面形误差对自由电子激光聚焦光斑影响的研究

张熙明 郭 智 孟祥雨 张祥志 金钻明 王 勇

1（上海大学 上海 200444）

2（中国科学院上海应用物理研究所 上海 201800）

3（中国科学院上海高等研究院 上海 201210）

随着科学的发展，高端的前沿研究对光源相干性、单色光亮度提出了极高的要求［1］，而同步辐射技术的发展为现代科学研究的诸多领域解决了一大批常规光源无法解决的问题。作为第四代同步辐射源的X射线自由电子激光装置（X-ray Free-electron Laser facility，FEL）有了长足的发展［2］，目前世界上已经建成了多台，包括德国FLASH和EuXFEL、美国 LCLS、意 大 利 FERMI、日 本 SACLA、韩 国Puhang、瑞士SwissFEL以及中国大连DCLS和中国上海软X射线自由电子激光等装置。在建的上海软X射线自由电子激光装置（Shanghai soft X-ray Freeelectron Laser facility，SXFEL）是中国第一台X射线自由电子激光用户装置，其最短波长可达到2 nm［3］。

自由电子激光是电子加速器产生的相对论性电子束团在波荡器中振荡产生的相干辐射。实现自由电子激光的途径有振荡型、自放大自发辐射（Self Amplified Spontaneous Emission，SASE）和高增益谐波放大（High Gain Harmonic Generation，HGHG）。活细胞成像光束线就是基于SASE的原理，即电子束在波荡器中自发辐射时各谐振模式相互竞争，在经过一个长波荡器组后，有一个模式胜出，并放大强化［4-5］。SASE自由电子激光在软X射线和极紫外区具有重要和独特的特性，比如超高亮度和峰值功率、完全的时空相干性、飞秒脉冲时间结构和波长可调谐［6-8］。因此FEL技术在不同领域具有广泛的应用前景。

自由电子激光束线中需要用高精度（面型误差、粗糙度和高度误差等）的反射、聚焦和色散光学元件以保证光束的成像质量。实际光学元件在加工过程中会存在一定的面形误差，即实际反射表面与理想平面之间的面形差异，镜子的面形和高度误差相关联，会影响相干性和波前，进而影响最终的光斑。本文使用光束追迹模型SHADOW和SRW对KB镜支线X光的传播进行追迹，分析镜子面形误差和高度误差对最终光斑产生的影响，此外还应用MOI模型计算高度误差对经过椭圆柱面镜光束的影响。

1 装置结构

上海软X射线自由电子激光光束线基于自放大自发辐射原理，波荡器的光子能量范围约是103～1 033 eV。表1列出了SASE光束线波荡器光源点的主要参数。

表1 上海软X射线SASE光束线波荡器的主要参数Table 1 Basic parameters of the undulator beamline(SASE)in the SXFEL

图1展示了活细胞成像光束线KB镜支线的装置结构。首先平面镜PM1以1.5°掠入射角度放置于距离光源点59 m的位置，并在PM1后面放置了辐射屏蔽墙。其后在距离光源点65 m处是一个与平面镜PM1平行的平面镜PM2，在其中心处刻蚀变线间距光栅，经过光栅色散的+1级光通过YAG晶体和电荷藕合器件（Charge Coupled Device，CCD）实现对FEL脉冲的在线能谱诊断。在谱仪下游为单色器和压弯镜ECM5，然后光束线分为两支：北支线为直通光模式，FEL光直接穿过单色器和压弯镜进入KB聚焦镜箱，包含平面镜PM7，椭圆柱面镜ECM8和ECM9，镜子中心距光源点分别为117.5 m、118 m和118.5 m，主要用于生物细胞成像实验站；南支线包含平面镜PM3、椭圆柱面镜ECM4、变线间距光栅和椭球聚焦镜EM6，可以实现白光和单色光切换，样品点距光源点120 m，各实验站可在两个实验端口切换。

图1 SASE光束线的光学布局Fig.1 Optical layout of the SASE beamline

对于北支线，自由电子激光由光源点发出，入射光经过PM1反射到PM2，PM2上刻蚀变线间距光栅，可以作为在线诊断谱仪，即将5%的入射光被衍射到1阶衍射曲面用于在线诊断，95%的入射光被反射到光束线中，在PM1和PM2之间辐射屏蔽器用于防止电子的韧致辐射。在直通光模式中，FEL光通过3面平面镜反射和两面椭圆柱面聚焦镜聚焦，可最大限度保持相干性和脉冲光子通量，满足样品点实验需求。在通过调节ECM5的压弯半径，可调节下游椭球镜EM6水平物距，可以实现样品点光斑水平尺寸可调。

