“得比换比”证相似

文 李长春（特级教师）

（作者单位：江苏省东台市实验中学）

用好教材例题，充分发挥其引领作用，能给大家的学习带来积极的影响。下面老师结合苏科版教材九（下）第58页例4，与大家谈谈“证明相似形—得到相似比—换成需要比—再证相似形”的问题。

【原题再现】如图1，点D在△ABC内，点E在△ABC外，且∠1=∠2，∠3=∠4。△DBE与△ABC相似吗？为什么？

解题过程见教材。

图1

【拓展一】（2017·江苏宿迁）如图2，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上。

图2

（1）求证：△BDE∽△CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC。

【思路分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据“三角形的内角和”及“平角的定义”得∠BDE=∠CEF，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论。

证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，

∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，

∠DEF=∠B，

∴∠BDE=∠CEF，

∴△BDE∽△CEF。

（2）∵△BDE∽△CEF，。

∵点E是BC的中点，∴BE=CE，

又∵∠DEF=∠B=∠C，

∴△DEF∽△ECF，

∴∠DFE=∠CFE，

∴FE平分∠DFC。

【拓展反思】本题由“∠DEF=∠B=∠C（一线三等角）”证得“△BDE∽△CEF（相似两边找）”，在此基础上，得到相似比，再将BE换成CE，形成新的比，最后再换成两个三角形的对应边的比，结合其夹角相等，得出要证明的结论，形成“证明相似形—得到相似比—换成需要比—再证相似形”的思维链，将教材例题的功能充分发挥。另外，在证明∠BDE=∠CEF时，还可以运用外角性质，由∠CEF+∠DEF=∠CED=∠BDE+∠B，结合∠DEF=∠B，立即得到∠CEF=∠BDE。

【拓展二】（2018·江苏扬州改编）如图3，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M。

求证：（1）MP·MD=MA·ME；

（2）2CB2＝CP·CM。

图3

【思路分析】（1）通过等积式倒推可知，需要证明△MPE∽△MAD或证明△PAM∽△EDM。结合条件可知，需要证明∠PEM=∠ADM或∠APM=∠DEA。对于前者，需要证明△BAE∽△CAD（两边成比例且夹角相等）。（2）等式左边2CB2可以转化为所以问题转化为证明CA2=CP·CM。在（1）的基础上得到比：结合对顶角相等证得△PAM∽△EDM，得到∠APM=90°后，在此基础上再证明△CAP∽△CMA即可。你能根据上述思路分析写出详细解答过程吗？

【拓展反思】本题是以教材例题研究问题的思路设计的两小问，均通过证明两次相似解决问题，且第一次相似都在为第二次相似的证明做准备。我们在分析证明方法时可以逆向思考，执果索因，即利用“得比换比”证明相似。