控制变量以静制动

杨春霞

图形与几何问题一直是初中数学学习的重点和难点。在众多几何问题中，以圆为背景考查的试题则更具有综合性。当圆与三角形、四边形等图形结合时还加入了图形运动，众多同学会感觉很困难，无从下手。下面结合例题对两类动圆问题进行剖析。

一、看得见的圆在动，看不见的位置在变

例1 如图1，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）。动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动。设运动时间为t秒。

（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标。

（2）以点C为圆心、[12t]个单位长度为半径的圆，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB。

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围;

②当△PAB为等腰三角形时，求t的值。

【分析】第（1）问是为第（2）问服务的，用t表示点C、P的坐标，实际上是用含t的代数式来表示两点到坐标轴的距离。第（2）问首先要有一種“遇动会变、分类相随”的意识。这样的分类在条件中是可以捕捉到信息的，比如“当△PAB为等腰三角形时”。这种说法对等腰三角形没有指明要素关系，即不知道哪两边是腰。因而，在具有分类意识的情况下，我们对动圆状态的研究就要细致，让圆慢慢地动，寻找静的临界时刻。

【分析】第（1）问以小明的作法为基础考查菱形的证明，需要同学们先理解作法，再结合菱形的判定定理进行逻辑推理证明。第（2）问是沿着小明的思路进一步探索菱形的个数与点D的位置关系。在探索过程中，同学们首先要借助直观想象发现点E在以点D为圆心、DG为半径的动圆上，因此，菱形的个数一方面受动圆与线段AB的交点情况的制约，另一方面受AB长度的制约，考查思维的全面性。

（作者单位：江苏省南京市第二十九中学初中部）