异型曲面加工机器人自适应NDO控制

张 煜，王耀南，贾 林

1.湖南大学 电气与信息工程学院，长沙410082

2.机器人视觉感知与控制技术国家工程实验室，长沙410082

1 引言

异型曲面是高端装备的核心部件，其加工质量决定了装备的工作性能，例如航空发动机叶片、舰船螺旋桨和卫浴产品等。异型曲面的加工是一件富有挑战性的作业任务，同时其作业环境恶劣，给现场的操作人员身心带来极大的影响，甚至是不可逆转的危害。工业机器人具有更多的灵活性和更高的作业精度，可以替代人工完成危险危害的工作，并且能够实现更为优良的加工质量[1]。如图1所示，是机器人视觉感知与控制技术国家工程实验室开发的异型曲面打磨机器人，包含机器人本体、控制器、打磨设备、待打磨工件以及隔离护栏等。

图1 异型曲面加工机器人

为了实现异型曲面高精度的打磨，机器人需要具有良好的动态性能、优良的稳定性和抵抗干扰的能力[2]，国内外学者对这一问题开展了大量研究。Gracia等人采用了自适应滑模控制结合跟踪控制器的力位混合控制来实现表面的抛光打磨处理，提高了鲁棒性且降低了成本[3]；Hamelin等人采用一个基于多目标遗传算法的离散时间观测器进行水下打磨，从而获得提高打磨机器人的抗干扰性[4]；Li等人提出了一种新的视觉引导机器人磨削校准的方法，在校准方程中考虑了关节参数误差和姿态参数误差，避免了复杂的跟踪过程[5]。这些打磨机器人的研究成果为本文的研究提供了思路。

在实际应用中，PD控制器由于其良好的稳定性广泛应用于各种作业现场，尤其在控制对象模型不能准确得到的场合具有巨大的作用，且其控制参数较少，相对于其他控制器拥有特有的优势。谢宏等人针对五自由度机械手运动呈现严重非线性的特征，为了得到机械手控制的精确运动轨迹，采用了一种改进的传统PID控制与遗传优化的模糊控制融合的控制算法[6]。高兴山等人针对柔性机械臂惯性参数难以精确确定及存在柔性振动的问题，提出采用PD反馈控制柔性臂的柔性振动[7]。赵晨等人针对目前Pendubot系统控制算法在系统高阶非线性项存在的鲁棒性问题，提出了一种基于非建模动态补偿的PD平衡控制算法[8]。

然而，以上有关机械臂控制器的研究中，均忽略了对于关节内部摩擦力的分析，使得系统在实际应用中会存在一定的误差。摩擦力是两接触面之间切向方向的反作用力，其大小与很多因素有关，具有很强的非线性。在打磨系统中，从机械臂静止不动到开始加速运动，摩擦力的变化经历了静摩擦、边界润滑、部分流体润滑、全流体润滑四个阶段[9]，因此需要通过摩擦建模来消除摩擦的影响。在现有的摩擦模型中，存在LuGre模型、Dhal模型、Bliman-Sorine模型、Bristle模型、Armstrong模型、Karnopp模型等。Leuven等人使用GMS模型来确保摩擦现象的再现能力更加准确，特别是预滑动区域，解决了LuGre等模型存在的漂移现象。当存在摩擦特性时，传统的PD控制器难以满足异型曲面高精度加工的要求。本文结合打磨作业的实际特点，选择库仑-粘性摩擦模型[10]。在实际系统中，由于摩擦特性复杂多变，难以通过检测设备直接测得，因此本文基于相关研究成果，设计了非线性干扰观测器对摩擦动态进行实时观测，并在控制器内部对摩擦导致的非线性进行实时补偿[11]，从而实现对异型曲面打磨机器人关节内部摩擦的补偿[12]，提高控制系统的性能，为机器人完成异型曲面高精度打磨作业提供保障。

2 数学模型及基本理论介绍

2.1 机械臂动力学模型

本研究采用的机器人为高精度工业机械臂，以第一关节和第二关节为研究对象，采用MATLAB/Simulink模块对机械臂控制结构进行建模。

对于关节一和关节二的双关节机械手，其动态方程可以表示为：

其中，q∈R2，̇∈R2和̈∈R2分别代表角度、角速度、角加速度矢量，M(q)∈Rn×n为惯性矩阵，C( q,̇)∈Rn×n为科氏力和离心力矩阵，G(q)∈Rn×1为关节自身所受到的重力矢量，τ∈Rn×1为作用于关节上的控制力矩矢量，d∈R2为外界干扰[13]。

