应用函数与方程思想，培养数学解题能力

姚红阳

【摘 要】 解题能力是学生数学能力的重要组成部分，是学生综合素养的体现。在初中数学教学中，教师应以培养学生解题能力为切入点，不断激活学生的学习热情，提升学生的数学学习水平。笔者在教学中，注重渗透数学思想方法，既为学生系统学习数学理清了脉络，更发展了学生的数学能力。本文就初中数学教学中应用函数与方程思想，培养数学解题能力谈谈粗浅的认识。

【关键词】 初中数学;函数与方程思想;解题能力

函数与方程思想是初中时代的重要思想，对学生的解题能力有着不可磨灭的作用。新的课程标准对教师和学生提出了更大的挑战，简单的数学知识考查已完全无法满足现在的要求。同时，掌握了这一基本的数学思想，对学生其它方面的解题也有很大的作用。本文将从三个方面详细阐述如何应用函数与方程思想，培养学生的解题能力。

一、求代数式，简捷快速

根据函数与方程中的韦达定理，可以将二次方程很复杂的两个解转化成整式形式。由此，求代数式时可以反向求解，进而快速并正确解题。这就要求教师向学生展示正确用法，同时让学生及时总结，才能真正掌握。

九年级上册第22章第3节学习了实际问题与二次函数，当时大家对二次函数的图像和性质有了比较深刻的理解。为了让学生熟练应用函数与方程思想，我便出了一道综合性比较强的题，供学生思考：已知a=2-，b=2+，求（3a2-12a+4）（2b2-8b+13）的值。由于是刚学完二次函数，所以有的同学在努力根据二次函数的思想进行求解;而另一部分同学则是在硬将a和b的值代入方程式中求解。显然，如此复杂的式子，代入值计算的错误率是很高的，而且根本没有必要将其列为训练能力的重点。最后，有同学通过韦达定理快速解出了正确答案，我便让他进行了板书演示与讲解：由a+b=4，ab=1可得，a和b分别为x2-4x+1=0的2个根，那么a2-4a+1=0与b2-4b+1=0是成立的;接下来可以得出3a2-12a+4=3（a2-4a+1）+1=1以及2b2-8b+13=2（b2-4b+1）+11=11，最后（3a2-12a+4）（2b2-8b+13）=1×11=11。

事實证明，通过不断尝试与思考，学生是完全有能力将函数与方程思想应用在求解代数式中的。在这个过程中，教师一定要给予相应的指导和肯定，将用法演示给暂时没有理解的同学，同时进行变式训练，才能保证学生真正理解并应用。

二、解应用题，打开思路

不仅是计算题，函数与方程思想在应用题中也有很大的作用。通过二次函数的性质以及一元二次方程的求解，学生可以求出满足题目要求的最佳方案。这也为学生的理性化解题提供了新的思路，让学生掌握方向。

在九年级上册第22章“二次函数”的复习题中，有一道涉及两个未知条件的应用题对学生产生了一定的困扰：公司用甲、乙两个工厂同时生产960个零件;已知甲单独完成比乙单独完成多20天，每天乙比甲多生产8个;甲日加工费为800元，乙日加工费为1200元;求生产这批零件公司所付费用。表面上，题干与最终所求问题关系并不大，涉及的量也太多。但事实上，通过步步抽离，这道题的本质其实就是一元二次方程的列出与求解。从问题出发，要求公司所付费用，实际上是求甲、乙两公司共生产了多少天。根据已知条件，设甲厂每天生产x件新产品，那么乙厂每天生产（x+8）件，由甲单独完成比乙单独完成多20天可得-=20，化简后得x2+8x-384=0;求得两个解为16和-24，-24舍去，因此，结果为甲厂每天生产16个，乙厂24个，那么生产天数为960÷（16+24）=24，费用=（800+1200）×24=4800元。

很显然，解应用题的过程中，同学们总会被繁琐的条件烦扰，从而导致学生的思绪误入歧途。这时候就需要教师引导学生，从题目出发，找到突破口，最后根据已知条件设未知数、列方程并求解，就一定能找到思路。

三、图形计算，多元转换

代数与几何本就是相辅相成的。如大家所熟悉的勾股定理等，事实上很多图形最终的形状都与边角的数值是相关的。因此，在求解图形问题时，同样可以根据条件，应用函数与方程思想解题。

在九年级下册第27章，大家学习了图形的相似。由于之前已经学习过二次函数，因此我们师生都发现，很多题目中，应用函数与方程思想会比仅仅只利用相似三角形方便得多。比如：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3;D为BC边上一点，直线DE⊥BC与D，交AB与E，CF∥AB交直线DE于F;令CD=x，求当x为何值时，四边形EACF为菱形。解题前，首先根据题中已知条件DE⊥BC与∠ACB=90°可得AC∥EF;加上CF∥AB，可知四边形EACF为平行四边形。前面这一部分是很简单的条件归纳，要使得平行四边形EACF为菱形，还需满足邻边相等，即AC=CF=2。由于AC∥ED，因此△ACB∽△EDB，那么=，得ED=（3-x），DF=。最终，根据勾股定理可知CD2+DF2=CF2，即x2+（x）2=22，解之得x=。因此，最终答案为：当x为时，四边形EACF为菱形。

由此可知，如果仅凭三角形以及平行四边形自身的性质，很难将题目解决。但是如果加上函数与方程，就可以将勾股定理以及平行四边形中其他关于数值的条件很好地利用起来，实现问题的转换。

函数与方程并不是一个独立的、简单的知识点，而是可以渗透到任意范围内的数学方法与思想。因此，掌握了函数与方程思想，对学生解题能力的提升大有裨益。同时，广大师生在解题过程中还可自行总结，不断完善其用法，从而更加深刻地理解并更加熟练地应用函数与方程思想，进而得到解题能力的提升。

【参考文献】

[1]邹丽丽.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2014（22）.

[2]闵云霞.浅析函数与方程思想在解题中的应用[J].数学学习与研究，2016（22）.