两个子周期间歇控制混沌系统的投影滞后同步

郑 斌,马米花,蔡建平

（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）

Pecora 和Carroll[1]首次在电路上实现了驱动-响应两个混沌系统的同步.由于这项开创性的研究,过去20年里,学者们对混沌同步做了大量的研究[1-3].现有的许多混沌控制策略,例如线性反馈控制,自适应控制,滑膜控制等已经广泛应用于混沌同步.近年来,不连续控制方法,例如脉冲控制,事件触发控制和间歇控制,由于其低通信成本和抗噪声的优点,引起了越来越多学者的关注[3-5].由于间歇控制在实践中易于实现,因此它是一种处理同步问题的有效方法.与连续控制模式相比,文献[6-8]的结果表明,间歇控制更有效,成本更低,抗噪声更好,对参数失配具有较好的鲁棒性.

当我们实现两个或多个混沌系统同步时,经常会遇到两种时滞的情况,即系统内的时间延迟和系统之间的传输延迟.时滞会影响同步性能,甚至可能使系统不稳定.因此学者们对混沌系统或网络的滞后同步进行大量的研究,其中文献[2,5,9]是通过间歇控制来实现.

另外,投影同步是同步中的一种,它是驱动系统和响应系统的状态变量之间达到某种关系.其中,完全同步和反同步是特殊的投影同步[10].文献[11]通过自适应的间歇控制,给出了混沌系统混合投影同步的充分条件.但即使相同的驱动系统和响应系统的参数,在实际应用中也不可避免地存在参数失配,这导致难以甚至不可能实现完全同步.因此,关于准同步或类似的弱同步和实用同步的问题也很有吸引力[12-13].

文献[14-15]具有两个子周期的间歇控制应用于风力发电系统控制和一些系统切换控制,两个子周期的间歇控制是指一个完整的控制周期由两个子周期组成.显然,如果两个子周期相同,则具有两个子周期的间歇控制将会变为通常的单周期控制.目前,关于具有两个子周期的间歇控制用于同步时滞混沌系统的研究很少.因此,对这个问题的讨论具有重要的现实意义.

尝试使用两个子周期的间歇控制方法来实现具有参数失配的时滞混沌系统的投影滞后同步.基于Lyapunov稳定性理论和代数矩阵不等式,得到了一些新的同步准则.另外,讨论参数和误差范围之间的关系,以及这些参数对同步的影响.将得到的理论结果应用于具有时滞的蔡氏电路系统,数值模拟表明所提出的控制策略是可行的.

1 模型描述和间歇控制方案

考虑如下的一类混沌系统

称(1)为驱动系统,其中x是状态向量,φ(t )是初始值,A1,B1,C1和D1∈Rn×n是常数矩阵,τ表示的是时间延迟,f,g：Rn→Rn是非线性函数满足以下假设.

假设函数f (x)和g(x)满足f (0)= g(0),并且存在正定矩阵Lf,Lg∈Rn×n,对于任意的x,y ∈Rn,都有以下不等式成立：

响应系统构造为：

其中y 是状态向量, A2, B2, C2和D2∈Rn×n是常数矩阵, ψ(t )是初始值. 由于参数失配, A1≠A2, B1≠B2,C1≠C2和D1≠D2.u(t )是具有两个子时段的间歇控制,即

其中m = 0,1,…,n.K = diag(k1,k2,…,kn)表示的是控制增益,λ是投影因子,θ 是传输时滞,h1和h2是控制宽度,T = T1+ T2是控制周期,其中T1和T2可以分别代表两个不同的子周期.

定义误差变量e = y(t )- λx(t - θ ),误差系统可以从公式(1)-(3)计算：

其中ΔA = A2- A1,ΔB = B2- B1,ΔC = C2- C1和ΔD = D2- D1表示参数失配.

定义[7]如果存在ε ＞0,T0＞0,传输延迟θ,时间延迟τ 和投影因子λ,对任意的t ≥T0,任意的初始的条件φ(t )∈Ω,ψ(t )∈Ω 和t ∈[-τ,0],有‖ ‖y(t )- λx(t - θ ) ≤ε 成立,则称同步框架实现有误差界的投影滞后同步,其中Ω为系统轨迹的界.

