一类变系数Camassa-Holm方程的精确尖波解

张万芹,陆博,马腾飞

（河南科技学院数学科学学院,河南新乡453003）

非线性问题是近代学术发展中比较前沿的课题.在科学技术的发展过程中人们发现,自然科学和社会科学领域中非线性问题的作用越来越突出.在各类学科中都普遍存在非线性问题,而且这些问题大都可以被非线性常微分方程或非线性偏微分方程进行恰当的描述.因此,很多科技工作者都投身于研究如何求解这些非线性方程,以便在科研过程中利用适合的方法得到需要的结果,这些成果不仅完善了本学科的研究,还可以促进相应学科的进步和发展[1].

近年来,在非线性动力学与控制学的研究中,比较热点的课题是对非线性偏微分方程行波解的研究[2-12].求非线性方程中的精确解,尤其是方程的孤立波解,是面对高阶非线性偏微分时的必要问题,于是很多新的方法被发现以用来获得各类系统的孤立波解,如：齐次平衡法、Bcklund变换法、双曲函数法等[4-6].

1993年,Camassa和Holm用物理方法推导出了标准的Camassa-Holm方程（简称为C-H方程）,并且推导出了浅水波波动方程的孤立波解.这种孤立波解的波峰并不是光滑的,也就是在波峰出现了尖点,因此被称为孤立尖解[13].自从这种具有连续但不光滑的孤立解被Camassa和Holm找到后,受到了众多学者的关注与研究[10-12].由于C-H方程保留的运动信息比Benjamin Bona Mahonyequation方程和Korteweg-de Vries方程中保留的更多,因此对C-H方程进行深入研究很有必要.

1 变系数Camassa-Holm方程的精确解

在获得变系数C-H方程精确解的时候,可以借助第一种椭圆方程,来求方程的精确解,并用椭圆函数来表达方程的周期尖波解.

考虑变系数广义Camassa-Holm方程

式（1）中：k,c和a是给定的常数.

首先引入变换

式（2）中的b为待定常数,把式（2）代入（1）中可得

然后对方程（3）两边进行一次积分

再积分可得

式（5）中：l,m,n,q,z为待定常数,将方程（5）代入到方程（4）得到

整理可得

将变换方程（7）代入方程（6）整理后,令各项系数为0,得到

此时取b为方程

的实根,并且将式（7）式（8）代入到（5）得到

所以可以看出,只要把方程（10）的解求出来,就可以通过方程（7）、（3）来得到方程（1）的解.

2 椭圆函数表达的精确解

上面所得的方程（10）是第一种椭圆方程,现分两种情况进行讨论.

情况1

在式（11）中

而（12）式可化为

在（15）式中

3 小结

本文主要进行了两类非线性方程精确解的研究.广义Camassa-Holm方程是常见的非线性方程,本文利用构造辅助微分方程结合广义Camassa-Holm方程计算出精确解,然后联系第一种椭圆方程的性质和条件对精确解给出表达式.方法解决了变系数Camassa-Holm方程求解问题,推广了文献[10-12]的结果.