考虑单磨粒作用的砂带磨削机理模型*

2020-07-03齐俊德

金刚石与磨料磨具工程 2020年3期

齐俊德, 陈冰

(西北工业大学机电学院, 西安 710072)

精加工磨削工艺，一般作为机械加工的最后一道工序，可以有效消除前面工序产生的加工缺陷，提高产品加工质量，对保证产品的性能和使用寿命起着十分重要的作用[1]。

在精加工相关研究中，如何实现材料的定量去除，以达到要求的形位精度，是一个关键点及难点。砂带磨削就是精加工磨削的一种，它具有加工精度高、适用范围广且散热性好等优点，因而得到广泛的研究与应用。但砂带磨削过程较复杂，影响其材料去除的因素众多，包括加工过程中的工艺参数(如砂带速度、进给速度和给定压力)以及砂带固有的性质(如磨粒大小、磨粒本体材料及其分布密度)等[2]，加之目前的砂带磨削对象多为自由曲面，更增加了其定量去除的难度。

针对该问题，众多学者开展了相关研究并取得了较好的成果。就目前的研究对象与方法而言，一般有2种方法：一种是基于经验方程的建模方法。WANG等[3]以机器人砂带磨削为研究对象，基于简化的赫兹接触理论获得了磨削力的分布规律，并在此基础上采用Hammann线性磨削模型给出了去除深度计算方法。HE等[4]以磨削压力为重点研究对象，综合考虑了接触体的结合特征以及砂带弹性接触轮的材料特性，研究了砂带磨削过程中接触压力对钢轨材料去除的影响规律。上述研究均以经验建模为主，模型建立较为便捷，但对磨粒等微观因素对材料去除的影响研究缺乏量化。另一种则是从微观磨粒角度出发，通过统计学方法构建宏观上的材料去除模型。樊文刚等[5-6]综合考虑了磨粒特征与工艺参数作用，基于宏观磨削力与微观磨粒综合受力平衡方程，获得单磨粒去除量，并进一步构建了砂带磨削的材料去除模型，具有较好的理论指导价值。

为更好地理解和优化砂带磨削过程，以单磨粒材料去除过程为研究对象，分析了不同切深下的单磨粒材料去除机理，并基于试验数据对磨削过程进行简化。在此基础上，综合运用弹塑性变形、赫兹接触以及概率统计等理论，建立了基于单磨粒切入深度的砂带磨削去除模型，并基于机器人磨削平台进行TC4合金曲面磨削试验，将其结果与理论模型预测结果比较，以验证所建模型的有效性。

1 单磨粒切削作用过程分析

磨削的本质就是大量的微小磨粒对工件表面的材料进行去除的过程。磨粒与工件的接触情况较复杂，包含了挤压、划擦、耕犁以及切削等多种作用的耦合，如图1所示。而磨削过程按照材料的变形行为又可分为弹性变形与塑性变形2个阶段，两者之间的转变取决于磨粒切入工件的深度大小[5]。因此，可依据工件变形形式进行单磨粒的分阶段作用过程分析。

为简化计算，大多数文献所建立的模型都假定磨粒形状为圆锥形[7]。但实际上，通过高倍显微镜观察及相应的单磨粒划擦试验结果[8]显示：单一磨粒一般拥有很多的微小切削刃，近似于圆弧的多刃切削。因此，为了增加分析过程的准确性，设定单磨粒形状为尖端半球形的圆锥。

图1 单磨粒作用过程示意图

1.1 弹性变形阶段

根据弹性力学理论，对于单个磨粒，其顶端的球形半径为R，当施加的力为F0时，如图2所示，则有[9]：

(1)

(2)

图2 单磨粒与工件作用示意图

设工件表面的布氏硬度为HB，根据弹塑性变形理论，当工件受到的平均压强p0≥HB/3时，会产生塑性变形；p0

(3)

用后面试验部分表1的数据对式(3)进行计算，δmax结果为2.3×10-4μm。在磨削中，磨粒的平均切入深度一般为μm级，远远大于该数值[11]，因此工件该部分的弹性变形可以忽略。

1.2 塑性变形阶段

当磨粒切入深度超过δmax时，工件材料将会发生塑性变形，进而产生材料去除。单个磨粒为尖端半球形的圆锥，不同的接触部位会导致其切削过程不同。因此，根据磨粒形状，可进一步将塑性变形过程分成球形切削和锥形切削2个阶段。

