经历多元表征过程，理解概念

杨群艳

【摘 要】 在数学概念教学中，教师为了完成教学任务而一言堂，直接将概念灌输给学生，让学生机械记忆，忽略了对概念本质的探究，这种“重结论，轻过程”“重训练，轻思考”的教学模式，极大阻碍了学生的思维发展。因此，如何让学生利用多元表征理论去探究圆的特征，让学生转换不同的表征方式去探究数学概念，并利用多元表征理论培养学生的符号意识，建构数学模型思想，提高学生的语言表达能力、推理能力，是值得教师深刻反思的。

【关键词】 多元表征;数学概念;圆的特征

教学内容：北师大版第十一册数学第2～3页。

教学目标：结合生活实际和丰富多彩的活动，通过多元表征理论经历探索和发现圆的基本特征的过程，通过观察、操作、抽象和概括等活动体验，理解圆的特征，渗透符号意识，发展学生的几何观念;在画圆的过程中，理解同圆中半径、直径以及直径和半径的作用，会用圆规画圆，进一步体会圆的本质特征;能用圆的知识解释生活中的简单现象，感受数学与生活密切相关，进一步激发数学学习的兴趣，树立学习数学的信心。

教学重点：认识圆的各部分名称，理解圆的特征，会用圆规画圆。

教学难点：理解同圆或等圆的半径和直径的关系。

教学准备：教师准备圆规、三角板、PPT课件、圆形纸，学生准备：圆规、圆形纸、三角板。

教学过程：

一、创设情境，引入新课

谈话导入：（课件展示P2三幅图）我们打算举行套圈比赛，游戏规则是站好之后就不能移动位置，看谁套的圈多谁就胜，有三种站队方案，哪种方案比较公平？（讨论）

【从学生感兴趣的游戏引入新课，能充分调动学生的学习积极性，由于学生已经具有经验表征：知道点到直线的距离垂直线段最短，所以学生能得出结论：只有当学生都站成一个圆时最公平，因而很好地为新课的开展做好了铺垫】

反馈：说说为什么第三种最公平？

生：站成圆形时，每人离小红旗的距离是相等的。

师：之所以觉得围成圆比较公平，那是因为圆具有它独有的特征，其实圆还有更多特征，这节课，我们一起来探究圆的特征。

【通过情境表征，让学生初步体验圆心到圆上任意一点的距离相等，水到渠成地引入新课：圆的认识】

二、建构模型，探索新知

研究圆的特征折一折，画一画，量一量，看一看这一张小圆片，你们发现了什么？

【学生借助实物，通過体验表征，让学生通过活动折一折、画一画、量一量，看一看，通过多种表征，充分让学生独自去感知圆的特征】

学生在操作中理解什么叫圆心、什么叫半径、什么叫直径，并理解圆的半径与直径的关系，理解圆心、半径的作用。（四人小组讨论）

【教师充分注意尊重学生，顺应学生的思维，为学生提供充分的平台，让学生借助实物去表征，使圆的特征逐步清晰化，充分体现了学生的自主性】

学生汇报：

生1：圆是由一条曲线围城的封闭图形。

生2：在同一个圆里等圆中，圆有无数条半径，长度都相等。

生3：在同一个圆里等圆中，圆有无数条直接，长度都相等。

生4：通过圆心两端都在圆上的线段叫作圆的直径。

生5：从圆心到圆上的任意一点的距离叫作圆的半径。

【通过观察实物，借助学具圆片通过图像表征与体验表征，使学生从研究由线段围城的图形迁移到探究由曲线围成的图形，增强积累，充分应用数学活动经验的意识。学生通过摸一摸，感知圆的边是弯曲的，是有别于以前学过的由线段围成的平面图形】

师：为什么井盖要做成圆的？为什么大家喜欢围成一个圆来举行篝火晚会？

【通过体验表征与图像表征，充分让学生去感知，并从具体的实物体验抽象到图形体验，同时通过对接生活中的现象，发现在生活中大量存在利用同圆半径都相等、同圆直径都相等的特征去服务我们生活的例子，从而体会数学的价值，发展数学应用意识】

生6：直径是半径的2倍，半径是直径的一半。

师：展示大小不同的两个圆，上面的结论还成立么？引出结论：在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等，并引出圆心的符号，半径、直径的符号r、d ， d=2r，r=。

【符号化思想是小学数学教学过程要渗透的重要数学思想之一，将数学符号化，用符号的浓缩形式表达信息，极大地简化和加速了思维的进程，因此在此时根据圆的表征有意识地渗透了符号化思想】

师：其实我们的古人很早研究的“圆一中同长也”，你能解释古人这句话的意思么？

【适时地引出古人的研究成果，激发了孩子们的民族自豪感，树立学习数学的信心】

三、通过体验表征画圆

1.对于圆的特征，我们已经了解清晰了，那么你们能画一个圆吗？有哪些方法可以画圆？利用手上的学具试试（绳子，图钉，圆片，圆规）。画图的同时，并说说自己选择了什么工具，是怎么画，画圆时需要注意些什么。

【充分让学生去体验，在体验中发现画圆的最好办法。教师巡视中去了解学生画圆的情况】

2.怎样能将圆画得又快又好呢？看视频规范画圆的方法，再练习画圆。前两组半径为1厘米，后两组半径3厘米，并画出圆心、半径、直径，分别用字母表示。（按要求练习画圆，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小）