在式（1）中，d在不同的智能化工业应用中具有不同的意义。例如，它可以是摩擦补偿、反作用力矩等。一般来说，这些d被统一归为干扰。本研究的目的是设计一个观测器，使观测器产生的估计d能够以指数方式接近实际的干扰d，且在任何q(t),̇(t)下，t∈[t0,∞]时都适用[14]。

2.2 关节摩擦力矩建模

在异型曲面加工的工业生产实际过程中，摩擦是一个不可避免且复杂多变的存在，具有很强的非线性，因此在不依赖高控制增益的情况下，需要对摩擦进行充分地建模和补偿，以改善瞬时性能并且减少稳态跟踪误差。为了更好地建立模型，通常依据具体的物理特性来确立非线性数学模型，从而得到接近实际应用的摩擦模型[15]。然而摩擦模型复杂且需要大量的识别工作，由于实验条件、精度以及复杂程度的限制，使得基于摩擦模型的控制方案在设计中难以实现，建立的摩擦模型并不能很好地反映实际的摩擦现象，因此本文采用模型简单且适用范围较广的库伦-粘性摩擦模型（如图2），其表达式为[16]：

在式（2）中，f代表接触面的相对速度，k代表粘性摩擦因素，z代表库仑摩擦因数，sgn(q)代表符号函数。

图2 库仑-粘性摩擦模型

从而可以得到两关节处的摩擦力矩为：

在式（3）中，r代表摩擦处的半径。

3 控制器的设计及稳定性证明

3.1 PD控制器

由于实际操作中关节内部摩擦力的存在，机器人关节位置受到的力会发生变化[17]，那么机器人的末端位置精度会发生变化。因此需要在线对误差进行补偿，最简明的方法就是当机器人关节受到摩擦力影响时，直接将摩擦力数值传递给控制器进行补偿，从而抑制摩擦力的影响，然而由于采集数据等一系列过程存在时间延迟，使机器人不能精确地跟踪，为了改进这一滞后性，可以在系统中加入适当的算法。

本文中，采用PD算法来减小误差，高精度工业机器人第一关节和第二关节的PD控制器为：

在PD控制器中，其比例环节Kp能使系统的响应速度加快，微分环节Kd能够增大系统的阻尼抑制超调量，给系统一个早期的修正信号，然而，如果Kp和Kd值过大则会造成系统的性能大幅降低，故根据PD参数自适应原则和操作经验得到参数设定规律，误差e、误差变化率ec与比例系数Kp和微分时间常数Kd呈非线性关系[18]。

3.2 摩擦观测器的设计及稳定性证明

对于观测器的设计，其基本思想是通过估计输出与实际输出之间的差值对估计值进行修正，如图3通过前馈补偿，有效地减小由于摩擦力影响带来的偏移。

不失一般性的，式（1）所示打磨机器人的惯性矩阵由式（4）给出[19]：

其中，m1,m2,m3和X是惯性参数，与机械手的质量、电机与末端负载以及关节长度有关。

因为M(q)正定，故可逆，可将其写为：

则

则

（1）观测器的设计

非线性干扰观测器可设计为[20]：

其中

其中c为待设计的常数。

图3 基于干扰观测器的机器人控制算法结构

由式（8）可知：

由于

则

将式（10）与式（6）联立可得：

假设1[21]一般来说，在没有有关干扰d的先验知识时，可以合理地假设干扰的变化相对于观测器的动态特性是足够平缓的，即

定理1[22]对于式（1）和式（4）所示的系统，设计干扰观测器为式（7），则系统是全局渐进稳定的，收敛速度取决于c。

（2）稳定性证明

定义观测误差为：

联立式（7）、式（11）、式（12）可得观测器的误差微分方程：

由式（7）、式（8）和式（13）得到：

将式（2）和式（7）、式（8）代入式（14）可知观测误差方程为：

设计李雅普诺夫函数为：

则由式（6）、式（10）和式（15）可得：

为了保证在平衡点e=0的全局渐进稳定，要求式（17）中矩阵的各阶主子式大于零，则对于所有的e,q,满足

通过计算可得式（18）中的矩阵对任意θ的最小特征值为：

由式（17）可得出：令λ2为矩阵Mˉ()

q对于任意q的最大特征值，可以

推出：

故

把式（19）的两边分别求定积分，得到：

由式（21）可以看出，其收敛速度取决于λ1/λ2，且对于一个特定的机械臂而言，能够得到的λ2是固定不变的，因此，只要选择适当的参数c，就可以使其达到期望的指数收敛速度。因此定理1可得。

