呼吸型裂纹梁的非线性振动

王天宇,杨 骁

(上海大学土木工程系,上海200444)

梁类结构是土木工程及机械工程中的一类重要构件,在其服役中由于荷载及环境因素的作用,梁构件不可避免地会出现裂纹,导致其力学性能发生变化、承载能力降低和使用寿命缩短.在动力荷载作用下,裂纹梁呈现复杂的力学行为,且分析较为困难和繁琐,因此研究裂纹梁的动力特性及其动力响应的简化计算方法具有重要的理论意义和应用价值[1-3].

梁裂纹的宏观模型主要包括开裂纹模型[2,4-6]和呼吸裂纹模型[7-9].为了简化分析和计算,在对裂纹梁进行动静力分析时,通常采用开裂纹模型,即假定裂纹始终处于张开状态,其数学处理较为简单.然而,这一模型忽略了裂纹开闭状态引起的非线性效应,导致难以准确把握裂纹梁的力学性能以及识别裂纹损伤程度的不准确性[9-10].

呼吸裂纹模型不仅考虑了在梁弯曲变形过程中裂纹的张开-闭合状态,而且考虑了裂纹状态的非线性效应,更加符合裂纹的实际情况.部分学者基于断裂力学的基本理论,通过有限元方法数值模拟了梁中呼吸裂纹梁的开闭合效应[9-12].将裂纹的开闭合视作有限元模型中的局部接触问题,Andreausa等[11]建立了裂纹梁的平面应力有限元模型,研究了在简谐荷载作用下呼吸裂纹的非线性共振现象;胡家顺等[9]对Andreausa模型进行了改进,研究了裂纹深度与位置对裂纹梁非线性共振现象的影响.虽然此类有限元模型可以较好地模拟裂纹梁振动的非线性特性,但建模过程较为复杂,计算时间较长,故其实际应用受到了一定的限制.为此,一些学者开始试图建立呼吸裂纹的简化分析模型.Cheng等[13]将呼吸裂纹等效为一个瞬变刚度的等效扭转弹簧,将悬臂梁简化为变刚度弹簧-质点体系,研究了裂纹悬臂梁在简谐荷载作用下的非线性动力特性;Rezaee等[14]对此模型进行了改进,假设呼吸裂纹的刚度与裂纹处振幅相关,研究了悬臂梁自由振动的非线性特性,并通过实验验证了模型的合理性.然而,实际上裂纹开闭状态与裂纹处的转角(弯矩)直接相关,因此这一模型在物理机理上存在缺陷,仅适用于呼吸型裂纹悬臂梁的计算分析.此外,Chondros等[15]、Wang等[16]、杨海燕等[17]基于研究问题的特殊性,建立了呼吸裂纹的不同简化模型.这些简化模型虽然大大减小了裂纹梁动力响应计算的复杂性,但由于其未能全面刻画呼吸裂纹的本质特性,故导致未能准确反映裂纹梁的动力响应特性.

本工作考虑裂纹开闭状态及其过渡特征,将裂纹等效为瞬变刚度扭转弹簧,建立了以裂纹处弯矩(转角)刻画裂纹状态的新呼吸裂纹模型.利用Delta函数,给出了呼吸裂纹梁的等效抗弯刚度,建立了裂纹Euler-Bernoulli梁动力响应的控制方程,得到了具有任意条呼吸裂纹Euler-Bernoulli梁振动模态的统一显示表达式,数值研究了裂纹开闭状态对呼吸裂纹梁瞬时频率的影响.在此基础上,本工作提出了一种利用振型叠加法近似计算呼吸裂纹梁的动力响应方法,该方法相对于平面有限元法可有效降低计算量.通过具体算例结果与已有结果的对比,验证了本模型的合理性,揭示了裂纹的开闭状态等非线性效应对裂纹梁动力响应的影响.

1 呼吸型裂纹模型

相关研究[11-12,17-18]表明:在动静力荷载作用下,裂纹梁的裂纹夹角与截面弯矩的关系可分为如图1所示的3个阶段:

(1)当裂纹处于完全张开状态时,其弯矩与裂纹夹角为线性关系,其直线斜率较小;

(2)当裂纹处于完全闭合状态时,其弯矩与裂纹夹角为线性关系,但其直线斜率较大;

(3)当裂纹处于开闭过渡状态时,其弯矩与裂纹夹角为非线性光滑曲线.

可见,在将裂纹等效为无质量的扭转弹簧时,裂纹的等效扭转弹簧刚度K与裂纹状态有关.采用材料力学的符号,对于下表面裂纹有K(θ)=M′(θ);对于上表面裂纹,则有K(θ)= −M′(θ).

