线性方程组在实际问题中的应用*

王艳萍 李 杰

(宿州学院 数学与统计学院 安徽 宿州 234000)

引言

针对代数学中理论知识点已经有许多教材详细讲解[1-2],但教材中实际案例却少之甚少。近年来，许多学者也将代数学中的知识点应用到实际问题中去[3-4]。线性方程组是代数学中重要的知识点，针对这类知识点，本文给出具体实际案例，将理论与实际相结合，既结合了学科之间的应用，又结合了生活中常见的实际问题。

1.线性方程组在实际问题中的应用

1.1 齐次线性方程组。

例1:磷酸钠和硝酸钡溶液混合时产生磷酸钡沉淀和硝酸钠。请利用所学线性方程组知识，配平如下化学方程式Na3PO4+Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+NaNO3。

解 假设配平后化学方程式的系数分别为x1，x2,x3,x4,即

x1Na3PO4+x2Ba(NO3)2=x3Ba3(PO4)2+X4NaNO3，

由方程式的平衡，则3x1=x4,x1=2x3，x2=3x3,2x2=x4对齐次线性方程组的系数矩阵并进行初等行变换可得方程组的通解为x1=1/3x4,x2=1/2x4,x3=1/6x4。由于化学方程式的系数只能取正整数，因此取x4=6，得x1=2,x2=3,x3=1，所以平衡的化学方程式为2Na3PO4+3Ba(NO3)2=Ba3(PO4)2+6NaNO3。

1.2 非齐次线性方程组。

例2:下图是宿州市某日单位时段内四条主要干道单向车辆的流量图。请利用所学线性代数知识，解决以下问题。

(1)给出图中所有流量的满足的关系式。

(2)由于道路设施等原因，图中x1至x5的单位时段内的车流量最大不能超过500。请利用线性方程组理论，说明如何控制x1至x5中的某一个流量，使得5个路段的单位时间内流量x1至x5都不超过500。

解 交叉点的车流是平衡的，A点：x1+x2=300+500；B点：x2+x4=x3+300；C点：x4+x5=100+400；D点：x1+5=600。它们满足线性方程组，对它的增广矩阵进行初等行变换，可得方程组的通解为x1=600-x5,x2=200+x5,x3=400,x4=500-x。

要使得x1至x5都不超过500，则100≤x5≤300。