立方抛物线形渠道正常水深的显式计算

2020-06-17许晓阳李可利

中国农村水利水电 2020年6期

黄腾，许晓阳，李可利

(1.河北省水利水电第二勘测设计研究院，石家庄 050021；2.西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西杨凌 712100)

0 引言

随着施工机具和施工工艺的发展和进步，抛物线形断面渠道由于在施工、制模中更容易计算和控制[1]，以及抛物线形断面具有良好的水流条件及力学性能[2]，而得到越来越广泛的应用。例如，在城市供排水及水利水电工程中，根据输水渠道流量及地质条件，工程师常将渠道断面设计为抛物线形断面[2]，如半立方、平方、2.5次方、立方和10/3次方等。

正常水深是渠道设计和运行管理的重要水力要素，国内外学者对一些简单过水断面正常水深的分析计算进行了深入研究，取得了较为丰富的研究成果，例如半立方抛物线形断面[3,4]、平方抛物线形断面[5-7]、U形渠道[8,9]等。但就立方抛物线形断面正常水深的显式公式研究而言，相对较少，仅陈萍等[10]和张丽伟[11]通过引入二次抛物线近似积分法及优化拟合法，经逐次逼近拟合，得到显式计算公式。但这两个公式在工程适用范围内误差均较大，最大相对误差绝对值为0.611%；且公式结构较为复杂，给工程的实际应用带来不便。为此，本文基于高斯-勒让德三点格式和四点格式，建立立方抛物线形断面湿周近似算法；同时引入特征水深的概念，对正常水深基本方程进行变换，得到特征水深的隐函数方程；基于准二次函数概念和对数形式下的回归分析，以期得到两套形式简捷、计算精度高和适用范围广的显式计算公式，为工程设计部门提供参考。

1 立方抛物线形断面及其特性

1.1 立方抛物线断面形状

立方抛物线形断面如图1所示，以抛物线断面底部中心为原点，建立x-y坐标系。

图1 立方抛物线形渠道Fig.1 cubic parabola-shaped channel

则立方抛物线形断面的曲线方程为：

(1)

式中：a为立方抛物线形断面形状参数。

设水面宽度为2B，当x为水面宽度的一半(x=B)时，有y=h(h为水深，m)，此时，B可用h和a表示为：

B=h1/3/a1/3

(2)

1.2 立方抛物线形断面面积和湿周

立方抛物线形断面面积为：

(3)

立方抛物线形断面湿周P可用弧长法求得，为：

(4)

式中：A为过水断面面积，m2；P为过水断面湿周，m。

1.3 立方抛物线形断面湿周的显式解

研究发现，当抛物线类断面指数n为1.1、1.2、1.25、1.5和2.0时，抛物线类断面湿周均有解析解[12]，而指数n=3时，式(4)无法通过常规方法完成积分，需要用数值方法求解。

本文拟选用高斯-勒让德求积公式来进行数值求解，令式(4)中x为：

(5)

式中：t为变量。

将式(5)带入式(4)，式(4)可转化为：

(6)

式(6)可用高斯-勒让德三点求积格式表示为[13,14]：

(7)

同理，式(6)用高斯-勒让德四点求积格式表示为：

(8)

为分析比较三点格式和四点格式计算立方抛物线形断面湿周的精度，以a=0.3为例，取h[1.0,3.5][13]。将a=0.3和h值带入式(2)求得B值，然后带入式(4)，用MATLAB编程计算湿周的理论值Pt(见表1)。将a=0.3和B值分别带入式(7)和(8)求解高斯-勒让德三点和四点格式的湿周近似解P3和P4(见表1)，湿周近似解与理论值差值以绝对误差来描述，为简单起见，表1中仅列取部分值。

表1 基于高斯-勒让德求积公式的湿周近似解及误差分析 m

由表1可见，三点格式湿周近似解最大绝对误差值为0.009 507 m，四点格式湿周近似解最大绝对误差值为0.000 811 m。可见，四点格式湿周计算公式较三点格式计算公式具有更高精度，更接近理论值，因此，本文以下采用四点格式计算湿周。

2 立方抛物线形断面正常水深的计算公式

由《水力学》[15]知，明渠均匀流正常水深的基本方程为：

(9)

式中：n为渠道糙率；Q为过水流量，m3/s；i为渠道坡降；A为正常水深过水断面面积，m2；P为湿周，m。

将式(3)和式(8)带入式(9)，同时令：

(10)

(11)

式中：k为已知综合参数；为抛物线形断面的特征水深，即无量纲正常水深。

则式(9)可化为：

(12)

式(12)为抛物线形断面正常水深的计算公式，是关于特征水深的超越方程，不能直接求解。

3 正常水深显式计算公式

在工程设计中，为同时获得优良的水力学条件和较优的经济断面，通常要综合考虑水力最佳断面和经济最优断面这两个因素，即实用经济断面。实用经济断面既接近理论水力最佳断面又满足工程实际要求的断面，可通过适当改变水力最佳条件下的渠道宽深比来获得实用经济断面的渠道宽深比取值范围[8]。

