社交网络影响的不良信息扩散建模及最优控制策略

冯丽萍，韩 琦，周志刚，白增亮

（1. 山西财经大学信息学院，太原030006； 2. 忻州师范学院计算机系，山西忻州034000；3. 中北大学信息与通信工程学院，太原030051； 4. 重庆科技学院电气与信息工程学院，重庆401331）

（*通信作者电子邮箱fenglp@yeah.net）

0 引言

在网络信息时代，网络空间安全已经成为从国家、组织机构到个人全民关心的一个重大问题。网络空间安全包括网络中信息的内容安全、传播安全、管理安全等［1-2］。社交网络作为目前流行的社交平台，已经作为人们日常工作、生活、学习等活动的重要媒介。尤其是移动终端的普及，极大地提高了微信、QQ、微博等社交软件使用的时空频率与效率。与此同时，一些不良信息也会非常容易地通过社交网络快速传播，不良信息的大量传播不仅会使网络安全管理需要更大的经济投入，也会影响人们的思想价值取向，对社会安全和稳定造成极大困扰。本文即是从现实需求的角度出发，利用非线性动力学和控制学理论探究网络空间中的传播安全问题。

自从1991年Kephart等［3-4］把人类疾病流行病模型引入计算机病毒研究，非线性动力学模型在刻画网络病毒及网络不良信息传播的研究中一直发挥着重要的作用［5-7］。但是传统的传播模型大都假设影响网络中节点状态转换的参数为常数［8-10］，事实上，在实际网络管理中，这些参数是根据网络当前状态以及各个时段组织机构对网络安全投入的多少等因素变化的［11］。有少量文章考虑了这种现实情况，建立了控制策略的强度随时间变化情况下，网络中恶意软件传播控制模型［12-14］；但是，这些模型只针对同构网络中恶意软件传播情况，没有考虑社交网络特性。文献［15］研究了社交网络影响的网络病毒传播控制模型和相应的控制策略，可是，该模型假设管理员采取的控制策略强度是不变的。文献［16］基于SIR（Susceptible Infected Recovered）模型对微博信息传播规律进行了仿真分析，没有从理论分析的角度提出最优控制措施。鉴于以上情况，本文构建一个新的社交网络相关的不良信息传播模型，并基于控制理论提出控制不良信息传播的最优控制策略。

1 模型建立

本文模型建立的基本思想是:同一社交网络中节点之间会相互感染，不同社交网络中节点之间也可能会间接感染。以目前流行的微信社交网络为例，假设用户a（a=1，2，…，m）存在某个微信群i（i=1，2，…，n）中，用户b（b=1，2，…，m）存在某个微信群j（j=1，2，…，n）中，如果用户a和用户b是微信朋友关系，那么用户a发送的不良信息既可能直接感染微信群i中的所有成员，也可能通过用户b间接感染微信群j中的所有成员。社交网络中节点之间的相互联系可以通过全联通无向图1来表示，图1中无向图（a）、（b）、…、（n）分别表示不同的社交网络群，无向图中节点Cnk表示第n个社交网络中的第k（k=1，2，…，m）个节点用户，边表示节点之间会直接相互感染，当两个节点之间的边数大于1时，表示这两个节点会间接感染。

图1 用户社交网络结构Fig.1 User social network structure

根据流行病建模原理［17］，假设每个社交网络中的节点用户分为3种状态，分别为:易感染状态（Susceptible，S）、已感染状态（Infected，I）和免疫状态（Recovered，R）。处于S 状态的节点表示对应的用户缺乏安全意识，容易打开一些来源不明的信息链接；处于I 状态的节点表示对应的用户会传播不良信息或不良信息的链接；处于R 状态的节点表示对应的用户安全意识高，不会轻易打开来源不明的不安全链接。为了清晰，表1列出模型中用到的符号及其对应的物理含义。

表1 模型符号及其物理含义Tab. 1 Model symbols and their physical meanings

根据以上描述，建立相应的微分方程动力学模型，用式（1）表示:

