插上“隐形的翅膀”，“翱翔”于三角形世界

文黄志琴

专题复习：三角形

领 衔 人：吴粉连

组稿团队：江苏省常州市金坛区初中数学吴粉连名师工作室

亲爱的同学：看见“三角形”这三个字，你的大脑里会呈现哪些图形？你想到哪些相关的内容与方法呢？梳理三角形的内容，使其条理化，或许你觉得三角形很简单。尝试先思考以下问题，联想知识，再提炼一些方法。

问题1 如图1，点P是⊙O外一点，请找到圆上一点Q，使PQ最短。

答案见图2。你能说出道理吗？跟三角形有关系吗？

如图3，在⊙O上任意取点A，连接PA、OA，根据三角形的性质“两边之和大于第三边”判断PO最小，从而得到图2 中的点Q使PQ最短。这条性质的实质是“两点之间线段最短”。三角形是以线段、角等为基础，却比线段、角更复杂些的图形。请联想三角形的边有哪些性质，三角形的角又有哪些性质。试说明“直径是最长的弦”，试回答“过圆内一点的最短（或最长）的弦是哪一条？为什么？”在图4 中尝试解答。

三角形这部分知识的应用，还是要从定义及其重要性质（边、角关系）开始，从一般到特殊。这里主要跟同学们聊聊一些隐蔽的三角形和三角形隐含的作用，特别是特殊三角形。

问题2 如图5，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为 。

同学们，你们觉得此题的突破点可能在哪里？除已知的特殊三角形外，常见的处理办法是连接CC′得到等边三角形C′BC（如图6）。把A′C拆分成两条线段后分别放在等腰三角形A′BC′和等边三角形△C′BC中求解。

三角形考查的重点是特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等。“隐形”三角形是难点，它们还可以“隐形置身”于动态问题中。把一条线段绕端点旋转任意角度，连接对应点可以得到等腰三角形。

问题3 如图7，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处，连接CE，则CE的长是 。

旋转问题中全等或相似会成对出现，通常需要寻找或构造相似（或全等）三角形，利用相似（或全等）三角形性质（数量关系）求解。这里有矩形全等，连接AG得△ABG，由对应边旋转后可得

△ABG∽△CBE。

如果旋转角度为特殊度数，可以得到更特殊的三角形。反之，看到特殊三角形应该尽可能多地联想到特殊度数。

问题4 如图8，⊙O的半径OM=1，A为⊙O上一点，点B为直径MN延长线上的点，OB=3，连接AB，把AB绕点B顺时针旋转90°得到CB。连接OC，求OC的最小值。

此题以动态的眼光来看更容易理解。如图9，“把AB绕点B顺时针旋转90°”从整体来看，所有点C的集合可以看作把所有点A的集合⊙O，绕点B顺时针旋转90°得到的⊙O′，问题转化为⊙O′外一点O到⊙O′上点的距离的最小值。以OB为直角边，点B为直角顶点，顺时针构造等腰直角△OBO′。从图中不难发现，△OBO′∽△ABC，△OAB≌△O′CB及⊙O与⊙O′全等。

请同学们思考：把“AB绕点B顺时针旋转90°得到CB”改成“以AB为直角边作等腰直角△ABC，使∠ABC=90°，A、B、C逆时针排列”，从这里的等腰直角三角形可以挖掘哪些信息呢？

我们应用整体的眼光看动点问题，用敏锐的大脑觉察特殊三角形边、角之间的关系，用灵活的思维应对特殊三角形边角关系与动态的一致性，寻找或构造特殊关系（相似或全等）的图形，实现问题的转化和解决。

变式1 如图10，以AB为直角边作等腰直角△ABC，使∠CAB=90°，A、B、C逆时针排列。连接OC，求OC的最小值。

变式2 如图11，以AB为边作等边△ABC，A、B、C逆时针排列。连接OC，求OC的最小值。

变式1 中同是等腰直角三角形，但构造不同，带来边的关系AB∶BC由1∶1变为构造两对三角形都是相似关系，把圆按放大。变式2 中三角形不同，∠ABC由90°变为60°，因等边三角形的边长相等，与问题4 一样可以构造三角形分别相似和全等，两个圆全等。

我们在解决与三角形有关的问题时，应紧扣其边与边、角与角及边与角之间的关系，用构造三角形说明一些数量关系，特别是线段的相等关系。特殊三角形的条件和特殊三角形带来的特殊数量关系是考查的重点，我们要学会联想：看见特殊三角形要想到它拥有的特殊性质，浮现内隐的边或角的关系。