串级不稳定时滞过程的改进内模控制方法

王建鹏，张 森，刘 宁

(1.山西省自动化研究所，太原 030012；2.太原科技大学电子信息工程学院，太原 030024)

在工业过程中，有许多不稳定时滞被控过程,如工业反应器的温度控制和生化容器的液位调节，此类过程的输入和输出之间的平衡关系易受扰动影响[1]，常规的控制方法难以取得满意的控制效果，为此出现了多种先进控制策略，如改进型PID控制[2-4]、优化控制[5-6]、二自由度控制[7-9]、串级控制[10-16]等，其中串级控制结构可以快速抑制混入中间级的干扰信号,近年来得到工业过程控制领域的关注并取得了一定的研究应用成果。文献[11]提出一种Smith结构，并对参数进行解析整定，但是控制结构比较复杂，且该控制结构只有一个自由度，无法兼顾动态特性以及干扰抑制特性。针对文献[11]的不足，文献[12]设计了一种二自由度的控制结构，并通过鲁棒性分析法对参数进行了整定，但计算比较复杂不利于工程应用。文献[13]设计了一种具有三个自由度的控制结构，系统的动态特性和干扰抑制特性获得很大改善，但系统结构复杂，设计难度大，不易实现。文献[14]提出了改进的Smith结构，与文献[13]相比该方法减少了控制器的个数，同时改善系统的控制性能，不过此方法需要整定的参数较多。随着内模控制方法的优点被广泛认可，大量内模相关的控制方法被应用到稳定过程控制中。目前，许多学者已经把内模控制方法进行了更深入研究，将其应用到不稳定过程的控制中。文献[15]在内模控制原理的基础上设计内外环控制器并转换成工程上常用的PID结构，引入设定值滤波器来减小系统的超调，但该方法的干扰抑制能力稍差。针对文献[15]中的不足，文献[16]结合内模控制和H2最优控制来设计控制器，利用最大灵敏度来整定参数，系统响应速度得到提高，但是会产生超调和振荡。

为解决上述问题，本文以内模控制原理为基础，采用一种新的串级控制结构，并给出相关控制器的设计方法。其中副回路采用内模控制结构，可以抑制副回路中的干扰；主回路采用二自由度结构，避免了设定值跟随特性与干扰抑制特性的折中，使系统同时获得较快地响应速度、较强的抗干扰能力和较好的鲁棒性。由于引入内模控制方法，各控制器的设计非常方便。通过理论论证以及仿真实验，证明了本章方法的有效性和优越性。

1 串级不稳定时滞过程的内模控制结构

基于内模的串级不稳定时滞过程二自由度控制系统结构如图1所示，其中r1，y1和d1分别为主回路的输入，输出和干扰信号；r2，y2和d2分别为副回路的输入，输出和干扰信号，P2(s)为副回路被控过程，P2m(s)为副回路被控过程的模型，Q2(s)为副回路内模控制器，P1(s)为主回路被控过程，Pm(s)为总的被控对象模型，Q1(s)为主回路内模控制器，C1(s)为设定值滤波器。

图1 串级不稳定时滞过程内模控制结构Fig.1 IMC structure of cascade unstable process with time delay

图2 等效控制结构Fig.2 Equivalent control structure

图1可等效变换为图2所示结构，其中C2(s)为主回路等效控制器，该控制器与内模控制器Q1(s)关系为：

(1)

副回路的设定值跟随特性和干扰抑制特性分别为：

(2)

(3)

当副回路被控过程模型精确时，即P2(s)=P2m(s)，式(2)和(3)可化简为：

(4)

(5)

假设副回路无任何干扰，则主回路总的被控过程为：

P(s)=Q2(s)P2(s)P1(s)

(6)

由图2可得系统的输出为：

(7)

由式(7)可知，C2(s)单独控制着主回路的干扰抑制特性，C1(s)和C2(s)共同控制着主回路的设定值跟随特性。因此，在设计主回路控制器时应该先考虑C2(s)，再设计设定值滤波器C1(s).