图1 裂纹处弯矩与裂纹夹角改变量关系Fig.1 Relation between the variation of crack angle and the moment in the crack

如果在裂纹完全张开时的等效弹簧刚度为Ko,则对应的裂纹夹角和弯矩分别为θo和Mo,而裂纹完全闭合时的等效弹簧刚度为Kc,对应的裂纹夹角和弯矩分别为θc和Mc.对于裂纹的开闭过渡状态,相比于已有的开闭裂纹等效弹簧模型[19-20],这里假定裂纹开闭过渡状态的M=M(θ)为θ的2次多项式,即裂纹等效弹簧刚度K为夹角改变量θ的一次多项式.于是,裂纹等效弹簧刚度K可表为

式中:α为裂纹位置参数,当裂纹位于下表面时,有α=1;当裂纹位于上表面时,有α=−1,且

式(2)中,令θ(M)=θo,θ(M)=θc,由此可确定裂纹临界弯矩Mo和Mc分别为

2 呼吸型裂纹梁振动分析

2.1 任意呼吸型裂纹数目梁的等效抗弯刚度

考虑长和高分别为L和h,抗弯刚度为(EI)0,在x=xi(i=1,2,···,N)处存在深度为di呼吸型裂纹的Euler-Bernoulli梁承受横向载荷q(x,t)的作用,且0

式中:δ(x)为广义Delta函数.

图2 Euler-Bernoulli裂纹梁Fig.2 Euler-Bernoulli cracked beam

当裂纹i处于完全张开及完全闭合2种状态时,其等效扭转弹簧刚度Koi和Kci可分别表示为[13,23]

式中:ν为材料的泊松比;A1为与材料性能有关的参数;函数J(s)可表为[13,23]

如果认为裂纹闭合后裂纹效应消失,则可令A1→+∞.

2.2 呼吸型裂纹梁的瞬时频率和瞬时模态

Euler-Bernoulli裂纹梁的振动控制方程为

式中:w(x,t)为裂纹梁的挠度;ρA为其线质量密度;c为阻尼系数.

对于无阻尼自由振动,则有

在振动过程中,由于裂纹处弯矩M随时间变化,进而导致裂纹的等效弹簧刚度也随时间变化,因此方程式(9)为非线性变系数偏微分方程,通常无法求得其解析解,需要采用近似方法进行求解.

这里,近似地认为裂纹的等效弹簧刚度在小时间区间[t,t+∆t]内为一常数,其中∆t为小时间步长.此时,方程式(9)近似为常系数线性偏微分方程,可利用分离变量法求解,令

式中:ωt为t时刻裂纹梁的瞬时自振频率;ϕt(x)为对应的瞬时振动模态.

将式(10)代入方程式(9),得到t时刻裂纹Euler-Bernoulli梁振动模态方程

方程式(11)的解可表为[23]

式中:Ci(i=1,2,···,4)为待定常数;βt为由t时刻瞬时自振频率ωt确定的特征参数,且

而x=xi处裂纹梁横截面的弯矩振幅可表示为

通常在每一瞬时t,可利用梁的4个边界条件,得到待定常数Ci(i=1,2,···,4)满足的线性方程

系数矩阵[A]的行列式为0,即

给出确定裂纹梁瞬时自振频率的特征方程,求解此特征方程可得到时刻t的瞬时自振频率及相应的振动模态表达式.

2.3 呼吸型裂纹梁动力响应的近似计算

基于文献[20]的思想,考虑时间序列{ti=ti−1+∆t,i=1,2,···},并假设在时间区间[ti,ti+∆t]内,裂纹j的等效弹簧刚度为Kj=≡Kj(ti),由于定常等效弹簧刚度裂纹梁的模态满足正交性[24],因此在得到裂纹梁瞬时自振频率ωti(i=1,2,···)和瞬时模态(j=1,2,···,M)后,在时间区间[ti,ti+∆t]内可运用模态叠加法分析裂纹梁的瞬时动力响应,可将

代入方程式(9),利用裂纹梁振动模态的正交性条件

可得如下动力控制方程:

式中:

利用初始条件求解方程式(20)后,由式(18)可得时间区间[ti,ti+∆t]内裂纹梁的动力响应.同时根据式(15)计算得到ti+1=ti+∆t时刻x=xr处裂纹的弯矩为

根据ti+1时刻裂纹梁裂纹处的弯矩,代入式(1)和(2)可以得到ti+1时刻裂纹的等效弹簧刚度,从而可计算裂纹梁在[ti+1,ti+1+∆t]内的动力响应,最终得到呼吸型裂纹梁的近似动力响应.