2 面形误差

面形误差是指光学表面存在的波纹缺陷，波纹周期长度大于几个微米，造成了实际反射表面和理想平面之间的面形差异，在束线光学中通常用斜率误差（slope error）表示，包括子午斜率误差（tangential slope error）和弧矢斜率误差（sagittal slope error）［9］。X束线光学使用的反射镜由于掠入射角小，照射长度大，镜面的面形误差对聚焦光斑质量至关重要，面形误差会增大反射光束的发散角度，在光斑周围形成晕环，增大光斑尺寸，降低分辨率，弥散了聚焦光斑，降低成像质量。如图2所示，I1为掠入射光束，I2为掠反射光束，在理想条件下，I1=I2，掠入射角和掠反射角相等，即θ1=θ2；由于存在面形误差，会使得反射光束发散。反射面处起伏波纹斜率用δ表示，经过波纹反射后实际光束I3=I2+2δ，即I3＞I1，使得聚焦光斑放大，影响最终聚焦光斑［10-13］。光学表面波纹缺陷一般来源于镜子基底的加工、弯曲、自重和热变形等多种因素。

图2 镜面表面面形误差对光束的影响Fig.2 Influence of slope error of mirror surface on the beam

在同步辐射束线光学中会使用各种面形的反射镜对光束进行聚焦或者准直，再成像于狭缝或者样品上，比如球面镜、柱面镜、环面镜和椭球面镜等。以椭球面为例，椭球面是共焦椭圆绕长轴的旋转面，反射面是椭球表面一部分，图3为光束成像原理图，一束同步辐射光以掠入射角θi照在椭球面镜上，经子午和弧矢两个方向同时聚焦到像点处，光源和像斑分别位于椭球面的两个焦点。过两焦点平行于光线入射方向的椭球面镜主平面为子午面，子午面内的椭球曲率半径是子午半径Rm，垂直于子午平面为弧矢面，弧矢面内的曲率半径是弧矢半径Rs。那么镜子结构参数由光程函数得到［14］，弧矢曲率半径为：

子午曲率半径为：

式中：p、q分别为物距和像距。

图3 椭球面聚焦原理Fig.3 Diagram of focusing principle of the ellipsoid

可以采用数学方法分析面形误差对聚焦光斑的影响，把反射面分成栅网，每个栅网中的小块表面独立反射光线，分析小块反射面曲率半径的偏差对聚焦光斑的影响，那么在子午面可以表示为：

式中：i=m、s分别表示子午面和弧矢面；δRi为镜面曲率半径的误差；δFi为由于误差产生的焦斑拓宽，在实际中常取δFi/Fi的极限为10%。如果用统一标准来要求，很显然，弧矢面的误差可以放宽到1/sinθi，这个条件容易实现，而子午面上情况比较困难［15］，由于像差和面形误差的影响，光源成像会在垂直方向上明显地放大。

简单地分析一块存在面形误差的非理想实用镜子的聚焦，聚焦光斑是像差和面形误差被像距q放大以后的合成。如果忽略束斑晕环周围极细微非对称的部分，并假设在整个镜面上的面形误差呈高斯分布，用均方根Δ表示，则垂直方向上束斑尺寸可以表示为像差和面形误差的拓宽部分的卷积［16］：

式中：Sv是光源的垂直尺寸；L是镜面在子午方向的照明长度；M=q/p称为缩比，是影响光学系统面形误差的重要参数。式（5）的第一项是球差影响，第二项是第一级彗差，第三项是第三级彗差，第四项是面形误差。M=1时，垂直成像不受像差影响。随着M减小，像差和面形误差干扰变大，使聚焦光斑变大。另外对式（5）进行δF/δM=0可以求出最佳缩比，即：

