调和映照的正规性

孙乾乾， 陈行堤， 胡春英

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

1 预备知识

Arbelaez等[3]给出正规调和映照的一个判别定理.

其中,Ik的递推公式为

设z1，z2是区域Ω内的任意两点，记l(γ)为连接z1，z2的任意可求长曲线的长度.若存在常数1≤M<+∞，使得l(γ)≤M|z1-z2|，则称Ω为M-线性连结区域[11].

2 主要结论与证明

则fuα(z)是正规的.

证明: 假设‖fuα‖n<+∞，∀z，w∈D，γ:[0，1]→D是连结z，w的双曲测地线，则有

因此，A(x)在[0，+∞)内有上界.

证明：假设f(z)是正规的.由定理A得

又由定理B得

从而有

因为g(z)∈B1，所以有

所以有如下两种情况.

1) 当|f(z)|

2) 当|f(z)|≥B1时，由引理1可得

所以有

故fu1(z)是正规的.

由g(z)∈B1当且仅当g′(z)∈B2，利用递推知g(α)(z)∈Bα+1.从而由命题1可得到如下定理.

证明：当α=1时，命题1已证.

所以有

当n=1时，由于有g(z)∈B1，所以有

结论成立.

从而存在常数Nk+1，使得

下面给出一个具体的例子.

证明：简单计算可知f(z)是正规的，且g(z)∈B1.又因为

所以fu1(z)是正规的.

但是当f(z)和fu1(z)是都是正规的时，g(z)不一定属于B1.下面给出反例.

证明：因为有

所以f(z)是正规的.

所以有

故fu1(z)是正规的.

当z取实数并趋于1时有

所以g(z)∉B1.

反例2说明g(z)∈B1不是必要的.

由g(z)单叶解析，有

从而有

因此，fu1(z)是正规的.