“一元”升至“二元”“二元”回归“一元”

浦叙德

在七年级上学期，我们学习了“第4章 一元一次方程”，由此拉开了初中代数“方程”板块的序幕。在本学期，我们又开始学习“第10章 二元一次方程组”，显然本章是一元一次方程内容的延续，当然也是后续方程知识的前奏和基础。方程是初中非常重要的代数核心知识，可以看成是独立的一个知识板块，也可以看成是数与式的运用。全面整体认识“二元一次方程组”，既有利于提高对一元一次方程的认识，又能为后续方程学习奠定扎实的基础。

一、对方程定义的再认识

含有未知数的等式叫作方程。只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），像这样的方程叫作一元一次方程。从一元一次方程的定义可以看出，方程的名称是由“元”和“次”来确定的。当“元”（也就是未知数的个数）增加，“次”不增加时，就会得到二元一次方程、三元一次方程、……、n元一次方程。显然，二元一次方程就是在一元一次方程的基础上增加了一个元，不增加次。当“次”（也就是未知数的最高次数）增加，“元”不增加时，就会得到一元二次方程、一元三次方程、……、一元n次方程，而一元二次方程就是在一元一次方程的基础上增加了次，不增加元的产物，也是后面九年级我们要研究的内容。如果给出一个二元二次方程、……、n元n次方程，通過以上的分析，你一定可以理解这是怎样的一个方程。

二、对方程解法的再认识

对于一元一次方程，我们通过“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等基本步骤，可以求出方程的解，并且我们发现，一般的一元一次方程有一个唯一的解。对于二元一次方程，我们发现，由于方程中有两个未知数，它们之间相互制约，结果一个二元一次方程有无数个解，这就预示着二元一次方程的解具有不确定性，而这不是数学和生活中希望出现的现象。为了使方程的解由无限变成有限，由有限再到唯一，于是，就把两个方程放在一起组成二元一次方程组。此时我们发现，二元一次方程组一般情况下有唯一的解。同理，数学上还会出现三元一次方程组、n 元一次方程组，感兴趣的同学可以对此进行深究。

三、对方程组消元的再认识

如果说，从一元一次方程到二元一次方程（组），是从“一元”上升到“二元”，那么二元一次方程组的“代入法”和“加减法”的消元解法，实际上就是从“二元”回归“一元”。换言之，就是把新的二元一次方程组化归到旧的一元一次方程。转化、化归，这是数学的精华，把复杂的转化为简单的，把新知识转化为已经学过的旧知识。由此可以看出，对于解三元一次方程组，可以先消去一元变成二元一次方程组，再消去一元变成一元一次方程。这样对于解方程组的问题，我们的思路就非常明确了，就是通过不断地“消元”，从三元变成二元，从二元变成一元，最后化归到最简单和最特殊的一元一次方程。那么，对于增加了次数的方程如何来解呢？聪明的你一定会想到，那就是“降次”。把高次的逐步降成低次，三次的降成二次，二次的降成一次，这样，一个一元高次方程最后也化归成最简单和最特殊的一元一次方程。

四、对方程单元的再认识

回顾已经学习过的一元一次方程这章的内容，我们分别学习了一元一次方程和解的定义、一元一次方程的解法、一元一次方程的应用三大块内容。现在再来看本章学习的轨迹就非常清晰了，首先我们学习了二元一次方程和解的定义，接着学习二元一次方程的解法，发现它的解有无数个，具有不确定性，于是我们又学习二元一次方程组和解的定义，再学习二元一次方程组的消元解法，最后学习二元一次方程组的应用。我们发现解法和应用是每一个方程单元的重点核心内容，尤其是在解方程的基础上的方程应用，是体现学以致用、数学价值的内容，必须引起我们的高度重视。

五、对方程建模的再认识

方程是解决现实世界中具有数量相等关系的生活问题的一个重要模型。一元一次方程重点解决具有一个等量关系的生活问题，二元一次方程组重点解决具有两个等量关系的生活问题，其他方程以此类推。怎样把实际问题变成方程问题呢？这就是数学中的方程建模。具体流程如下：把“实际问题”变成一个“数学问题”;把“数学问题”变成一个“方程问题”（一元一次方程或二元一次方程组）;求出“方程（组）问题的解”;检验这个解是否符合实际问题，进而得到“实际问题的解”，从而解决实际问题。建立方程模型的标志之一是实际问题中必须含有数量的相等关系。当然，如果出现的数量关系是不等关系，那就要用到我们接下来要学习的“不等式”的知识板块了。

对于方程，我国古代很早就有人研究。方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程等几种。可见，对方程的研究从古到今从未停止过。现在我们可以把方程看成是表达数量之间相等关系的“天平”，也可以把方程看成是“未知”中的“已知”。虽然我们在没有求解方程之前看到的是未知数，但事实上，这个未知数是一个早就确定的已知数。在方程板块知识中还有很多有趣、有用、有挑战性的问题，如费马大定理等，有志勇攀数学高峰的同学不妨去探究一番。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区教师发展中心）