其中:φ(t)的值会随着社交网络中用户的网络安全意识、管理员的信息安全管理强度以及当下网络安全形势等因素而变化。当社交网络个数n为1，φ(t)的值为常数时，模型（1）即成为文献［16］所反映的传统的不考虑社交网络相互感染情况的网络病毒传播模型。

2 最优控制策略求解

本章的目标是找到一个控制函数满足如下两个条件:1）任意一个社交网络中的已感染数达到最小值（意味着不良信息扩散的范围达到最小）；2）实施控制策略所需的投资最少。为此，式（1）中控制函数的优化问题可以用求解式（2）的最小值表示:

其中κ是调节因子。

显然，式（1）和式（2）的优化控制问题，有拉格朗日方程:

为了得到式（3）的最小值，需要求解φ(t)，为此，定义相应的哈密顿方程如式（4）:

证明 容易验证:1）式（1）的控制变量和状态变量都大于等于0；2）集合φ是闭区间上的凸集；3）式（1）右边是与状态变量相关的线性时变系统；4）L(I，φ)是关于有界区域φ的凸函数；5）存在一个常量ς＞1，和两个正数ζ1和ζ2满足L(I，φ) ≥ζ1+ζ2(|φ|)ς/2。根据文献［18］的结论，定理1得证。

式（5）需满足边界条件:λij（T）=0（j= 1，2，3），而且优化控制变量φ*（t）由式（6）给定:

证明 对式（4）各状态变量求导，并结合λij的含义，得:

定理得证。

把式（8）代入式（1），得优化系统式（9）:

3 实验仿真

为了观察微分方程（1）和（9）反映的不良信息的扩散过程，本章采用龙格-库塔（Runge-Kutta）法对微分方程（1）和优化系统（9）进行数值求解，在Matlab 2016R 环境下进行仿真验证。模型（1）和（9）中的参数分为两种类型:系统参数（Bi和μi）和状态转换参数（除系统参数之外的其余参数），其中系统参数反映社交网络中用户的流动速率，状态转换参数反映社交网络用户行为以及控制措施对不良信息扩散的影响程度。另外，系统的初始状态，即Si(0)，Ii(0)和Ri(0)对社交网络间不良信息的扩散也会产生很大影响。不失一般性，实验时假设Ii(0)和Ri(0)的取值较小。仿真实验主要是:1）比较引入控制策略和不引入控制策略两种情况，社交网络间不良信息的扩散过程；2）比较变化的控制策略和固定控制策略对不良信息扩散影响的不同；3）对比有交叉感染和没有交叉感染两种情况下不良信息扩散过程。

1）首先，比较模型引入优化控制策略和不引入控制策略时不良信息扩散的结果，也就是对式（1）和式（9）刻画的不良信息扩散过程进行数值模拟。为了比较，式（1）和式（9）中系统参数和状态转换参数的取值对应相同。考虑只有一个社交网络内部的成员相互感染的情况，即取n= 1。根据实际物理意义，参数的取值以“小时”为单位，假设社交网络中每小时新加入的成员平均为1，所以取B= 1，社交网络用户退群的用户比率比较小，假设为10-3数量级，取μS=μI=μR= 0.008，已感染节点的免疫率取α= 0.003，感染率取β= 1×10-6，另外，假设社交网络中活跃用户数为m= 50。当不引入预先控制措施时，式（1）中取φ的值为0。式（9）中φ的值是随时空变化的，其值通过迭代计算求得，其中，取κ= 10。S，I，R和λ的取值分别为:S(0)= 990，I(0)= 1，R(0)= 1，λ1=λ2=λ3= 0。仿真结果如图2所示。

图2 系统（1）和（9）的比较Fig.2 Comparison of system（1）and（9）

观察图2发现，在不良信息扩散的前期（t＜500），有控制策略和无控制策略的传播速度和规模没什么区别，当t＞500时，采取控制措施明显抑制了不良信息的扩散。出现这种现象的原因是，在不良信息扩散的前期，控制函数的φ的值一直持续为0，随着时间的推移，控制函数的取值不断增大，从而控制策略发挥作用。图2对应的控制函数φ的变化曲线如图3所示。

