静电场中电场强度的求解方法研究

唐鸽 刘桂香

摘 要：在静电场中，解决静电场的重要内容为解决电场强度。为了使学生的思维发散开来，提高学生解题分析能力，本文总结了计算静电场的七种方法及其适用条件。

关键词：静电场;格林函数;电势;分离变量法;高斯定理

电场不是可感知的，不是肉眼看得见的，不是以物理形式存在的。所以我们在电场的计算中可以运用它本身的性质去证明它的存在和自然界的本质。我们常用求解静电场有如下七种方法：

1 通过场强的定义式E=Fq0计算场强

通过场强的公式可以知道：在电场中，某点的场强和该点的单位正试验电荷的电场力相等。以下几点是使用该公式需注意的地方：

（1）在电荷分布确定时，点试验电荷的带电量不影响该点场强的大小。

（2）在电场中任意一点，该点试验电荷的正负影响了该试验电荷的受到的电场力的方向。

（3）E是一个有方向、大小，但不分正负的量。该公式最主要的用途是，用来定义场强和引入场强E，通常在计算过程中，会利用库仑定律：

2 依据场强叠加原理计算场强

计算多电荷的电场强度，将点电荷的场强公式与场强叠加原理相结合，计算了多电荷的场强。以下两种问题主要通过这个方法来解决：①点电荷体系，用于表示空间中存在多个带电体，而需要不考虑电体的大小，任何帶电体都可视为点电荷。点电荷系统由一组点电荷组成。当点电荷体系存在场点中是一个独立体时，该点的综合场强就是他们场强的矢量和。②电荷连续分布，此时意味着带电体不再能视为场点的点电荷，但每个带电体都能视为是N个点电荷叠加起来的。微元带的电荷量为dq，并对其他的带电体也进行了处理，依据场强叠加原理，该场点的合场强可以求解出来。获得微元可以分三种类：①体模型，体密度ρ和电量dq=ρdv;②面模型，面密度为σ和电量dq=σds;③线模型，线密度η和电量dq=ηdl.体现了基本的物理思想，发挥了根本性的的用途，被广泛的应用。按道理来说，只要是已知电荷分布的静电场，场强都可以计算出来。因为上述公式是一个矢量积分，所以在计算问题的过程中，它将具有一定程度上的对称性，解决问题的难度将急剧减小。

3 高斯定理求电场强度

（1）用Gauss theorem求解电场强度的前提条件是它必须要具有对称性。球面对称，或者轴对称和平面对称都可以，也就是只有当闭合面上各部分场强都相等的情况下，才可以运用Gauss theorem来求解出电场强度E。要不然的话，虽然同样会适合Gauss theorem，但是它的情况将会比较复杂，这将导致场强求不出来。

（2）用适当的曲面为高斯面，可以从积分号里提取E出来。

选择高斯面的三个原则：

①它必须是个简单的几何面来作为高斯面;

②使电力线垂直于高斯平面的各个部分，或与电力线形成一个固定的角度，且平面上所有点场强大小要都一样，此时，E能从积分号提取出来;

③所求的场点必须都要在高斯面上。

利用上面两个公式，普通的边值问题只需求出V区域内的格林函数就可以求出来。当上述公式中的ρ（x）=0的时候，Laplace的解就是这个方程。求解格林函数是非常困难的，需要求出解析解，区域必须是几何形状的，但这个方法很少使用。

5 分离变量法

使用分离变量法，第一，需要给定边界结合恰当坐标系的坐标面，或与坐标平面分段重合;再就是，在坐标系中，能用多个函数的积表示待求偏微分方程的解，坐标系中的每个函数都是只是坐标的函数。然后再运用分离变量法，把偏微分转化为常微分，并解决该方程。此种问题能用解析形式给出的前提是它的边界形状是一个简单的几何图形。在不同的情况下会有不一样的解法，取决于坐标系建立的是否恰当。Laplace的通解在笛卡尔坐标系中表示如下：

拉普拉斯方程通解在圆柱坐标系中二维场表示为：

在圆球坐标系中的通解为：

其余的问题是通过边界条件来求解这些解中的常量，由此可以解出满足边界条件的特解。通过分离变量法可以得到的解是精确值，但是它的解法十分困难与复杂。

6 镜像法

镜像法是求解格林函数法之一。势边值问题是说，在区域V中的电荷分布确定的条件下，给出边界条件，并将区域V中的电场，记录边值问题①，如果能找到另一个边值问题②，电荷分布确定，则计算势或电场以及电场的分布是很好的。同一区域的电荷与边值问题的电荷相同，其边界条件在相同条件下是相同的。根据它的唯一性定理，边值问题①、②在V区域中的电场大小是一样的，也就是说，它们是一个等价的替代问题。镜像法用于求解以下四种情况：

（1）点电荷在导电体周围的电场大小;

（2）点电荷在导体球周围的电场大小;

（3）具有平行线电荷的无限长的圆柱导体周围的电场大小;

（4）点电荷在无限大的介质平面的电场大小。

镜像法是一种等效替代法。此方法比分离变量法比较起来显得更加容易，该问题的精确解更容易得出，但是它只能用来解一些小范围比较特殊的边界问题。

7 限差分法

限差分法是相对比较容易的一种数值解法，它将把需要求解的区域分成许多个小网格，并把Laplace方程变为网格节点的电位有限差分方程组。边界点的电位值确定，用迭代法或超松弛法得到网格点电位的近似解。如果把求解区域划分成更加小更加多的网格，通过计算机来求解，基本上可以达到所需的任何精度。

有界的空间区域内存在无散度源且无旋度源的场强——泊松方程的求解：

这个方程叫Poisson equation。对此形式，只要得到Poisson equation在此区域上的解，再求解求梯度，就能得到要求的静电场场强。具有自由电荷区或有恒流区域的静电场的场强可以求解。

学会并利用很多的方法来求解静电场，它把学生的思维发散开来，把解题分析能力提高。这么多的计算，看到底要用哪种方法来解决静电场会更加的合适，需要根据实际问题来具体探讨。关于静电场问题中的物理图型与物理模型，如果能被很好的运用，对于发展学生的推理分析的能力就显得格外的重要。

参考文献：

[1]冯恩信.电磁场与电磁波[M].西安交通大学出版社，2005.

[2]郭硕鸿.电动力学[M].北京：高等教育出版社，1998.

[3]王增和，王培章，卢春兰.电磁场与电磁波.

[4]郭硕鸿.电动力学（第三版）[M].高等教育出版社，2008.

[5]郑春开.电动力学解题指导[M].北京大学出版社，2004.