贝叶斯公式的应用推广

陈晓旭

(青岛滨海学院，山东 青岛 266500)

在概率论与统计学中，与频率学派不同，贝叶斯定理是在确定某事件发生的概率时，加入了该事件历史经验先验概率，通过实践结果不断调整先前的认知。

1 贝叶斯公式

假设A1，A2，…，An为事件样本空间Ω的一个完备事件组(即一事件发生的所有可能的假设)，结果发生为事件E，则：

公式中的P(Ai)为事件发生前的先验概率，往往是主观概率，而P(Ai/E)则为加入了结果之后的后验概率，是对主观概率的一种调整。

2 实际案例分析

例1：突发性疾病诊断。

新冠肺炎患者的诊断核酸检测是目前主要参考，但不乏有患者数次检测为阴性或者检测为阳性却没有任何相关的症状表现。本例中采用贝叶斯公式，从数学角度分析核酸检测的准确率。

首先做以下假设：事件E为“核酸检测呈阳性”；事件A为“患者确诊患新冠肺炎”。99%的新冠肺炎患者能通过核酸检测确诊(这一数据是通过新闻以及相关数据通告估计)，误诊率为1%。

然而上式得出的确诊概率非常低，与直觉认为的99%确诊率貌似相悖，原因是P(A)值计算为所有人群。因此，想要提高准确度，可以将P(A)的值提高。方法有提高核酸检验条件，如出现某些临床症状(咳嗽、胸闷、发烧等症状)时再做检测，检验准确度则会大大提高。假设在有相关症状的人群中确诊率为P(A)=15%，则结果为P(A/E)=94.6%。配合胸部CT扫描，结果也会更加准确。

因此，通过在检测前对患者进行初步诊断能够有效提高核酸检验的准确度。

例2：刑事侦查决策。

在未掌握完全信息的情况下，根据有限证据对嫌疑人做犯罪概率的推断有时显得尤为重要。假设有这样一则案例，认为嫌疑人甲有大约50%的把握犯罪。审讯过程中，寻得一位现场目击证人，该证人肯定罪犯做事时为左撇子。若嫌疑人确实为左撇子，是否就可以认定其为罪犯？若不能判定，则目击证人提供的证据有多大价值？用贝叶斯定理的思路进行分析：

模型中用到的初始概率p(A)其实为相对主观的先验概率，这一先验概率的合理性也会直接影响后续的推断，因此在假定先验概率时，尽可能地客观和考虑充分信息会使得模型更具有参考性。在避免案件误判方面，贝叶斯的后验概率也能提供更客观的信息。在本例中，嫌疑人被中度怀疑的情况下，有线索表明罪犯为左撇子，若不假思索，则很容易陷入直觉误区，继而肯定此人确为罪犯。但实际的模型计算并没有100%认定这一点，可见主观概率一定是不断根据实践经验修正才能更趋向于客观。

例3：诚信度下降。

“烽火戏诸侯”的故事：从数学角度来讲，诸侯对周幽王的信任度不断下降，并且这个信任度可以量化。

第二次周幽王无故点燃烽火，这时用0.36代替原先的0.7，代入公式计算，得P(A/E)=0.12。可见诸侯对周幽王的信任已经所剩无几了。

从历史故事中挖掘很多，像韩非子著作中的“三人成虎”的故事，用贝叶斯分析魏王对谣言从疑到信的背后理论；或者伊索寓言中狼来了的故事，代入估计概率模拟村民对小男孩的信任如何降到冰点[2]。

例4：投资风险规避。

近期股市很多意外波动，很多人认为经济危机又将会出现，有的公司在投资市场有很多算法预测股市涨跌。对于投资人，如何理性应用各种理论模型避免误判则尤为重要。以美股为例，历史上大约2000个交易日出现一次股指单日下跌10%的状态。假设目前已有算法预测大跌的概率达到90%，如投资人收到算法预警明天股市大跌，则是否选择紧急抛售？

可见实际发生的概率非常低。如果每次都仅仅按照算法进行操作则大多时候是误判的。因为在历史上，结果出现的可能性极低，为小概率事件，这就造成了历史经验的欠缺。主观概率在未经实验检测的情况下准确率往往存在较大偏差。

3 小结

本研究选取了4个典型的应用案例，其中突发性疫情的诊断符合当下的社会形势，但由于精确数据的统计有很多的临床复杂性，上述新冠肺炎的数据是根据新闻估算，存在不足之处。临床研究中，可以对数据和假设做更多的调整优化。案件侦破的线索价值判断，可以结合专业领域更多的场景进行推广使用。“烽火戏诸侯”的故事是现代人社会信用的量化模型，在信贷机构或平台有一定的使用价值，也可作为教学中案例探索，潜移默化影响学生，熟悉历史典故，提高人文素养的同时，传承和发扬中华民族的诚信美德。投资误判的规避可给普通投资人一些决策参考。在投资市场中，散户常会加入一些决策群或者收到很多不可靠的内参消息。参考上述思路，在分析时加入贝叶斯定理的后验概率，要比人们凭直觉的先验概率要更加明智。虽然无法每次都得到事件背后的充分信息，但从数学角度来讲，已知的越多，就能为了解未知的东西提供更多的信息和方法支撑，这正是贝叶斯的通俗解释。