1.2.1 球形切削阶段

当磨粒切入深度小于磨粒尖端球形半径R时，进入球形切削过程，如图3所示。图3中：由文献[12]可知：在塑性变形阶段，同样会伴随一定程度的弹性变形。设此过程的弹性变形量为δc，其求解方程为[12]：

(4)

同样采用试验部分的表1数据对式(4)进行计算，δc结果为4.6×10-5μm，该值同样远远小于磨粒平均切入深度。因此，为简化计算，同样忽略该部分的弹性变形，只考虑其塑性变形。

图3 塑性变形阶段球形切削示意图

图3中：U1,U2,U3,U4和U5是磨粒尖端上的位置；O是球形尖端的中心；扇形U1U2U5区域代表弹性变形区域；U2U3U4U5区域代表球形尖端切除工件材料的横截面区域，该区域面积大小由 ΔA表征，具体计算方法在接下来的部分进行讨论；rc与rp分别代表了磨粒顶端与底端接触区域的圆形半径。

设工件的塑性变形量，即材料的去除深度为δp，则该阶段单磨粒产生的塑性力为[13]：

Fs1=2HBπRδp

(5)

1.2.2 锥形切削阶段

当磨粒切入深度大于刃端半径R时，进入锥形切削过程，如图4所示。此时同样会发生一定程度的弹性变形。由式(4)可知：弹性变形量是磨粒与材料特征的函数，两者不变，则弹性变形量不变。因此，在该阶段同样忽略弹性变形，只考虑塑性变形。

在此阶段，一般设定塑性变形引起的平均压强p1=HB/2[14],磨粒与工件的接触区域为圆形，其接触半径rp为(h-h0)tan(α/2)，则单个磨粒的接触面积为：

Ss2=πrp2=π(h-h0)2tan2(α/2)

(6)

式中：h为磨粒出刃高度；h0为磨粒分布高度原点距工件表面的距离。

因此,锥形切削阶段，单磨粒产生的塑性变形力大小为：

Fs2=Ss2p1=πHB/2×(h-h0)2tan2(α/2)

(7)

图4 塑性变形阶段圆锥切削示意图

2 磨粒切入深度模型

在单磨粒作用分析的基础上，基于磨粒数目与出刃高度分布函数，建立微观磨粒与宏观磨削压力平衡方程，给出磨粒切入深度的求解方法。

2.1 磨粒数目与出刃高度分布函数

砂带单位面积内的磨粒总数N可以通过采样区间的波峰数求得[15]：

(8)

式中：k与z分别为数据测量表面的行数和列数；Nt代表了采样区域内的波峰数；Δx和 Δy分别为x方向和y方向的采样间隔。

波峰数可以通过8点原则法获得，即高于周围8个点高度的点即为波峰点。其中需注意的是，不同的采样间隔对于最终结果的精度影响较大。因此，根据BLUNT等[16]提出的合理采样间隔，定义采样间距ΔL满足：

dm/4≤ΔL≤dm/3

(9)

式中：dm代表了磨粒的平均粒径。

大量试验表明：磨粒的最大粒径dmax与平均粒径dm近似于磨粒的最大突出高度与平均突出高度[7]。因此，磨粒出刃高度近似符合高斯分布模型，如图5所示，其分布密度函数为[17]：

(10)

式中：σ为出刃高度均方差，其计算公式为[17]：

σ=(dmax-dm)/3

(11)

图5 磨粒出刃高度示意图

图5中：原点O位于平均出刃高度处；dmin代表了磨粒最小尺寸；h0为原点距工件表面的距离；m为塑性变形时磨粒切入工件的最大深度。

由图5几何关系可知：

h0=3σ-m

(12)

2.2 单位面积的磨粒压力

如图5所示，当磨粒出刃高度大于h0时，磨粒与工件发生接触，在忽略弹性变形的情况下，可以产生材料去除，这部分磨粒被称为有效磨粒。

由前文可知，磨料不同的切入深度，材料会产生不同的变形行为。其中，单位面积砂带内发生球形切削的磨粒数目为：

(13)

联立式(5)与(13)，则单位面积工件受到的球形切削产生的压力为：

(14)

同样，单位面积砂带内锥形切削的磨粒数目为：

(15)

联立式(7)与(15)，则单位面积工件受到的锥形切削产生的压力大小为：

(16)