令z=aBn-1，由文献[3,10,13,16]知，当抛物线指数n取1.5、2.0、2.5和10/3时，抛物线断面水力最佳断面的条件分别是：z=aB0.5=0.990 8、z=aB=0.973 0、z=aB1.5=0.957 7和z=aB7/3=0.940 2。容易发现，z值随着抛物线指数n的增大而减小。因此当n=3时，z=aB2的值应介于0.940 2～0.957 7之间，则水力最佳断面特征水深βm=z2=a2B4的值介于0.883 9～0.917 2之间，可近似取βm=z2=a2B4≈0.9。将最佳水力断面特征水深的范围[βm/10,30βm]=[0.09,27]作为特征水深β的取值范围，此时断面水面宽度2B与水深h的比值η=2B/h对应的取值范围为[0.38,6.67]，基本涵盖了工程常用范围。

3.1 显式计算公式一

文献[17]定义了准二次函数的概念为

y=b[f(x)]2α+c[f(x)]α+d

(13)

式中：b、c、d、为常数，且α≠0，α>0；f(x)为x的函数。

在β∈[0.09,27]范围内，以一定步长给定一组数值，带入式(12)得到k值；然后以式(13)为标准模板进行函数逼近。经分析发现，当取f(x)=xα时，函数逼近得到的显式计算公式形式简洁，计算精度较高。以残差平方和最小为目标函数，采用MATLAB进行优化拟合，得到无量纲正常水深的显式计算公式：

β=1.377k1.447 4+0.419 5k0.723 7-0.018 9

(14)

由式(14)得到值，带入式(11)可得正常水深h的值。

3.2 显式计算公式二

同样，在β∈[0.09,27]范围内，以一定步长给定一组数值，带入式(12)得到k值。通过数据分析，取β和k对数，即ln(β)和ln(k)，采用最小二乘法求解目标函数，拟合分析ln(β)和ln(k)的函数关系，发现二者具有良好的二次曲线关系，利用MATLAB进行回归分析，可得：

lnβ=0.033 01(lnk)2+1.289lnk+0.578

(15)

可令：

c=0.033 01(lnk)2+1.289lnk+0.578

(16)

则，由式(15)、(16)可得：

β=ec

(17)

由式(17)得到β值，带入式(11)可得正常水深h的值。

4 显式计算公式误差分析及比较

4.1 本文公式误差分析及比较

在工程适用范围内，即β∈[0.09,27]，当已知Q、n、a和i时，可由式(10)求得k值，将其带入式(12)可求得β真值。在进行误差分析时，在β∈[0.09,27]范围内，给定β的值，带入式(12)求得k值，然后将k值分别带入式(14)或式(17)反求特征水深β，再通过式(11)反求正常水深h。显式计算公式一、二的误差分析采用相对误差来描述，如图2和图3所示。

图2 正常水深显式公式一误差分布Fig.2 Normal depth explicit formula 1 error distribution

图3 正常水深显式公式二误差分布Fig.3 Normal depth explicit formula 2 error distribution

其中正常水深h由式(11)求得：

(18)

正常水深相对误差用下式表示：

(19)

式中：RE为相对误差；hcalculation为正常水深计算值；hture为正常水深精确值。

由图2可见，显式公式一求得的正常水深最大相对误差绝对值为0.41%；在β∈[0.45,27]时，相对误差绝对值小于0.1%，且大部分区域相对误差绝对值在0.06%以下。由图3可见，显式公式二求得的正常水深误差分布波状起伏，大多数相对误差绝对值分布于0.1%～0.36%之间，最大相对误差绝对值为0.36%。

综合分析考虑两套计算公式的精度和简捷程度而言，在对公式计算精度要求较高时，推荐使用计算公式(14)；在对公式简捷程度要求较高时，则推荐使用式(17)。

4.2 各家公式对比分析

目前立方抛物线断面正常水深计算公式研究的较少，仅有陈萍等[10]公式和张丽伟[11]公式两个，其统计情况如表2所示。为便于分析，各公式取值范围均以β=a2B4来表示。

表2 立方抛物线形断面正常水深计算公式统计表Tab.2 Cubic parabolic cross-section normal water depth formula statistics

注：当取[0.09,27]时，陈萍等[10]公式和张丽伟[11]公式最大相对误差绝对值均大于0.611%。

由表2、图2和图3可见，在工程适用范围内，即β∈[0.09,27]时，式(14)、式(17)的最大相对误差绝对值较陈萍等[10]公式和张丽伟[11]公式明显偏小，特别是式(14)，99%的区域相对误差小于0.1%，98%的区域相对误差小于0.06%；在表达形式上，本文公式(17)较为简洁，公式(14)略为复杂，但公式(14)复杂程度与陈萍等[10]公式和张丽伟[11]公式相当，而本文公式具有更高的精度，便于工程设计人员使用。