同时考虑像差和面形误差的影响，根据式（6）计算选择最佳缩比M=Mopt，可使束斑面形误差干扰较小，效果最佳。

3 光束追迹

在FEL的光束线设计中，需要检测X射线经过光束线——自由电子激光SASE光束线的主要参数和装传播之后，束斑受到面形误差的影响，并可以据此优化光束线的设计。通常使用光束追迹模型来模拟分析X射线在束线中的传播，比如SHADOW模型和SRW（Synchrotron Radiation Workshop）模型。SHADOW的计算分为两部分：第一部分是对光源进行模拟，首先模拟光源的基本参数，比如光源点的形状、大小和发散角，并将光源假设是若干独立的粒子组合而成，解析模拟出粒子的位置、能量、速度方向、相位和偏振；第二部分是追迹，根据几何光学理论，计算每个粒子经过光学元件的轨迹，最后在样品处得出所有粒子的位置和分布［17］。SRW模型首先将电子束团中所有电子假设是独立的并且完全不相干，然后基于推迟势的方法在频域内计算单个电子在近场情况下的电场，以及在自由空间和经过光学元件后的电场分布，再将所有电子产生的电场进行叠加，得到传播之后的强度和互强度分布［18-19］。MOI模型基于统计光学描述部分相干光，将波前分成许多微元，建立自由空间的传播模型，模拟光束相干性随传播距离的变化［20-21］。在SASE自由电子激光束线中，SHADOW、SRW以及MOI模型可被应用于在线诊断能谱仪和KB镜的设计中。

3.1 SHADOW追迹结果

在上海光源SASE自由电子激光束线中，光源能量620 eV（2 nm）被作为追迹模拟的初始能量。假设光源为高斯光源，初始发散角为74 μrad。图4分别为平面镜PM1和椭圆柱面镜ECM8在子午弧矢方向的实际面形误差。平面镜PM1的面形误差为0.1 μrad（RMS），平面镜 PM2 和 PM7 面形误差为0.2 μrad（RMS），椭圆柱面镜ECM8和ECM9的面形误差为0.2 μrad（RMS）。

由SHADOW模型模拟出的追迹结果如图5所示，图5（a）、（b）分别为在平面镜PM2（光栅0级光）处理想情况下，和加入上述平面镜面形误差后光斑的追迹结果。由追迹光斑FWHM可见，光束在经过平面镜PM1和平面镜PM2后，光斑受到面形误差影响较小。对光斑继续进行追迹，在经过KB镜到达像点处后，由图5（c）可见，在理想情况下，光束经过聚焦到达像点的光斑大小约为2.84 μm。

图4 平面镜PM1(a,b)和椭圆柱面镜ECM8(c,d)在子午和弧矢方向的实际面形误差Fig.4 The actual slope error of plane mirror PM1(a,b)and elliptical cylinder mirror ECM8(c,d)in the meridional and sagittal directions

图5SHADOW光束追迹结果(a)平面镜PM2处理想情况，(b)平面镜PM2处加入面形误差，(c)像点处理想情况，(d)像点处加入面形误差Fig.5 Ray tracing results of SHADOW(a)On plane mirror PM2 with no slope error,(b)On plane mirror PM2 with slope error,(c)At image point with no slope error,(d)At image point with slope error

如图5（d）有误差情况下，在像点处的光斑会受到面形误差的显著影响，有明显的子午方向束斑拓展，子午方向尺寸为3.370 3 μm，拓展约0.5 μm，是理想情况光斑子午方向尺寸的约1.2倍，这是由椭圆柱面镜像差和较大的面形误差共同造成的结果。

此外，在相同条件下构造了不同面形误差进行追迹模拟以研究面形误差对光斑造成的影响，如图6所示，设定PM1的面形误差为0.1 μrad和 0.2 μrad情况下，分别改变椭圆柱面镜ECM8和ECM9面形误差为0.4 μrad、0.6 μrad 和 0.8 μrad，研究像点光斑受到的影响。

基于以上结果在图7绘制了光斑在子午和弧矢方向随椭圆柱面镜面形误差变化曲线，可见光斑在子午和弧矢方向的拓展程度随面形误差的增加约呈线性增加。椭圆柱面镜在面形误差0.8 μrad左右，光斑子午方向会拓展到5 μm以上。平面镜面形误差控制在0.1～0.2 μrad以内，同时椭圆柱面镜控制在0.4 μrad以内，就可以获得较高质量的光斑，即尺寸可以控制在4 μm以内，可以满足成像需求。

图6 PM1的面形误差为0.1 μrad，ECM8和ECM9的面形误差分别为0.4 μrad(a)、0.6 μrad(b)、0.8 μrad(c)的光斑大小；PM1的面形误差为0.2 μrad，ECM8和ECM9的面形误差分别为0.4 μrad(d)、0.6 μrad(e)、0.8 μrad(f)的光斑大小Fig.6 The light spot size when the slope error of PM1 is 0.1 μrad and the slope error of ECM8 and ECM9 is 0.4 μrad(a),0.6 μrad(b),0.8 μrad(c)respectively;the light spot size when the slope error of PM1 is 0.2 μrad and the slope error of ECM8 and ECM9 is 0.4 μrad(d),0.6 μrad(e),0.8 μrad(f)respectively

图7 光斑子午和弧矢方向的尺寸随椭圆柱面形误差的变化Fig.7 Variations of light spot size(in term of FWHM)in the meridional and sagittal directions with slope error of ECM8 and ECM9

