基于欧拉角与微元分析的六自由度机械平台运动模型

摘要：对六自由度机械平台的运动进行了研究，引入欧拉角描述平台的运动姿态和方向，将抽象的运动用具体的数值组合进行量化，并结合旋转矩阵建立动态欧拉角模型。取ZYX的欧拉角组合进行实例演算，给出了支杆长度随位移变化和倾角变化的关系图像。

关键词：机械平台;动态欧拉角模型;旋转矩阵

1 问题重述

六自由度机械平台由6根带伺服电动缸（或液压装置）的支杆、上下2个平台以及上下各6只万向节（或球面副）组成。下平台固定在基础设施上，通过6根支杆的伸缩运动，控制上平台在空间6个自由度运动，即三维空间的X、Y、Z轴方向的运动以及分别绕X、Y、Z轴旋转的运动。

通过驱动支杆伸缩运动，六自由度机械平台可以实现上平台姿态变化。该机械平台具有并联结构，即6个驱动器共同作用于一个平台。这种设计优化了系统刚度，承载能力强，且位置误差不累计，但相较于串联设计，其驱动方式也更为复杂。我们假设上平台在初始状态下与下平台平行，通过对该机械平台做适当的简化和假设，建立数学模型，在保持上平台初始中心位置不变的情况下，能给出平台向任意方向倾斜某一角度时6根支杆的长度随倾角变化情况。

2 问题分析

在上平台初始中心位置不变的情况下，六自由度机械平台进行任意角度的倾斜，于是我们以上平台初始中心位置为原点建立空间直角坐标系。引入欧拉角模型，通过旋转矩阵计算，描述上平台向任意方向倾斜某一角度时6根支杆的长度随倾角变化的情况。

3 模型假设

（1）假设上下平面短边所对的圆心角的度数相同。

（2）假设上平面中心质点在平移时做匀速直线运动。

（3）假设上平台绕不同轴转动的角速度相同。

4 模型建立

4.1    六自由度机械平台的结构及参数

首先，我们将模型简化成一个圆台，运动上平台的6个万向节位于半径为ra的圆周上，6个万向节与上平台的交点记为Ai（i=1，2，…，6），在圆周上均匀分布;运动下平台的6个万向节位于半径为rb的圆周上，将其与下平台的交点记为Bi（i=1，2，…，6），在圆周上均匀分布。选取坐标系OXYZ的坐标原点为上平台外接圆圆心，并固定在上平台上。运动平台的初始高度（上下平台间的垂直距离）为h。

4.2    欧拉角的引入

由于欧拉角非常适用于描述物体的姿态和方向，故在此利用欧拉角讨论支杆的长度随倾角变化的情况。

平台向任意方向倾斜某一角度可以分解为3个过程：先绕某一轴旋转γ角，再绕某一轴旋转β角，最后绕某一轴旋转α角。因此，我们引入欧拉角动态模型。

转动的排列顺序不同就有不同的欧拉组合。其中，最具代表性的是ZYX与ZYZ，在此我们选用ZYX组合。

5 模型求解

我们代入数值，得到6根支杆的长度随倾角的变化情况如图1所示（下面只展示1根支杆的情况）。

由上述图形分析可知，当3个倾斜角α、β、γ都增大时，l1长度的变化量Δ1先增大后减小，存在极大值点。

由MATLAB绘图可知，当3个倾斜角α、β、γ都增大时：

（1）l2长度的变化量Δ2先增大后减小，存在极大值点;

（2）l3长度的变化量Δ3、l6长度的变化量Δ6先减小后增大，存在极小值点;

（3）l4长度的变化量Δ4单调递减，l5长度的变化量Δ5单调递增。

6 模型评价

6.1    模型优点

（1）引入了动态欧拉角模型，将上平台保持初始中心不变的旋转运动分解成先后绕x轴、y轴、z轴旋转的运动，将抽象的运动用具体的数值组合表现出来，使模型更加清晰。

（2）利用MATLAB编程计算代码，解算效率更高。

6.2    模型缺点

计算旋转变换时，需要转换成旋转矩阵，这时候需要计算很多复杂的三角函数式，计算量较大。

7 结语

本文在保持六自由度机械上平台初始中心位置不变的情况下，通过引入欧拉角描述平台向任意方向倾斜某一角度时的运动姿态，建立动态欧拉角模型，最终给出平台在这一运动中6根支杆的长度随倾角变化情况。

[参考文献]

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[2] 黄真，李艳文，高峰.空间运动构件姿态的欧拉角表示[J].燕山大学学报，2002（3）：189-192.

[3] 劉国军.六自由度运动模拟平台的分析及结构参数的优化[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2014.

收稿日期：2020-05-07

作者简介：胡璠樊（1999—），女，浙江温州人，研究方向：学科数学。