局部低秩提升法MIMO雷达成像*

2020-07-09胡仁荣童宁宁何兴宇

弹箭与制导学报 2020年1期

胡仁荣，童宁宁，何兴宇，陈桥

(空军工程大学防空反导学院，西安 710051)

0 引言

MIMO成像是近年来国内外研究的热点，成像时通过多阵元发射、多阵元接收的形式来满足空间采样的需要，将压缩感知技术应用于MIMO成像，可大幅提升雷达成像分辨率。将压缩感知理论应用于雷达成像需要解决信号的稀疏表示、测量矩阵的设计和重构算法三大关键技术。传统的算法比如基追踪算法、贪婪算法等，能对传统稀疏信号实现高效的重构。然而传统基于压缩感知的MIMO雷达成像都是将目标考虑为点目标进行成像，可能无法真实反映目标的真实结构尺寸等信息，这是由于目标连续区域的回波信号往往会表现出块稀疏结构特性[1]，基于块稀疏恢复理论的MIMO雷达成像可更好的重构恢复目标像，进一步反映目标的真实信息。许多学者针对其特殊的结构，提出块稀疏算法。文献[2]提出块正交匹配追踪算法；文献[3]提出l2/l1范数最小化算法；文献[4]提出了具有模式耦合思想的PCSBL算法(pattern-coupled sparse bayesian learning)；文献[5]提出了局部低秩提升(localized low-rank promoting，LOOP)算法，根据回波信号块局部结构平滑现象所表达的内在结构系数的相关性，将目标稀疏回波信号的连续系数划分为多个2×2维矩阵，通过局部低秩提升函数和对数行列式函数等工具，利用最小优化算法实现对稀疏信号的高效重构。

文中引入局部低秩提升LOOP算法，并将其应用到MIMO雷达成像中，充分挖掘目标回波信号的低秩和块稀疏结构特性，实现了对MIMO雷达目标像的高质量重构。

1 MIMO线阵回波模型

图1 MIMO雷达阵列模型示意图

建立MIMO阵列信号回波模型。如图1中均匀线阵组成是It个发射阵元和Mr个接收阵元。间距分别为dt和dr。三维坐标系的原点是第一个发射阵元，X-Y平面与阵列对应，其中发射阵为Y轴。第i个发射阵元的位置用Ti表示，第m个接收阵元位置用Rm表示，坐标原点是T0。

(1)

式中:T为信号子脉冲长度；fc为信号载频。不同发射信号之间相互正交，即

(2)

第m个接收阵元的回波信号，是第i个发射阵元的信号被目标散射中心P散射后经过匹配滤波分离的信号，可表示为:

(3)

式中：发射波形的自相关函数是αi(t)；延时是τp,i,m=(TiP+PRm)/c；第i个发射阵元到散射中心P的距离为TiP和第m个接收阵元到散射中心P的距离为PRm。

指定目标散射中心O为参考点且O为相对坐标系的原点，P点在该相对坐标系中的坐标为(Px,Py)，那么目标运动不会改变坐标(Px,Py)。因此式(3)可近似为:

(4)

式中：相位中心参考点为O，发射信号的波长为λ，回波信号经过相位补偿后可表示为：

(5)

由文献[7]和文献[8]中的引理进行推导，可得到具有D个散射中心的目标回波信号为:

(6)

式中:σp=ζp(-j2π(OP)T(T0O/T0O+OR0/OR0)/λ)，(xp,yp)为包含目标散射中心P的位置信息(Px,Py)的位置参数。

2 局部低秩提升算法

2.1 MIMO成像算法评价方法

衡量各个算法的成像性能时，应采用定性和定量分析相结合的办法，既要观察成像结果是否反映目标真实信息，还要对成像结果相接近的进行定量分析，可以采用图像熵(image entropy, IE)和图像对比度两个指标进一步定量分析成像效果。两个指标定义为：

(7)

(8)

式中：目标图像用I表示，和值用Sum{·}表示，图像中元素值平均值用Ave{·}表示。IE和IC值均反映图像中目标的聚集特征，熵值IE越低，对比度IC越高，代表着成像性能越好。

2.2 局部低秩信号模型

结合MIMO雷达实际成像场景，考虑一个块稀疏信号x∈RM×1恢复问题。

y=Ax+w

(9)

图2 矩阵X转置示意图

定义Xi(1≤i≤N)为2×2维矩阵，由矩阵X的第i行和第(i+1)行构成，则

(10)

显然，如果xi-1、xi和xi+1是非0且局部平滑的，则是一个近似秩为1的矩阵。通过观察图2这个模型可以发现，通过提高矩阵Xi的低秩性来寻求块稀疏和局部平滑的解x。更精确的说，这个问题可以描述为：

(11)

(12)

式中：E是一个正定矩阵，用来确保对数函数满足定义。因此可以将E设置为：

(13)

式中：δ为一个非常小的正数，κ(-1<κ<1)为一个参数，则式(12)可最终表示为一个没有约束条件的优化问题。

(14)

式中：λ为控制低秩和适应误差的权衡参数。

(15)

(16)

令θi表示两个矢量[xi-1,xi]T和[xi,xi+1]T的夹角，则式(16)的第二项可以表示为:

log(1-cos2θi)=2log|sinθi|

(17)

因此

(18)

式(18)中的右边的第一项表示交叉系数的对数和函数，用来促进块稀疏化的求解。式(16)中的第二项倾向于|sinθi|值较小的解，从而可能实现解的局部平滑。

2.3 迭代加权算法

利用文献[9]提出最小优化(majorization-minimization，MM)算法，通过迭代最小化目标函数的上界来求解。文献[7]和文献[8]表明对数行列式函数的代理函数为:

(20)

令

(21)

把式(10)和式(21)代入式(20)得:

(22)

最后，使式(14)中的目标函数具体化的代理函数可表示为:

(23)

因此，优化式(14)可以通过迭代最小化式(23)来代替，式(20)的最优解为：

x=(ATA+λ-1W)-1ATy

(24)

通过迭代最小化Q(x|x(t))，能保证目标函数L(x)在每次迭代过程中不递增。

归纳上述分析过程，总结出基于LOOP算法的MIMO雷达成像流程如下：

输入：观测信号y，感知矩阵A以及参数λ和κ；

输出：雷达信号x。

1)给出一个初始雷达信号x(0)，并且设置t=0；

2)当未达到收敛条件时，循环；

4)计算新的稀疏雷达估计信号，记为x(t+1)；

6)δ(t+1)=δ(t)/10；

7)停止迭代，否则

8)t=t+1；

9)结束循环。

3 仿真与结果分析

MIMO阵列排布如图1所示。仿真目标的点散射模型如图3所示，目标质心O(0,0,20 000)，单位m。设发射天线It=4个，阵元间距为dt=12 m，接收天线Mr=25个，接收天线间距为dr=12 m。雷达发射信号的载波频率为10 GHz，雷达采样频率为5 GHz，发射信号采用4个正交性和接收正交分离性均较好的正负LFM信号，以发射阵列第一个阵元T0作为测量坐标系的坐标原点，以参考相位中心点O为相对坐标系原点。