2.3 磨粒切入深度

式(14)与式(16)的力相加，得出单位面积的工件所受的总压力(即压强)，包含了球形切削力与锥形切削力这2个分力。且压强公式中只有1个变量h0，即工件压强是h0的函数。根据h0与最大出刃高度3σ的关系式(12)，得出工件与砂带的作用过程共包含了以下3种情形：

(1)当h0+δmax≥3σ时，即最大切入深度小于弹性变形极限，此时工件只发生弹性变形，不产生材料去除。由试验结果可知可忽略该部分。

(2)当h0+δmax<3σ≤h0+R时，工件发生球形材料去除，压强大小为：

P=F1

(17)

(3)当h0+R<3σ时，工件同时发生球形去除与锥形去除，故压强大小为：

P=F1+F2

(18)

结合式(14)、(16)、(17)及(18)，在已知压强分布的情况下，就可以得到实际的磨粒切入深度分布。

由于本文中的工件与砂带之间的接触符合赫兹定律求解条件[7]：

(1)工件与砂带接触问题可以看作为圆柱体与圆弧面的接触问题，满足赫兹接触“接触点附近表面至少二阶连续”以及“接触是非共形”的假设；

(2)砂带与工件的接触区域较小，两者的接触变形相对未变形表面主半径较小，可以视其为“小变形”。

因此，可以利用赫兹定律进行压强分布求解，其具体求解方法已成熟，故不在此赘述。

3 材料的去除体积模型

材料的去除取决于2个参数，即单位时间单位面积内进行材料去除的磨粒数目与单磨粒的材料去除体积，2个参数共同作用决定了材料的去除量。

3.1 单位时间单位面积内的有效磨粒数

在工件与砂带接触区域内，取一微元G，设其长度和宽度分别为dy与dx，如图6所示。设定砂带的旋转速度与工件的进给速度分别为vt与vf，则在时间dt内参与磨削的砂带面积为：

S1=dldx=vsdxdt

(19)

式中：dl为砂带在dt内的旋转长度；vs=vt±vf，为工件与砂带的相对速度。当顺磨时，取减号；当逆磨时，取加号。

图6 砂带与工件接触区域示意图

结合上述分析，联立式(8)与式(19)，可以得到时间dt内在微元G处的有效磨粒数为：

(20)

3.2 单磨粒的材料去除体积

根据磨粒切深，可以将材料去除体积求解分为2种情况：

(1)球形切削体积

如图3所示，当为球形切削时，根据几何关系求解可得：

(21)

进而，由弓形面积计算方法可以得到此时的切削横截面面积为：

(22)

则单磨粒的球形切削体积为：

V01=ΔA1dy

(23)

(2)锥形切削体积

如图4所示，当为圆锥切削时，同理可得：

rp=(h-h0)tan(α/2)

(24)

此时的切削横截面面积为：

ΔA2=πR2/2+(rp+R)(h-h0-R)

(25)

则单磨粒的锥形去除体积为：

V02=ΔA2dy

(26)

最后，单磨粒的材料去除体积V0为V01与V02之和。

3.3 总体材料去除模型

所有有效磨粒的材料去除体积的总和即为宏观的材料去除量。因此基于前述分析，可以得到在单位时间dt内，在微元G处工件材料的总去除体积V为：

(27)

式中：dz为材料去除深度。

进一步对式(27)处理，可以得到：

(28)

式中：Hl代表了材料的线性长度去除率，即工件单位接触长度下的材料去除深度。

则在工件与砂带接触过程中的微元G处，其总体去除深度H为：

(29)

式中：L1与L2代表了工件与砂带在G处接触的起点和终点，可以通过赫兹接触定律求解。

4 模型验证

4.1 磨削试验平台与参数

图7为机器人砂带磨削试验装置、工件及测量装置。采用工业机器人为加工主体设备，构建了砂带磨削试验平台(图7a)；加工工件为TC4合金200 mm×90 mm曲面(图7b)；选用FerRobotics公司生产的ACF 110-10型力控制器对力精准控制，保证试验过程的稳定性(图7c)。该装置控制力精度为1 N，反应时间为4 ms；材料去除深度采用Mahr XCR20表面轮廓测量仪测量(图7d)。用该轮廓测量仪可以重构出磨削后的材料表面廓形，沿垂直于磨削进给方向记录磨削前后的工件表面轮廓，并取磨削前后轮廓对应位置的差值为材料去除深度。

