几种提高IGS精密星历方法的比较

汤伟尧

摘 要：对GPS卫星精密星历的Lagrange插值，chebyshv拟合以及离散正交法进行了比较分析。结果表明，拟合算法最佳精度阶数为9阶，插值算法在8阶时计算精度最高，而三种方法的拟合精度排序为：chebyshv拟合>Lagrange插值>离散正交法，尽管chebyshv拟合所得卫星坐标精度最高且不存在法方程病态，但其系数都是在[-1 ，1]的范围内仍存在缺陷，而离散正交算法对未知数定义域没有要求，更加灵活。

关键词：IGS精密星历;Lagrange插值法;chebyshv拟合法;离散正交算法

中图分类号：P228.4 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2020）06-0225-03

0引言

IGS发布的精密星历文件（后缀为.sp3）所包含的内容为GPS卫星的位置，其时间间隔为15分钟，精度为亚分米级，而在很多科研应用中，需要得到GPS卫星在任意时刻的位置，这就需要有很好的插值或者拟合方法[1]。目前，利用IGS精密星历求任意时刻卫星位置的插值方法主要有Lagerange插值、Neville插值等;常用的拟合方法包括chebyshv擬合、Legendre拟合等[2-3]。

本文对比分析了lagrange插值和chebyshv拟合在不同阶次时的精度高低。在以往的拟合中，往往出现法方程病态，为抑制这种情况，可选择定义域在[-1，1]的chebyshv拟合，但这种拟合方法会出现法方程很大的情况，导致在方程求逆时不方便[4]。在此基础上，本文提出基于正交多项式的三项递推算法，该算法的优点在于未知数定义域可任意值，没有局限。

1各类算法模型

Lagrange插值算法和Chebyshv拟合算法以及离散正交多项式的具体的数学模型如下：

2插值与拟合与递推算法实例分析

本文选取了IGS发布的的精密星历，2006年2月1日在时间段0时0分0秒至2时15分0秒内，PRN01的卫星坐标（表1）作为拟合点，然后对比分析3种方法的精度，结果分别置于下列表中。

为了能够分析反映上面4种方法的精度，通过MATLAB作图分别比较插值方法和拟合方法，以及他们与原始真值的比较，得到如下结果。

通过图1可以看出，勒让德多项式拟合与切比雪夫多项式拟合，在9阶时，完全一致（x方向）。在一段时间勒让德多项式拟合的精度高于切比雪夫拟合方法，并且最大误差不超过1cm。

通过图2可以看出离散正交多项式与实际值的最大差值为1.224763691425324e-04（m）（x方向）。离散正交多项式对法方程系数没有要求，适合于各种数据插值，但其精度稍低于切比雪夫多项式。

通过图3可以看出离散正交多项式与切比雪夫多项式拟合最大相差1.445800065994263e-03（m）（x方向），对比两种方法发现，切比雪夫多项式插值精度与它的阶数以及节点数的选取有很大关系。

通过图4可以看出切比雪夫多项式与实际值在拟合点数值一致。但是不同的阶数和不同的节点切比雪夫多项式插值精度明显有差异，当选取某一阶数时，只有把节点选取合理，切比雪夫多项式得到的结果才能精度较高。而且分析可知，当阶数达到一定高度时，切比雪夫拟合精度保持平缓趋势，精度没有较大波动。

3总结

本文对比了切比雪夫多项式、拉格朗日插值和离散正交多项式对精密星历的拟合精度，结果得出，切比雪夫内插虽然能够避免在计算过程中法方程病态的情况，但是由于其系数都是在[-1，1]的范围内，所以导致计算过程会比较复杂，比较耗时;离散正交多项式对法方程系数没有要求，适合于各种数据插值，但其精度稍低于切比雪夫多项式。拉格朗日属于内插方法，所以其在已知值上的精度最高，但是内插值的精度也较切比雪夫稍差。综上，三种精密星历内插方法都可以达到要求水平，但它们的精度也存在差异，而这三种方法的拟合精度排序为：切比雪夫>拉格朗日>离散正交。

参考文献

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