2 控制器设计

针对工业中较常见的一种串级不稳定时滞过程进行研究，其主副回路的过程分别为：

(8)

(9)

式(8)和(9)分别为一阶不稳定时滞过程和一阶惯性时滞过程，其中K1，K2，τ1，τ2，θ1，θ2分别是主副回路的比例增益、时间常数和时滞时间。

2.1 副回路控制器设计

依据内模控制原理设计副回路控制器：

(10)

(11)

式中，λ2是滤波器时间常数。

将式(11)带入式(10)得控制器Q2(s)的表达式为：

(12)

式中，除λ2外均是已知参数，λ2的选取会影响系统的动态特性和鲁棒性。根据文献[14]，λ2的取值范围一般为0.5θ2～θ2.

2.2 主回路反馈控制器设计

将式(8)、(9)和(12)带入式(6)，得到系统主回路总的被控过程P(s)为：

(13)

式中:θ=θ1+θ2为系统总的时滞时间。

为了方便计算将上式改写为：

(14)

式中:K= -K1，τ= -τ1.

依据内模控制原理得Q1(s)为：

(15)

因为总过程P(s)中含有不稳定极点，考虑内模控制的稳定性要求，设计Q1(s)时应满足下列条件：

1)Q1(s)中没有不稳定极点；

2)Q1(s)GP(s)稳定；

3) [1-Q1(s)GP(s)]GP(s)稳定；

因为Q1(s)由式(15)计算得出，所以只要滤波器中没有不稳定极点就可保证前2个条件满足，为了满足第3个条件，低通滤波器f1(s)可选为：

(16)

式中：λ1为滤波器时间常数，通过调节λ1，可以改变系统的动态特性和鲁棒性，r一般取足够大以保证内模控制器Q1(s)的可实现性，m为P(s)中极点的个数，αi可由式(17)计算得出：

(17)

考虑到总过程模型为式(14)的形式，滤波器f1(s)选为：

(18)

则内模控制器Q1(s)为：

(19)

进一步可得C2(s)为：

(20)

考虑到上式不是经典PID控制器形式，不方便工程应用，本文采用1/1Pade近似逼近控制器中的时滞项，即e-θs=(1-0.5θs)/(1+0.5θs)，得C2(s)为：

C2(s)=

(21)

从式(21)可以看出C2(s)为PID控制器串联高阶滤波器的形式，其中PID控制器的各个参数为：

(22)

串联滤波器的分子项和分母项分别为：

1+as=1+0.5θs

(23)

(24)

因为分母中的高阶部分对系统性能影响很小，可以将其忽略，因此只需计算出参数b即可，对式(24)两边求一阶导并令s=0可得：

(25)

式中：α1和α2可以通过式(17)计算得出，其中z1，z2分别为-1/τ，-1/λ2，则得：

α1=

(26)

(27)

另外，为了进一步改善系统的设定值跟随特性，减小超调，设计设定值滤波器

(28)

式中：0≤γ≤1，可以通过在线调整该参数的值来得到期望的设定值响应速度。

3 鲁棒性分析

实际工业控制中经常会出现模型参数摄动的情况，这时就要求系统应具有一定的鲁棒性。对主回路进行鲁棒性分析，考虑参数不确定的等效主回路过程P(s)包含于集合Π，即：

(29)

式中：u(s)为模型不确定性上界。令:

(30)

式中：Δm(s)表示被控过程与其模型的失配程度，由式(29)得系统鲁棒稳定的条件为：

|Δm(s)|

(31)

系统鲁棒稳定，则主回路过程的补灵敏度函数T(s)和模型不确定性上界必须满足：

‖T(s)u(s)‖<1

(32)

由式(31)和(32)得：

‖T(s)‖

(33)

由图2得系统的补灵敏度函数为：

T(s)=Q1(s)Pm(s)

(34)

将式(14)，(16)和(34)代入式(33)得：

(35)

假设主副回路存在不确定性ΔK1、ΔK2、Δτ1、Δτ2、Δθ1、Δθ2，则：

(36)

将式(36)带入式(35)，并令s=jω，这样就得到控制系统的鲁棒稳定性约束条件为：

(37)

其中：∀ω>0.