4 仿真及实验分析

为了验证所设计方法的有效性，本章以曲面加工机器人为控制对象，基于文中的假设对其进行简化，在MATLAB/Simulink模块上进行仿真验证。

4.1 模型参数

步骤1考虑到摩擦以及外部扰动，机械臂的数学模型为式（1）所描述，下式列出：

其中系统的参数为：

代入数据得：

步骤2利用MATLAB/Simulink模块分别建立高精度工业机器人第一关节和第二关节的PD控制器为u=Kpe+Kdė，建立改进观测器模块的主程序，根据控制经验知识设置PD参数KpKd分别为22和6.2。

步骤3考虑库仑-粘性摩擦模型的摩擦参数，根据控制经验以及调试结果，第一关节的摩擦参数取z1=2，k1=0.45，第二关节的摩擦参数取z2=2，k2=0.45。

步骤4由于该观测器无需加速度信号，且可以求得：

故取c=1.6，以保证达到指数收敛速度。

步骤5为了考虑实验因素的准确性，设定对比实验。

当Gain=1时，加入观测器的摩擦补偿项：

步骤6设定关节1和关节2的理想轨迹分别为qd1=qd2=sin( )

0.2 πt，并将其作为系统输入状态变量，定义系统的输出状态变量为关节的位置，同时给出两关节的摩擦特性观测结果，考虑非线性关节摩擦的作用，分析两组实验在非线性力作用下的控制精度和稳定性。

4.2 对摩擦特性的观测情况

图4是关节一及关节二的摩擦观测结果，图5是关节一及关节二的摩擦观测误差结果，可以看出在忽略小部分扰动的情况下，本文所设计的观测器能够对系统的非线性摩擦特性进行正确的观测。

图4 关节摩擦观测结果图

图6 所示为关节一及关节二上的摩擦力，由此可以看出，在实际系统中，由于摩擦特性复杂多变，具有很大的非线性，难以通过检测设备直接测得，且摩擦力的变化是非常迅速的，故本实验通过建模来进行前馈补偿。

图5 关节摩擦观测误差结果图

图6 关节上的摩擦力

4.3 仿真分析

在实际应用中，机器人关节内部存在的摩擦力一直以来对机器人有着不可忽视的影响，包括且不限于系统的运动精度、低速平稳性、长期运行稳定性和可靠性等问题。由摩擦产生的跟随误差大幅降低了控制精度，减弱了信号的跟踪能力，从而导致了异型曲面加工系统的滞后性。在本仿真实验中，摩擦力是变化迅速且不连续的，这对于观测器是一个很大的挑战。

接下来将通过两组对比仿真实验验证本文提出的含有非线性干扰观测器补偿的PD控制器的有效性。

（1）对基于NDO补偿的自适应控制器和没有非线性补偿的PD控制器进行对比

图7是关节一和关节二在非线性关节摩擦作用下采用PD控制器，且未采用摩擦补偿时的位置跟踪特性曲线，图8所示为非线性关节摩擦作用下采用摩擦补偿时的位置跟踪特性曲线，图9为两组对比实验的位置跟踪误差特性曲线。为量化对比两种方案的控制效果，将绝对误差积分（Integral Absolute Error，IAE）和最大绝对误差（Maximum Error Integral，MAE）用于评估摩擦力补偿控制性能，其结果如表1所示，定义如下[23]：

图7 未采用摩擦补偿时关节的位置跟踪

图8 采用摩擦补偿时关节的位置跟踪

图9 关节的位置跟踪误差对比图

表1 IAE、MAE对比值

对比可以看出，对于传统PD控制器，在未采用摩擦补偿时，其实际位置跟踪发生一定程度的偏移，产生了跟随误差，降低了控制精度，然而采用摩擦补偿，其位置跟踪特性的误差产生了大幅减少。

对于考虑非线性关节摩擦后的PD控制器，采用摩擦补偿时，系统的实际位置跟踪与期望轨迹保持了较好的一致性，大大提高了稳定跟踪能力，表现出了优异的跟踪性能，它成功地估算了在线摩擦力，关节摩擦产生的动态影响得到了有效的补偿，从而保证了系统的控制精度。