3 数值算例

为了验证本工作所建立的呼吸型裂纹模型和计算方法的合理性和适用性,采用文献[20]与[25]中的2个数值算例进行验证.

3.1 简支单裂纹梁的自由振动响应

如图3所示,文献[21]中给出了一根单裂纹铝制简支梁,梁长L=235 mm,横截面尺寸b×h=7 mm×23 mm,杨氏模量为E=72 GPa,材料密度为2 800 kg/m3,在给定初始条件

后,可进行简支单裂纹梁的自由振动分析.

图3 单裂纹简支梁自由振动Fig.3 Free vibration with single breathing crack

计算时,各振型的阻尼比ςi均取0.02,呼吸裂纹参数θo=0.01 rad,θc= −0.01 rad,Ko/Kc=2.73[21],取前5阶振型进行叠加,时间步长∆t=0.01 s.图4给出了裂纹深度d1/h分别为0.2,0.4,裂纹所在位置ξ1=x1/L分别为0.2,0.4时,呼吸裂纹梁的跨中位移时程曲线,并与文献[25]基于摄动法的计算结果进行了对比.可见,由于阻尼的存在,裂纹梁的自由振动振幅不断减小,最后梁逐渐达到静止状态.当不考虑因裂纹呼吸效应增强而引起的梁阻尼的增大时,由图4(a),(b),(d)和(e)的计算结果可见,振幅速度的降低与裂纹的深度及裂纹位置有关.当裂纹深度较小时,裂纹对于梁整体刚度的影响较小,裂纹梁振幅衰减较快;当裂纹深度较大时,裂纹梁柔度增大,裂纹梁振幅衰减较慢.同样,由于深度的裂纹其所在位置的不同,对裂纹梁整体刚度的影响也不同.对于单裂纹简支梁而言,裂纹越靠近跨中,裂纹对梁整体刚度的降低效应就越显著,裂纹梁自由振动的振幅衰减速度降低;反之,当裂纹越靠近支座,裂纹对梁整体刚度的降低效应越不显著,裂纹梁自由振动振幅衰减较快.如果认为由于裂纹深度的增加而引起的阻尼比增大幅度为20%,即认为当裂纹深度d/h=0.4时,阻尼比ςi取0.024.对比图4(c),(f)和(b),(e)可见,考虑阻尼比变化与不考虑阻尼比变化时所得的结论不一致,裂纹深度越深时,裂纹梁自由振动的振幅衰减越快.

图5给出了当裂纹位置ξ1为0.2,0.4,裂纹深度d1/h分别为0.2及0.4时,含呼吸裂纹简支梁自由振动过程中1阶瞬时频率与振动时间的关系.从图5可见,由于裂纹开闭状态的变化,裂纹梁的瞬时自振频率在振动过程中不断变化,并介于完全开裂纹梁与完全闭合裂纹梁的1阶自振频率之间,随着振动的衰减,瞬时自振频率的变化幅值不断减小,最后收敛于某一常数,这一常数接近于文献[24-25]提出的呼吸裂纹梁近似固有频率(见式(25)).随着裂纹深度的加深及裂纹位置的变化,裂纹的收敛频率(即最后收敛的常数)发生变化.当裂纹深度越大裂纹越靠近跨中时,裂纹梁的收敛频率越小,这一变化规律与开裂纹梁固有频率的变化规律是一致的,但收敛频率的减小幅度则显著小于开裂纹梁固有频率的减小幅度.当利用固有频率作为识别指标进行裂纹损伤的识别时,这一现象可能会导致裂纹的损伤程度的低估.

图4 单裂纹简支梁自由振动跨中位移时程曲线Fig.4 Time-displacement relation at mid span of free vibration of simply-support beam with single crack

图5 单裂纹简支梁自由振动1阶瞬时频率与时间关系Fig.5 Time-first order instantaneous frequency relation of free vibration of simply-support beam with single crack

式中:ωo为裂纹张开时的固有频率;ωc为裂纹闭合时的固有频率.

表1给出了本工作的裂纹梁自振收敛频率与文献[24-25]近似固有频率的比较,可见二者吻合良好,这从某种意义上说明了本方法的可靠性.

在图4给出的呼吸裂纹梁自由振动的跨中位移时程曲线的基础上,利用离散傅里叶变换给出了当裂纹位置ξ1=0.2、裂纹深度d1/h分别为0.2,0.4时,裂纹梁自由振动的频率响应曲线(见图6).可见,相较于开裂纹和无裂纹梁,呼吸裂纹梁的频响曲线峰值介于开裂纹梁与无裂纹梁之间.此外,呼吸裂纹梁的频响曲线出现多个峰值,显示了一定的非线性;裂纹深度越深,由呼吸效应所引起的非线性越明显,这一结论与文献[25]所得结论是相同的.

