生更好的理解和掌握柯西不等式成为了当前教师所要探索的方向。本文基于高中数学为背景，探讨分析柯西不等式的推广及其应用，并提出了几点观点和建议，希望为相关的高中数学教育从业者提供一些思路和方向。

【关键词】柯西不等式;推广;应用

引言

柯西不等式作为高中数学学习的经典公式之一对学生的高中数学的学习起到了承上启下的作用，这个经典不等式的应用不仅让学生对于之前学习的平均值不等式中进行巩固，还能为后续学习的三角不等式和排列不等式打下了良好的学习基础，也培养提升了学生的思维创新能力和自主探究学习能力，除此此外，柯西不等式的运用和推广在学生解决数学中经典题型都起到了很大的作用和帮助，因此，教师在高中数学教学中应注重柯西不等式的推广和应用。

1.柯西不等式的应用

1.1柯西不等式的基本形式

在高中教学中，数学定理如同牛毛一般多，学生在学习不同定理公式的同时要对每个公式定理透彻了解，只有这样，对于数学问题的解答才会更加容易、方便和快捷，柯西不等式的教学是众多知识点中最重要的知识点之一，它在高中数学课本中呈现出几种不同的表现形式，分为一般形式：“（∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2等号成立条件：a1：b1=a2：b2=…=an：bn，或ai、bi均为零二维形式”和二维形式，其中二维形式是高中数学课本中常给学生展现的形式，柯西不等式中二维形式又分为代数形式：“若a，b，c，d都是实数，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时，等号成立”、向量形式：“设α，β是两个向量，则│α.β│≤│α││β│，当且仅当β是零向量或存在实数k，使α=kβ时，等号成立”以及三角形式：“设x1，x2，y1，y2∈R那么√（x12+y12）+√（x22+y22）≥√[（x1-x2）2+（y1-y2）2]，当且仅当P1（x1，y1），P2（x2，y2），O（0，0）三点贡献且P1，P2再原点O两旁”。还有其他多种表现形式随着数学学习过程的不断加深进行不断演进，通过不同形式的运用数学的各个领域中以更方便快捷的方式解决数学问题。

1.2柯西不等式在数学教学中的应用

在高中数学课堂教学中，柯西不等式可以帮助学生来解决某些函数最值或者证明一些不等式，所以使用率非常高，教师可以通过各种不同的柯西不等式的变换形式来满足答题需求。由于柯西不等式这个数学概念相比较其他不等式较为复杂，教师在高中数学课堂教学活动中摒弃传统的教学理念，积极学习新型的教学模式，在课程教学中要注重与学生之间的互动，尽管素质教育在各个高校相继展开，效果也非常显著，但是仍有个别教师在教学中忽视了学生作为数学课堂的主体，忽视了与学生之间的良好互动，导致学生学习柯西不等式兴趣的丧失，因此在真正的实践教学中，教师应当引导学生观察每个例题所存在的条件和规律，并在此基础上运用柯西不等式不同的变换形式对各个题型的解题步骤做到及时的归纳总结，要求学生把所有的方法总结到一个数学笔记本中，方便日后随时翻阅。

例如在证明恒等式的时候，利用柯西不等式可以将其取等号的充分必要条件从而实现解决题目的目的。已知a√1-b2+b√1-a2=1去求证a2+b2=1.

证明：由柯西不等式中得出

a√1-b2+b√1-a2≤{a2+（1-a2）}{b2+（1-b2）}=1，

当且仅当b/√1-a2=√1-b2/a时，上式取等号，

所以得出ab=√1-a2·√1-b2，a2b2=（1-a2）（1-b2），

于是得出结论a2+b2=1，在此过程中，教师的教学步骤要放缓慢，针对学生对问题的疑难困惑及时的解答，不要让学生的问题留到课下，教师再讲恒等式这类题型多引导学生使用柯西不等式来解答，更方便、更快捷的计算出答案。

柯西不等式对于无理方程的解题也有所帮助，有些学生面对无理方程会一筹莫展，教师可以引导学生把无理方程运用柯西不等式转化为不等式。然后再结合原方程把不等式转换成等式，最后在可以判断这个公式为等式的时候将柯西不等式取等号的特性加以利用，从而得到与原方程一样答案的無理方程，进而整个方程式都会清晰明了简单化，学生也因而得出原方程的答案解，在此过程中，教师应当一步步引导，一环扣一环的学习，培养学生自主学习、自主探究的能力。将各个学过的知识重组，实现新型且有创意的解题思路。

例如：习题中要求解方程√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2=2+1/x（x+1）.

