关于受到随机扰动影响的带有时滞的捕食模型的稳定性分析

摘 要：本文的主要目的是研究捕食者-食饵系统Lotka-Volterra模型解的稳定性。通过构造适当的李雅普诺夫泛函，利用积分公式，得到了平衡点的许多稳定性条件。本文所提到的这种方法已经用来研究SIR流行病模型的稳定性，其实将这种方法应用于一个新的模型也是我们本篇文章的一个特点及难点所在。因此，我们利用该方法在研究Lotka- Volterra模型的渐近均方稳定性上得到一个新的条件。最后，我们举了两个例子来验证我们的理论性成果。

关键词：捕食者-猎物模型;李雅普诺夫泛函;积分公式;时滞;随机扰动

1.引言

?捕食者-捕食模型，这是最著名的生物数学模型之一。特别是近年来，它得到了广泛的研究和应用。通过对模型的研究，我们可以充分了解生态系统的稳态问题。因此，我们研究了该模型在白噪声类型随机扰动下与带有时滞的平衡点的稳定性问题。事实上，捕食者-食饵模型近年来得到了广泛的研究，为了更好地理解，我们找到许多关于这一主题的文章，比如[1]主要研究了白噪声下某些捕食模型的振荡现象，[2]研究了带有接种疫苗的确定性SIS流行病模型的稳定性，文献[3]深究接种疫苗型随机SIS流行病模型。[4]和[5]得出了扩散捕食者-食饵模型具有延迟的稳定性，研究了Lotka-Volterra模型的稳定性，并在[6，7]中证明了Hopf分岔的存在条件。事实上，Shaikhet已经在[8]中研究了捕食者-食饵系统的Lotka-Volterra模型的稳定性，但我们通过构造Lyapunov函数来发现与其条件不同的稳定性参数条件，该方法的特点是寻找合适的Lyapunov函数来处理时滞对系统的影响。

4.实例

?为了验证我们的理论结果，即系统（1.6）的渐近稳定性和系统（1.5）的依概率稳定性，我们将使用数值模拟法来验证稳定，我们主要用欧拉法对方程进行离散，然后用MATLAB进行绘图。下面有两个例子来说明我们的观点。

例1.为了证明线性系统（1.6）的零解是渐近稳定的，我们取参数值，接下来，我们用数值模拟说明稳定性。在此参数条件下

如果我们取通过计算得到0.36 < 2.8，0.64 < 10.5，满足定理3.1.也就是说此参数条件下系统（1.6）是渐近均方稳定的.但是，如果选择参数值，我们却得到4 >2.8，16>10.5，不满足定理3.1，换句话说，系统（1.6）不稳定.然后我们分别画出不同参数值下的图像，图4.1和图4.2.

从这个例子中，我们可以得出结论，当满足定理3.1的条件时，给定初始值的系统（1.6）的零解最终是渐近稳定的，如图4.1所示，不满足定理3.1的条件，系统（1.6）的零解是不稳定的，如图4.2所示。

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作者簡介：

陈杨，女，（1995-），汉，山东省济南市，硕士研究生，研究方向：生物数学，动力系统