表1 呼吸型裂纹梁自由振动收敛频率与近似频率的比较Table 1 Comparison of convergent frequency and approximate frequency of beam with breathing crack Hz

图6 单裂纹简支梁自由振动频率响应曲线Fig.6 Frequency response curves of free vibration of simply-support beam with single crack

3.2 悬臂双裂纹梁在简谐荷载下的动力响应

考虑如图7所示的双裂纹梁悬臂受简谐荷载作用模型,其梁长L=0.3 m,梁的宽度b和高度h均为0.02 m.弹性E=2.06 GPa,泊松比为0.3,密度为7 850 kg/m3.裂纹的位置ξi=xi/L及深度di/h(i=1,2)参数见表2.在梁自由端受一个荷载F(t)=0.4sin(Ωt)kN,梁的初始条件为w(x,0)=0,˙w(x,0)=0.

图8给出了当Ω=2时,呼吸裂纹梁自由端的位移时程曲线,而图9给出了2种工况下裂纹1、裂纹2等效弹簧刚度随时间的变化.可见,在简谐荷载作用下裂纹梁周期振动,在振动过程中由于外力及惯性力的存在导致裂纹处的弯矩不断变化,裂纹出现呼吸效应.如图8和9所示,当裂纹参数处于工况1时,裂纹1位于梁下表面,在前半个振动周期内,裂纹在弯矩作用下逐渐闭合,裂纹2逐渐张开,后半个周期内裂纹2由张开状态逐渐转为闭合,裂纹1逐渐张开.在前半个周期内,梁的刚度较大,振幅较小;后半个周期梁的整体刚度较小振幅相应增大.当裂纹参数处于工况2时,裂纹1位于梁上表面,在前半个周期内,裂纹逐渐张开,后半个周期内逐渐闭合;裂纹2位于梁下表面,在前半个周期内裂纹逐渐闭合,后半个周期内逐渐张开,梁整体刚度变化趋势与工况1相反,振幅在前半个周期内较大,后半个周期较小.由于文献[20]未考虑裂纹位于梁上下表面的区别,故计算结果与本模型的结果有一定偏差,当裂纹参数处于工况2时,由于主要裂纹(即深度较深的裂纹)的开闭合顺序与文献[20]相反,故这一偏差更加显著,由此说明上下裂纹的不同对梁动力响应有显著的影响.

图7 双裂纹悬臂梁受简谐荷载作用Fig.7 Cantilever beam with double breathing cracks subjected to harmonic load

表2 悬臂梁裂纹参数Table 2 Crack parameters of cantilever beam

图8 Ω=/2时简谐荷载作用下双裂纹悬臂梁自由端的位移时程曲线Fig.8 Time-displacement relations at free end of cantilever beam with two cracks subjectedto harmonic load when Ω=/2

图9 2种工况下双裂纹悬臂梁简谐荷载作用下裂纹等效弹簧刚度随时间的变化Fig.9 Time-spring stiffness relation of cantilever beam with two cracks subjected to harmonic load in two working conditions

图10 双裂纹悬臂梁在简谐荷载作用下振动频谱曲线Fig.10 Spectrum of cantilever beam with double cracks subjected to harmonic load

4 结论

本工作基于Euler-Bernoulli梁模型,研究了含任意数目呼吸裂纹梁的动力响应.通过梁裂纹在外部荷载作用下的弯矩-转角方程,给出利用裂纹弯矩刻画裂纹开闭状态的一种新的瞬变刚度扭转弹簧模型.在此基础上,基于传统的振型叠加法,建立了一种呼吸裂纹梁动力响应的计算方法.数值分析了给定初始位移的单裂纹简支梁自由振动响应及双裂纹悬臂梁在简谐荷载作用下的动力响应,得到了如下结论:

(1)本工作所建立的考虑裂纹开闭过渡状态的等效瞬变刚度扭转弹簧模型,可较好地描述梁振动过程中上下表面裂纹的开闭合过程,且比平面或空间的有限单元法相对简单,具有一定的实用价值;

(2)在呼吸裂纹梁自由振动的过程中,裂纹梁的瞬时频率不断在开裂纹梁与闭合裂纹梁的自振频率间震荡,最后趋于某一常数,这一常数可以认为是呼吸裂纹梁的近似固有频率;

(3)在简谐荷载作用下梁中裂纹发生周期性的开闭合,开闭合的顺序与裂纹在上表面或下表面有关,裂纹的开闭状态以及裂纹所处的上下表面位置对裂纹梁的动力响应有显著影响.