图2和图3表明，控制函数取值的变化对不良信息扩散的控制有显著效果，说明建立带有优化控制函数的信息扩散模型，可以有效刻画信息扩散过程，而且可以通过调节控制函数的取值随机控制信息扩散过程。这一结论揭示了，从理论上可以将自动控制理论和网络信息扩散模型融合起来，实现不良信息扩散以及控制规律的建模，从而为不良网络信息传播控制提供理论指导。另一方面，依据模拟结果，从现实管理角度来看，可以根据实际网络运行状态采取不同等级的时空控制策略。

2）当式（1）中控制策略φ的值固定，且社交网络个数n=1时，本文式（1）就是传统的SIR模型。将本文引入优化控制策略后和传统模型进行比较，取式（1）中φ=0.003，其余参数取值同图2，数值模拟式（1）和式（9），仿真结果如图4所示。

图4 固定控制策略和可变控制策略比较Fig.4 Comparison of fixed control strategy and variable control strategy

从图4 可以看出，在感染的初始阶段（大约t＜250），不管是采用固定控制策略还是可变控制策略，已感染节点数都是呈快速上升趋势，这是因为，初始阶段社交网络中大多数都是易感染节点，单位时间内转化为已感染节点的数目也多。另外，在感染期t＜500时段，采用可变的控制策略反而会导致已感染节点增长速率和规模更大，这是因为控制措施在起初比较弱的原因（见图3），随着时间的推移，控制策略逐渐增强，已感染节点数呈明显下降趋势。这表明，在实际网络安全管理中，应该结合安全态势感知系统，灵活调节控制策略，以达到安全投入最佳性能。

3）为了比较本文模型和传统模型的不同（即，考虑交叉感染和不考虑交叉感染），观察不同社交网络间交叉感染对不良信息扩散的影响程度，取系统（1）中社交网络个数为1 和2两种情况进行比较，即取n= 1 和n= 2，其余参数的取值和图2相同。比较结果如图5所示。

图5 有交叉感染和没有交叉感染的比较Fig.5 Comparison of condition with cross infection and condition without cross infection

图5 表明当出现交叉感染时，明显不良信息的扩散从速度和规模上都远远大于没有交叉感染的情况，出现这种现象的原因主要是当一个感染源可以感染多个社交网络的节点时，易感染节点数会增多，这种现象与现实中的认识是一致的。而事实上，在线社交网络是现实社交群体的映射，存在交叉感染是一定的，所以从图5 的曲线可以看出，传统不考虑交叉感染的模型（即n=1）存在对不良信息扩散规模与速度偏低估计的情形。

4 结语

考虑到在线社交网络的形成是现实社会中人们社交关系的体现，本文将社交关系网看作无向连通图，根据图论中节点间的连通性构建了社交网络中不良信息扩散模型，与已有模型的不同之处是，本文将最优控制理论引入模型中，将不良信息扩散的控制策略设置为一个变量，管理员可以根据当前网络运行状态采取不同程度的控制措施。根据最优理论证明了最优控制策略的存在性，并且求出最优控制策略的数学表达式，得到了具有最优控制策略的不良信息扩散控制模型。最后，数值仿真实验结果表明，采取优化控制策略可以有效抑制不良信息的扩散，并且在给定相应参数的情况下，得到了优化控制函数的变化曲线。实验结果表明，可以通过调整相关参数改变不同时段控制策略的强度。另外，实验模拟了社交网络间相互有信息传递和无信息传递时，信息扩散的快慢和规模。结果表明，社交网络间如果是相互连通的，也就是说信息可以互相传递，那么不良信息扩散的规模和速度都会增大。这一现象与现实反映的情况是一致的。今后将收集实际数据验证模型的效果。