3.2 SRW追迹结果

镜子的面型和高度误差相关联，会影响相干性和波前，研究椭圆柱面镜ECM8、ECM9受到高度误差的影响。假设镜子面型误差为0.1 μrad（RMS），那么高度误差为3 nm（RMS），通过MOI模型计算，此时椭圆柱面镜ECM8和ECM9光强、相干性和相位如图8所示。

在ECM8处光斑半高宽为1.28 μm（RMS），相干长度为0.61 μm（RMS），平面波波前（相位分布）为2.8 μm；在ECM9处光斑半高宽为0.95 μm（RMS），相干长度为0.45 μm（RMS），平面波波前（相位分布）为2.2 μm。经过椭圆柱面镜的光斑空间相干度分布大概在70%左右。聚焦光斑4 μm、波前2 μm和相干度70%的情况下可以满足生物成像实验站活细胞成像需求。

在SRW追迹中，所用的模拟光源参数与SHADOW一致，并在各个光学元件中加入2～5 nm的实际高度误差和理想情况下进行对比，如图9所示。

图8 由MOI模型计算的高度误差为3 nm时，椭圆柱面镜ECM8和ECM9的光强(a)、相干性(b)和相位(c)分布Fig.8 The intensity(a),coherence(b)and phase(c)distribution of ECM8 and ECM9 when the height error calculated by MOI model is 3 nm

图10为SRW模型追迹在像点的光斑强度和相位信息，由图10（a）为理想情况下，620 eV光源到达像点的光斑尺寸，和SHADOW模拟结果基本一致，约为2 nm，图10（b）为其相位信息。再对各光学元件加入实际高度误差进行模拟，图10（c）、（d）分别为加入2～5 nm的实际高度误差情况下，像点光斑强度和相位。可见像点光斑约2.6 μm，较不添加高度误差时拓展了约0.5 μm，同时其相位也受到了高度误差一定影响，其X、Y方向的频率图相比于理想情况对称的频谱会有不规则的起伏，如图10（d）可见。

图9 平面镜PM1(a)和椭圆柱面镜ECM8(b)的实际高度误差Fig.9 The actual height error of plane mirror PM1(a)and elliptical cylinder mirror ECM8(b)

4 分析

使用光束追迹模型SHADOW和SRW对KB镜支线X光在自由空间和光学元件的传播进行追迹，分别得到理想和加入面形误差情况下的像斑，将追迹结果进行了对比，分析光斑受到面形误差影响的程度。理想情况下，像点光斑子午方向尺寸为2.84 μm。加入实际镜子的面形误差后，面形误差对像点光斑会产生影响，像点束斑在子午方向尺寸为3.370 3 μm，拓展约0.5 μm。随后构造面形误差，研究椭圆柱面镜面形误差为 0.4 μrad、0.6 μrad 和0.8 μrad时对像点光斑的影响，光斑尺寸随面形误差增大而增加，面形误差在0.8 μrad，光斑子午方向会拓展到5 μm以上。结果表明：平面镜面形误差控制在 0.1～0.2 μrad 以内 ，同时椭圆柱面镜控制在0.4 μrad以内，光斑尺寸就可以控制在4 μm以内。再通过MOI计算对椭圆柱面镜加入高度误差后光斑的光强、相干性和相位的分布，并在SRW模型中加入2～5 nm的实际高度误差进行追迹，得到光斑聚焦尺寸拓展在0.5 μm左右，同时其相位在X、Y方向比于理想情况会有少量不规则的起伏。聚焦光斑4 μm、波前2 μm和相干度70%的情况下可以满足生物成像实验站活细胞成像需求。

图10 SRW模型追迹结果(a)像点处理想情况光斑强度信息，(b)像点处理想情况光斑相位信息，(c)加入高度误差光斑强度信息，(d)加入高度误差光斑相位信息Fig.10 Ray tracing results of SHADOW(a)The intensity information of light spot at image point with no height error,(b)The phase information of light spot at image point with no height error,(c)The intensity information of light spot at image point with height error,(d)The phase information of light spot at image point with height error

5 结语

本文介绍了上海光源在建的活细胞成像光束线——自由电子激光SASE光束线的主要参数和束线结构。分析了实际光学元件面形误差影响光束的原理以及像差和面形误差造成的束斑拓展。利用追迹模型研究面形误差对光斑的影响。平面镜面形误差控制在0.1～0.2 μrad以内，同时椭圆柱面镜控制在0.4 μrad以内，同时高度误差控制在3 nm左右，就可以得到较高质量的光斑。