【通过动态演示画圆，学生进一步理解同圆的半径相等的特征，通过实践操作，进一步理解由于半径长度不一，圆的大小也不一的特征】

3.篮球场上的圆是怎么画的呢？是用圆规画的吗？画一个半径为5米的圆，你们会怎么画，还会选择圆规吗？（学生讨论）

生1：太大的圆规，我们没有那么高，用不了。

生2：可以用绳子、两人合作。

生3：可以用一根棍子两人合作。

师：所以说我们要画好圆，就要学会因地制宜地选择工具，生活中也是一样的，很多东西都得因地制宜地选择。除了这些方法，还有很多画圆的方法，圆规画法是基本画法。

【数学要为生活服务，将数学知识应用到生活中，这是学习数学的最终目的，从而让学生体会数学的价值，发展学生的数学应用意识】

四、拓展

除了这些，在生活中还要很多物体上是圆形的。你们能找出一些吗？

除了这些，在生活中还有很多物体上的某一个面都有圆，想一想车轮为什么要做成圆形的？

【通过一节课的探究，学生对圆有了更深的认识，引导学生思考“车轮为什么做成圆的？”既体现了圆在生活中的广泛应用，发展了学生的应用意识，又为下节课的学习做好了铺垫】

五、课堂小结

今天这一节课，我们认识了圆，了解了圆是由一条曲线围城的封闭图形，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。圆有无数条半径，有无数条直径，在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。在生活中很多地方都要应用到圆的知识去解决实际问题。大家课后可以继续去探讨在哪些方面应用了圆的知识。

【整段小结帮助学生形成对圆的基本特征的完整认识，让学生明白研究圆的特征可以借助教具学具，通过从实物转换到平面图形，体会转化的数学思想方法在研究图形中的应用，丰富学生的活动经验。同时鼓励学生将学到的数学知识应用到生活中去，培养学生的探索精神】

教学反思：

《数学课程标准（2011年版）》提到：在数学课程中，应当注重发展学生的几何直观、符号意识、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课上还要注重发展学生的应用意识和创新意识。

《圆的认识一》为学生提供了很多的自主探索和交流的空间，本节课老师充分注意学生的自主性，让学生充分应用多元表征经历概念形成的过程，使学生切实了解圆的基本特征，也掌握认识几何图形的基本方法，发展了学生的几何概念。具体的教学主要呈现以下特点：

1.利用多元表征，探究概念本质

学生在此节课之前对于圆的认识只是一种初步的直观感知，本节课的教学从直线图形的学习到曲线图形的学习，无论是内容本身，还是探索新知、研究问题的方法都有所变化。要引导学生利用多元表征使学生从直观感知的层面对圆进行探究，初步了解研究曲線图形的基本方法。这不仅丰富了学生对图形的认识，而且有利于发展学生的空间观念，通过多元表征使学生经历从具体到抽象、由感性认识到理性认识的发展过程，完成学生认知上的提升。

学生语言表征能力差往往会影响数学思维能力的提高，因此教师要重视数学语言能力的训练。上课一开始，教师为学生提供图像，让学生根据图像判断哪种方式最公平，其实是教师有意识地将图像表征与语言表征结合，既是初步唤醒对圆的认识，又是让教师及时了解学生的信息储备情况，使学生内部的思维过程外显出来，促进学生对圆概念本质的深度思考。

为了进一步探究圆的特征，使学生进一步认识圆，教师利用体验表征让学生通过折一折，画一画，量一量等方法，学生借助实物，让学生从直观到抽象，让学生充分去感知圆的特征。在通过图像表征与语言表征的不断转换过程中，使学生认识了圆的半径、直径、圆心。

通过动态表征，让学生带着问题和思考画圆，并在画圆的过程中理解半径确定圆的大小，圆心确定圆的位置。一开始，学生自主画圆，由于没有掌握画法，实际上是将半径变了，所以画不好，此时教师发挥引导者、组织者的作用，通过动态演示圆的画法，将抽象的概念直观化，将静态的概念动态化，在画法的表达交流中将同一个圆的半径都相等，同一个圆的直径都相等，从而更深刻地理解圆的概念的内涵。

2.顺应学生思维，体现学习主体

以学生为主体的教学往往容易将学生由被动状态转化成主动状态，使教学效果大大提高。纵观本节课，体现了教师注重落实《数学课程标准（2011年）》的理念，教师充分尊重学生，顺应学生的思维，发挥学生的主体性，为学生提供了充足的自主探究平台，让学生自主去获取知识，通过自主探究、动手实践操作、交流探讨，虽然学生在交流中概念不完善，或者出现知识点的偏离，教师不急于去纠错，还是顺应学生的思维，采用“装糊涂”策略，让学生相互补充，相互纠正，激发学生之间的深度互动，把一个人的思考变为全班共同研究和参与的过程。圆、半径、直径等概念逐步清晰。通过自主探究，既丰富了学生对圆的感知，又发展了学生的几何观念，同时也发展了学生的思维。

3.渗透应用思想，体现数学价值

《数学课程标准（2011年版）》中提到，数学可以描述生活中的现象，数学与生活有密切关系，要认识数学具有广泛的应用特点，学会运用数学知识和方法解决生活中的问题。再以选用哪种方式比赛比较公平来引入教学，实际上就是有意识地让学生体会数学与生活的联系，激发学习数学的需要。最后，拓展又让学生去思考生活中的现象：为什么篝火晚会大家喜欢围成圆圈？为什么下水道通常都是圆形的？为什么车轮都是圆的？抛出这一系列的问题，体现圆在生活中的广泛应用，使学生体会到数学要为生活服务，将数学知识应用到生活中，从而让学生体会数学的价值，发展学生的数学应用意识。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版，2012.

[2]张维国.基于多元表征的小学数学问题解决教学[M].长春：吉林大学出版社，2016，41-64.

[3]陈坚，唐菁.“圆柱的认识”教学实录与评析[J].小学数学教育，2019-09，70-72.