数学思想专题

刘天勇

整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法。整体思想作为一种思想方法在数学的学习中广泛地应用，尤其在比较复杂的题目中，希望大家重视起来。

一、整体思想在整式中的应用

例1：计算（x-y+z）（x+y-z）。

分析：对照平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，需要把（y-z）看作一个整体，相当于公式中的b，整体变换，本题就可以运用平方差公式进行计算了。

解：（x-y+z）（x+y-z）=[x-（y-z）][x+（y-z）]

=x2-（y-z）2=x2-y2+2yz-z2。

例2：已知2x+3y-3=0，求9x·27y的值。

分析：要求9x，27y的值，先把它们的底数都变为3，运用同底数幂的法则进行运算，然后根据2x+3y-3=0得2x+3y=3，整体代入就可以求出它的值。

解：9x·27y=（32）x·（33）y=32x+3y。

因为2x+3y-3=0，所以2x+3y=3，所以原式=33=27。

二、整体思想在分式中的应用

例3：已知，求的值。

分析：这个题可以将要求的分式化简，然后将已知条件整体代入，也可以变形已知条件和要求分式，然后再整体代入。

解：由题意得x≠0，y≠0，所以把分式的分子、分母都除以xy得，。

例4：已知，试求的值。

分析：本题的已知条件和要求结论都是分式，并且分子都是单项式，往往通过整体联想将它们倒过来求解。

解：因为，所以=5，x+=4。

，

所以。

三、整体思想在根式中的应用

例5：已知x+y=-5，xy=3，求的值。

分析：因为xy=3，所以x、y同号，又因为x+y=-5，所以xy根据这个隐含条件进行化简，再整体代入。

解：因为x+y=-5，xy=3，所以x<0，y<0。

。

例6：已知x為的小数部分，求x3+6x2+7x+2018的值。

分析：因为x为的小数部分，所以x=-2，x+2=，将这个等式两边平方得，x2+4x-1=0，变形x3+6x2+7x+2018，然后整体代入，本题整体代入的方法不止一种。

解：由题意得x=-2，所以x+2=，两边平方得，x2+4x-1=0。

x3+6x2+7x+2018=（x3+4x2-x）+（2x2+8x-2）+2020

=x（x2+4x-1）+2（x2+4x-1）+2020=2020。

四、整体思想在方程（组）中的应用

例7：解方程组

分析：此题可以用常规的代入消元法或者加减法消元法来解，但如果用整体代入的思想会更简单。

解：由得2（x+y）+3y=17③，

把①代入③得，y=3。

把y=3代入①得x=1。

所以

例8：阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4-5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它可以这样解：

解：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2-5y+4=0，

解这个方程，得y1=1，y2=4。

当y=1时，x2=1，∴x=±1;

当y=4时，x2=4，∴x=±2;

∴原方程的根为：x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2。

请利用以上知识解决下列问题：

如果（m2+n2-1）（m2+n2+2）=4，那么m2+n2=_。

分析：本题主要考查的是换元法解一元二次方程的有关知识，令m2+n2=y，将（m2+n2-1）（m2+n2+2）=4变形为（y-1）（y+2）=4，然后求解即可。

解：令m2+n2=y，

则（m2+n2-1）（m2+n2+2）=4变形为（y-1）（y+2）=4，

∴y2+y-6=0，∴y2+y-2=4，∴（y+3）（y-2）=0，

解得：y=-3或y=2，∵m2+n2=y，∴y≥0，∴y=2。

∴m2+n2=2。

故答案为2。

五、整体思想在几何中的应用

例9：已知直角三角形周长为22cm，斜边为10cm，求此直角三角形的面积。

分析：如果设此直角三角形的两直角边为a和b，那么直角三角形的面积为，但是不一定非要求出a和b的具体数值，利用整体加减，只要能够求出这个整体就可以了。

解：设此直角三角形的两直角边为a和b，由题意得把①两边平方，得a2+2ab+b2=144③，

把②代入③得，ab=22，所以=11，所以此直角三角形的面积为11cm2。

例10：已知△ABC中，∠BAC=50°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，求∠BPC的度数。

分析：要求∠BPC的度数，不是说非要求出∠PBC和∠PCB得到度数，仅需求出∠PBC+∠PCB这个整体的度数就可以了。

解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC=50°，

∴∠ABC+∠ACB=130°。

∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，

∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°。

∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，

∴∠BPC=115°。

通过以上的典例，我们对整体的思想会有进一步的认识。整体思想是一种重要的数学观念，一些数学问题若拘泥于常规，则举步维艰，若能从整体上去发现问题、提出问题、思考问题、分析问题、解决问题，则常常能化繁为简、变难为易，从而柳暗花明，一举成功，顺利解题。