(a)机器人砂带磨削试验平台Robot abrasive belt grinding experiment platform (b) 砂带机及试验工件Belt sander and experimental workpiece(c) ACF力控仪ACF force controller(d) Mahr XCR20表面轮廓测量仪Mahr XCR20 surface profile meter图7 机器人砂带磨削试验装置、工件及测量装置Fig. 7 Schematic diagram of the experimental devices, workpiece and measuring devices in robotic belt grinding

砂带磨削试验参数如表1所示，其中的砂带宽度为9 mm。

依据前期的试验经验，砂带在使用初期5 min之内磨损较快，之后进入稳定磨削阶段。因此，为减小砂带磨损造成的影响，每次试验前都对新砂带进行5 min磨削去锐处理，而后使其工作在稳定磨削阶段。进行单因素多水平试验，主要考虑4个参数变量的影响，分别为P240、P400和P600粒度号的3种氧化铝磨料、磨削压力、砂带进给速度及线速度。根据相关经验，初始磨削压力设定范围为5～25 N；砂带进给速度范围为10～50 mm/s；砂带线速度范围为6～14 m/s。进行单因素5水平试验，具体的因素及水平值如表2所示。

表1 砂带磨削试验参数

表2 单因素试验水平表

4.2 砂带磨削试验结果及分析

4.2.1 去除深度与工艺参数关系

首先基于单因素试验研究不同工艺参数对材料最大去除深度的影响，结果如图8所示。

由图8a可知：磨削压力增大，材料最大去除深度不断增加。这是因为随着磨削压力的增大，磨粒切入材料的深度会随之增加，单个磨粒的去除量增大；同时磨削力增大也会使得单位时间内的有效磨粒数目增加。两者的共同作用会使单位面积、单位时间内材料的去除量增大，宏观表现为材料去除深度增加。

由于表1中的砂带轮弹性模量求解复杂，其受橡胶接触轮及砂带的综合影响，常规的方法都不太适用。因而基于材料去除深度，进行反向求解，即采用基于Preston方程的去除深度试验方法得到弹性杨氏模量来简化后续计算，其求解公式如下[18]：

(30)

式中：Re为工件接触处曲率半径；Kp为常数，可由试验测得。

由图8b可知：材料最大去除深度与砂带线速度成正相关，即线速度越大，材料去除深度越大。原因为砂带线速度越大，单位时间内的有效磨粒数目越多，因而材料去除量增大。

由图8c可看出：最大去除深度与砂带进给速度成反相关，进给速度越大，材料最大去除深度越小。其原因与砂带线速度增加相反，即进给速度增大，会导致单位时间内有效磨粒数目减少，因而材料去除量减小，也导致磨削深度变小。

(a)不同磨削压力

(b)不同砂带线速度

(c)不同砂带进给速度

综合分析图8可发现：用不同粒度的砂带磨削时，磨料粒度号越大，其材料最大去除深度越小，即材料最大去除深度与磨料粒度成反相关。原因可以解释为磨料粒度代号越大，其尺寸越小，磨粒颗粒数越多，其分布密度越大，相同工艺参数情形下单磨粒受力较小，其磨粒切入深度较小，更多的磨粒会发生弹性变形而不产生材料去除，因此其材料最大去除深度相对较小。

4.2.2 材料去除模型验证

为进一步量化验证模型的有效性，表3给出了用P400氧化铝磨料时10组不同工艺参数下的材料最大去除深度试验值与理论预测值，图9为不同样本数下材料最大去除深度的变化。由表3与图9可以发现：模型预测值与试验值的最大相对误差为17.66%，平均相对误差为10.55%。因此，可以认为模型预测值和试验结果具有较好的一致性，证明了本文中所建模型的有效性。

图9 不同样本数下材料最大去除深度的变化

压力F/ N线速度vt / (m/s)进给速度vf / (mm/s)材料最大去除深度 ap / mm试验值预测值565016.093×10-314.621×10-3584020.003×10-317.307×10-310103039.859×10-339.372×10-310122052.573×10-343.503×10-315141073.271×10-376.238×10-31561058.683×10-351.337×10-32082049.116×10-350.525×10-320103046.139×10-339.203×10-325124054.031×10-347.392×10-325145055.908×10-346.031×10-3最大相对误差17.66%平均相对误差10.55%