结合式(26)、(27)、(37)可以看出，在λ2已经确定的前提下，针对过程中参数摄动情况，可以调节λ1来改变系统的鲁棒稳定性。考虑到补灵敏度函数越小系统的鲁棒性越好，即λ1较大系统的鲁棒性较好，反之λ1越小系统的鲁棒性越差。因此，在选择λ1时，需要同时考虑系统的鲁棒性和响应速度。

4 仿真研究

采用Matlab进行仿真研究来验证本文方法的有效性。考虑文献[16]的仿真实例并与其方法进行比较，选择系统的超调量δ%和ISE值作为控制性能指标，其值越小说明性能越优越。为了保证比较的公平性，先适当调整控制器参数使两种方法在标称情况下具有相同的ISE值，即两种方法具有相同的干扰抑制特性，然后分别比较系统的设定值跟随特性和参数摄动下系统的动态特性。

例1针对文献[16]中的串级不稳定时滞过程：

为了比较的公平性，文献[16]方法取其设计的参数，本文方法的控制器参数分别取为：λ1=4.786，λ2=2，γ=0.09，保证与文献[16]方法具有相同的干扰抑制特性，然后计算可得主副回路控制器、设定值滤波器的参数。控制系统的设定值输入信号为r(t)=1(t)；干扰输入信号为d1(t)=-1(t-400)，d2(t)=-1(t-200)，即在时间t=200 s和400 s时，分别加入幅值为-1的阶跃干扰信号。系统的设定值跟随响应和干扰抑制响应分别如图3和4所示，控制性能指标如表1所示。由图3、图4和表1可知，标称情况下本文方法与文献[16]方法近乎相同，但性能指标仍略优于文献方法。

图3 例1标称系统阶跃响应Fig.3 Step response of nominal system for example1

图4 例1标称系统干扰抑制响应Fig.4 Disturbance rejection response of nominal system for example1

为了进一步验证系统的鲁棒性，假设被控过程参数产生摄动，K1、K2、τ1、τ2、θ1、θ2分别增大10%，设定值输入信号为r(t)=1(t)；干扰输入信号为d1(t)=-1(t-400)，d2(t)= -1(t-200).图5和6为参数摄动后两种方法的设定值跟随响应和干扰抑制响应，性能指标见表1，仿真结果表明本文方法具有更好的鲁棒性。

表1 例1控制系统性能指标

图5 例1摄动系统阶跃响应Fig.5 Step response of perturbation system for example1

图6 例1摄动系统干扰抑制响应Fig.6 Disturbance rejection response of perturbation system for example 1

例2针对文献[16]中的串级不稳定过程：

本文方法中的参数λ1=0.973，λ2=0.6，γ=0.2以保证标称情况下与文献[16]方法具有相同的干扰抑制特性。系统的设定值输入信号为r(t)=1(t)，另外在时间t=30 s和60 s时，分别加入幅值为-1的阶跃干扰信号。图7和8分别为系统设定值跟随响应和干扰抑制响应，系统的性能指标如表2所示。

表2 例2控制系统性能指标

图7 例2标称系统阶跃响应Fig.7 Step response ofnominal system for example 2图8 例2标称系统干扰抑制响应Fig.8 Disturbance rejection response of nominal system for example 2

经过对比可以看出，本文方法可使系统更快达到设定值，且完全没有超调，在干扰输入作用下，本文方法能够更快地恢复稳定状态，表明本文方法具有较好的包含设定值跟随和干扰抑制的动态性能。为了对比鲁棒性，将系统参数K1、K2、τ1、τ2、θ1、θ2均增加10%，参数摄动后的设定值跟随响应和干扰抑制响应分别如图9和10所示，系统性能指标如表2所示。从仿真结果可以看出，当参数摄动时，本文方法可以更快达到设定值和抑制干扰，具有更好的鲁棒性。

图9 例2摄动系统阶跃响应Fig.9 Step response of perturbation system for example 2图10 例2摄动系统干扰抑制响应Fig.10 Disturbance rejection response of perturbation system for example 2

5 结论

针对常见的一种串级不稳定时滞过程，设计了改进的内模控制方法，该方法内环采用内模控制结构，对副回路的干扰起到有效抑制的作用，外环在内模控制的基础上改进了滤波器的设计，使整个系统的干扰抑制特性得到增强，同时通过设定值滤波器进一步改善系统的设定值跟随特性。理论分析以及仿真结果表明，本文提出的控制系统结构简单，控制器参数整定方便，系统具备更好的动态特性和鲁棒性。