（2）对基于NDO补偿的自适应控制器和其他观测器方案进行对比

近阶段已经有很多在摩擦补偿方面的研究，最普遍的方案是设计非线性干扰观测器对摩擦动态进行实时观测，并在控制器内部对摩擦导致的非线性进行实时补偿，为了对比验证本文所设计的改进非线性干扰观测器（NDO）的有效性，将本方案和另外两种控制方法的效果进行了对比，分别是降阶扩展状态观测器（ESO）[24]和模型预测状态观测器（MPC）[25]，三种控制方法的控制律分别采用式（22）、式（23）、式（24）。

其中，τf是摩擦力矩的向量，f0是摩擦力矩零移，f1是库仑摩擦系数，f2是黏性摩擦系数，f3、f4是服务于实验数据拟合的经验系数。

其控制方法的观测器设计如表2所示，仿真参数如表3所示，其仿真结果如图10和11所示，其量化对比结果如表4所示。

表2 观测器设计以及比较

表3 ESO、MPC部分仿真参数

图10 采用摩擦补偿时关节位置跟踪的多方案收敛时间对比图

图11 采用摩擦补偿时关节位置跟踪误差的多方案对比图

由上述数据以及仿真图可以看出ESO由于不借助任何明显的摩擦模型，其可以用来补偿不同的摩擦效应，控制效果略优于NDO和MPC，鲁棒性强，然而机械臂启动时存在较大扰动时间，其收敛速度有所影响，MPC能够在一定程度上提高轨迹跟踪收敛速度，然而其鲁棒性较差，且NDO能够在保证一定鲁棒性的情况下，保持较快的收敛速度。综合分析收敛时间和稳态误差，NDO最优。

表4 IAE、MAE对比值

4.4 实验分析

本文基于图1所示的异型曲面打磨机器人机器控制系统开展控制方法验证性实验，实验结果分析如下。

图12是实验平台两关节摩擦观测结果，可以看出实际的运行过程中，忽略小部分扰动的情况下，能够对系统的扰动进行正确的观测。

图13是实验平台关节一和关节二在非线性关节摩擦作用下采用PD控制器，且未采用摩擦补偿时的位置跟踪特性曲线，图14所示为实验平台在非线性关节摩擦作用下采用摩擦补偿时的位置跟踪特性曲线，由实验结果可以看出，对于传统PD控制器，在未采用摩擦补偿时，其实际位置跟踪有一定程度的偏移，从而产生了跟随误差，降低了实际的控制精度。

图15为实验平台在非线性关节摩擦作用下两组关节位置跟踪误差的对比图。

图12 关节摩擦观测结果图

图13 未采用摩擦补偿时关节的位置跟踪

图14 采用摩擦补偿时关节的位置跟踪

图15 关节的位置跟踪误差对比图

由图15可以得出通过采用摩擦补偿，其位置跟踪特性的误差产生了大幅减少，控制精度提高了30%以上。系统的实际位置跟踪与期望轨迹保持了较好的一致性，大大提高了稳定跟踪能力，表现出了优异的跟踪性能，实验成功地验证了非线性干扰观测器的实用性。

5 结语

本文介绍了一种改进的非线性干扰观测器在异型曲面加工机器人控制系统中的应用，首先采用MATLAB/Simulink软件仿真构建高精度工业机械臂的控制模块，并应用李雅普诺夫函数稳定性理论验证了收敛条件是成立的，通过设定参数c可以达到期望的指数收敛速度，保证了系统的稳定性。之后在异型曲面加工机器人的实验平台进行了可行性验证。该观测器在仿真模拟实验以及实际实验中表明，即使对于非线性的时变摩擦信号，也能实现良好的跟踪能力。前馈补偿估计的关节内部摩擦力，对比实验表明，在不加入观测器的PD控制器的作用下，其实际轨迹较期望轨迹有一定程度的偏移，产生了跟随误差，降低了系统控制精度，而在加入观测器的PD控制器的作用下，系统的实际轨迹与期望轨迹保持了较好的一致性，非线性关节摩擦产生的动态影响得到了有效补偿，系统的控制精度产生了大幅提高，降低了仿真实验的跟踪误差，实验平台的控制精度提高了30%以上。由此得出观测器的加入使系统的性能以及稳态性显著提高。此外，本文提出的非线性干扰观测器也可以应用在独立的联合控制，无传感器扭矩控制和机器人故障诊断中。

实验的进一步工作可以完善异型曲面加工机器人的实验平台，将设计的控制器进行下一步改进，提高其实用性，并且改进控制器的鲁棒性，完善关节摩擦补偿控制器。