解：∵√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2，

=√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2.

证明：由柯西不等式得出

√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2≥x/x+1+x+1/x，

即√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2≥2+1/x（x+1），

∴√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2≥2+1/x（x+1）

当上是取等号时有x（x+1）=1/x（x+1）成立，

∴x2+x+1=0（无实根）或x2+x-1=0

∴x=-1+√5/2经检验，原方程的根为x=-1+√5/2

教师在讲授柯西不等式的应用这一课题时，要提前明确课程目标，完善课程计划，确保到每个学生学会理解、掌握和使用柯西不等式在每个例题中的应用，教师还应该根据学生基本的学习情况和数学认知能力来对课程计划规范的计划，在高中数学教学课程活动中，除了以往的教师机械性教知识，学生机械性的学知识的传统教学模式外，还要融合不同的教学模式，以激发学生学习探究柯西不等式的兴趣，在上述几个例题分析中，教师可以通过小组合作探究的形式，让学生将问题和想法充分的表达出来，共同完成利用柯西不等式来解决数学中各种相关的问题。

2.柯西不等式的推广

柯西不等式除了在高中数学不同领域的应用，还可以推广到任意的内积空间，从复杂的不等式推广到另一个特殊的不等式，从实数还可以推广到复数，以至于推广到更广的范围，解决更多的数学问题。教师在教授关于柯西不等式推广中复数的推广学习中，首先引导学生从实数出发，因为实数是数学的基础，不等式构建在实数的基础上才富有意义，在此基础上教师可以向学生提问关于复数或者向量方面的相关问题，例：有关复数或者是向量等之间的关系是如何衡量的？以小组为单位思考这个问题并积极回答问题，让学生自主得出结论关于测量复数和向量大小的首要选择的便是测量长度

单位，并紧接着启发学生思考：那如何进行柯西不等式的推广呢？教师在学生讨论之间可以在一旁解答学生对知识的不解，经过学生积极的思考和讨论再加上教师在一旁的引导便可得出结论：在解决相关问题时只需要把柯西不等式数值的平方转换成复数的模的平方就可以大幅度提高解题速度。例如：复数z=x+iy，定义长度|z|=√x2+y2，假若设ai，bi为任意复数（i=1，2，...，n），那么等式成立的充分必要条件就是ai=λbi（i=1，2，...n）。

除此复数的推广之外，柯西不等式在代数数学中中得以运用，例如：对于任意向量a，b有|（a，b）|≤|a||b|，当且仅当a和b线性相关时，等号则予以成立，即矢量内积小于等于矢量长度之积。柯西不等式的推广中比较有影响力的赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式也对数学发展起到了重要作用，尽管这个在高中教材中没有涉及，教师可以以科普知识、科普创始人等有趣的方式向学生展示，创设一个有趣宽松的学习氛围，激发学生的学习兴趣，点燃学生的学习热情，让学生了解掌握并熟练运用柯西不等式的推广应用，培养学生良好的数学意识，锻炼学生的思维创造能力和动手时间能力，为学生日后全面发展奠定良好的基础，也为学生以后数学学习生活中提供方便和快捷。

3.结束语

综上所述，柯西不等式的运用和推广不止为高中数学的学习也为当前数学在世界的发展都起到了一定的贡献，发挥着不可比拟的影响力，在上述的柯西不等式运用和推广的例子中可以了解到柯西不等式的灵活性和变通性很强，但也要基于现实实际的情况进行不同的构建假设，不同问题不同分析，根据不同的基本概念实施各种形式的解题方法，柯西不等式作为高中数学必备的基本公式之一，为学生在解决各种类型的问题都提供了很大的帮助，同时也提升了学生自主探究学习的能力，培养了学生的思维扩散创新的能力和大胆思考、探索问题的正确意识，目前来看，柯西不等式也很难解决有些问题，因此，关于柯西不等式的推广和应用还需要教师不断的进行探讨和分析，以便创造出更多的解题思路贡献给学生，让学生全面发展。

参考文献

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[2]王生芸.浅谈柯西不等式的应用和推广[J].魅力中国，2016，（26）：371. DOI：10.3969/j.issn.1673-0992.2016.26.676.

[3]黃韬，顾华强.柯西不等式的证明及应用[J].数学学习与研究：教研版，2018，000（003）：P.108-109.

作者简介：

高建全（1980.08--），男，汉族，河南泌阳人，讲师，本科，研究方向为数学分析。

蔡肖楠（1991.11--），女，汉族，河南开封人，中小学二级教师，本科，研究方向为小学数学。