带有临界项的薛定谔-泊松系统基态解的存在性

杨 霞，冯晓晶

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

本文研究一类带有临界非局部项的薛定谔-泊松系统[1]：

(1)

近几年，越来越多的数学家们研究了下列薛定谔-泊松系统[2]：

(2)

特别地，对带有临界非局部项的薛定谔-泊松系统：

(3)

其中：2

系统(1)可以化为Choquard方程：

注：本文中，用C>0表示不同的正常数。

1 预备知识

(4)

对任意的u∈Π，有：

(5)

引理1[12](Ⅰ)对任意的u∈D，有φu≥0。

(Ⅱ)对任意的t>0和u∈D，有φtu=t5φu。

(Ⅳ)若un在D中弱收敛于u，则存在子列，使得φun在D中弱收敛于φu。

定义能量泛函为：

显然，J∈C1(D，R)。容易证明系统(1)的弱解等价于J的临界点。为了得到基态解(也就是最小能量解)，定义Nehari流形N={u∈D{0}:I(u)=0}，其中

2 定理1的证明

为了证明主要结果，首先给出一些引理。

引理2假设定理1的条件成立，对任意的w∈Π，存在唯一的tu>0，使得tuu∈N，且有J(tuu)=maxt>0J(tu)。

证明对任意的u∈D，根据Hölder不等式和式(4)得：

(6)

取定u∈D{0}，对t>0，定义f(t)∶=J(tu)，注意到f′(t)=〈J′(tu)，u〉=0当且仅当tu∈N，通过计算有：

显然，t>0时，h是不增函数，由式(6)可知：

因此，存在唯一的tu>0，使得f′(tu)=0，即有tuu∈N。从而J(tuu)=maxt>0J(tu)。

引理2证毕。

对任意的u∈N，结合式(4)及式(6)，有：

从而不难推得，存在α>0，使得：

(7)

根据式(6)，对任意的u∈N，有：

(8)

知J有下界，则可令m=infu∈NJ(u)且m>0。

引理3假设定理1的条件成立，对任意的u∈N，I′(u)≠0。

证明对任意的u∈N，根据式(6)和式(7)，有：

(9)

则对任意的u∈N，I′(u)≠0。

引理3证毕。

引理4假设定理1的条件成立，则存在有界序列{un}⊂N，满足J(un)→m，且在D-1中J′(un)→0。

证明利用Ekeland’s变分原理[16]，存在有界序列{un}⊂N，{λn}⊂R，使得J(un)→m，并且在D-1中J′(un)-λnI′(un)→0。由式(8)可得：

故{un}在D中有界。又知0=〈J′(un)，un〉=λn〈I′(un)，un〉+ο(1)，结合式(9)可得：λn→0。利用Hölder不等式和{un}的有界性得：

从而有：

引理4证毕。

引理5假设定理1的条件成立，则下面不等式成立：

证明对任意的u∈Π，当t>0时，定义

结合式(5)，上式可以化为：

故有：

根据引理2，对任意的w∈Π，存在唯一的tw>0，使得tww∈N，从而有：

因此，m<Λ。

引理5证毕。

引理6假设定理1的条件成立，J有非平凡的临界点。

(10)

利用文献[16]中的引理2.13，有：

(11)

再由式(10)及式(11)，有：

(12)

由引理1，φun在D中弱收敛于φu，则在L6(R3)中有φun弱收敛于φu。从而有：

(13)

(14)

又显然有：

(15)

由式(11)、式(14)、式(15)及J′(un)→0得：

〈J′(u)，φ〉=limn→∞〈J′(un)，φ〉=0，

由此可得J存在一个非平凡的临界点。

引理6证毕。

定理1的证明由引理6可知：J有一个(PS)m序列{un}⊂N且存在u∈D，使得un在D中弱收敛于u，此外，u∈N有J(u)≥m。通过式(11)及范数的弱下半连续，知：

定理1证毕。