引理1[15]对于任意给定具有适当阶数的实矩阵Σ1,Σ2,Σ3和标量s ＞0,若0 ＜Σ3=那么有下列不等式成立：

引理2[16]假设P为n阶正定矩阵,Q是对称矩阵,那么

其中x ∈Rn,λm(·)和λM(·)分别代表矩阵的最小和最大特征值.

参考文献[6]的引理5，可以得到引理3.

引理3 如果存在非负函数y(t )在t ∈[t0- τ,+∞)上满足以下的微分不等式

其中α,β,r 和c 都是正的常数,且-ρ3+ ρ4＞0,ρ = ρ1- ρ2+ ρ3- ρ4＞0,令ρ1= r(h1- τ ),ρ2= c(T1- h1),ρ3= r(h2- τ ),ρ4= c(T - T1- h2),那么可以得到以下不等式

对于任意的t ≥0都成立,其中υ =(α + β)eρ2-ρ3+ρ4- βe-ρ3+ρ4+(α + β)eρ4- β.

2 同步判据和误差界

证明选择V (t )= e(t )Te(t ),根据时间的不同,分为t ∈(mT,mT + h1]⋃(mT + T1,mT + T1+ h2]和t ∈(mT + h1,mT + T1]⋃(mT + T1+ h2,(m + 1)T ]进行讨论.

当t ∈(mT,mT + h1]⋃(mT + T1,mT + T1+ h2]时,其中m是非负整数,那么

因此,根据引理1和引理2，经过简单的计算可以得到

根据上面的计算可得到

通过以上的讨论,可以得到

当t ∈(mT + h1,mT + T1]⋃(mT + T1+ h2,(m + 1)T ]时,同样的,得到

综上所述,

因此,有以下的不等式成立

其中r1是方程-r1= -s1+ ηer1τ的唯一解.

可以得到以下的不等式

又因为

因此，在间歇控制(3)下, 混沌系统可以实现有误差界限的投影滞后同步, 误差界为证毕.

3 数值仿真

作为上述理论结果的应用，选择具有时滞的蔡氏电路系统为例进行说明.

a = 9.215 6,b = 15.994 6,c = -1.249 5,d = -0.757 35,τ = 1 和x(0)=[0.3,0.2,0.1].那么该系统是处于混沌的状态.

对应的响应系统可以写成

情形1 如果取控制周期T1= 1和T = 4,控制宽度h1= 0.9和h2= 2.7,其它的参数如下给出参数失配值l1= 0.001,传输时滞θ = 0.000 5,控制增益k = 56,投影因子λ = 0.9,初始的条件为(x1(0) ,x2(0),x3(0))=(1,0.8,0.9),(y1(0),y2(0),y2(0))=(0.5,0.6,0.2).利用这些参数,经过简单的计算,可以得到预估的误差界ε ≤0.16.如图1 所示,可以看到通过数值计算的误差界D1={e ∈Rn|‖ e ‖≤0.121 3} 会小于预估的误差界.

图1 误差曲线随时间的变化图Fig.1 Variation of error curve with time

情形2 讨论控制宽度h1和数值误差界的关系.取控制宽度h1从0.6增加到1,每次增加0.01.其它的参数给出如下,控制宽度h2= 0.96,控制增益k = 56,控制周期T1= 1,T = 2,剩余的参数和情形1相同.如图2所示,可知随着控制宽度h1的增加,数值误差界D也会增加.

图2 控制宽度h1和数值误差界D的关系图Fig.2 The relation graph between control width h1 and numeric error bound D

4 结论

两个子周期的间歇控制在控制区间内有了更灵活的选择,并实现了有参数失配的时滞混沌系统投影滞后同步.利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式推导并证明了同步判据.同时,还讨论了参数和误差之间的关系,以及这些参数对同步的影响.最后通过时滞的蔡电路作为仿真的例子验证了上述的理论结果.