平行四边形中的考点分析

徐聪

平行四边形是初中数学中最重要的基本图形之一，是学习和研究特殊四边形的基础。它的概念、性质和判定，是中考重点考查的内容，考查形式也丰富多样。

一、夯实基础是根本

教材中给出了平行四边形的定义和三种判定方法，都是从四边形的边、角、对角线中选取恰当的条件得到平行四边形，但也有一些组合是不能推出四边形是平行四边形的。下面以一道例题呈现。

例1 （2018·内蒙古呼和浩特）顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC=AD，③∠A=∠C，④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（）。

A.5种 B.4种 C.3种 D.1种

【分析】能够识别平行四边形的有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）;（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。满足①②的条件的四边形可以是等腰梯形，但等腰梯形不是平行四边形;同理，满足②③或②④构不成平行四边形。当选①③时，四边形ABCD为平行四边形;当选①④时，四边形ABCD为平行四边形;当选③④时，四边形ABCD为平行四边形。故有3种。故选C。

【点评】教材中的基本概念、性质与判定是学习的根本和基础，只有熟练掌握了，才能灵活运用。

二、关注平行四边形的核心要素

平行四边形作为一种特殊的四边形，在边、角和对角线方面有许多性质。近年来，利用平行四边形的性质作图的考题也很常见，能熟练运用平行四边形的性质是解题的关键。

例2 （2019·江苏无锡）我们知道，三角形具有性质：三条中線相交于一点。请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图。如图1，在[?]ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F。

【分析】研究平行四边形就是要关注其基本的要素——边、角及对角线。根据题意：已经知道了平行四边形一条边上的中点，要求另一边上的中点，自然应该联想到平行四边形的对角线的交点。若O为[?]ABCD对角线的交点，这样在△BCD中就有了BD边和CD边的中点，连接两条中线BE、CO得交点M，根据“三角形的三条中线相交于一点”可知BC边上的中线一定过点M，所以再连接DM并延长，与线段BC的交点即为所求。

解：连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点M，连接DM并延长交BC于点F，F即为所求，如图2。

【点评】平行四边形的识别、性质与应用是近年来中考的热门问题，如能正确运用平行四边形的性质、判定以及转化等数学思想，解题会变得容易上手。

三、思考问题要全面

例3 （2019·云南）在[?]ABCD中，∠A=30°，AD=4[3]，BD=4，则[?]ABCD的面积等于      。

【分析】画出符合条件的草图，不难发现，符合条件的平行四边形的边AB有两种情况。本题涉及九年级内容，同学们仅作了解即可。

解：过点D作DE⊥AB于E，∵∠A=30°，∴DE=2[3]，AE=6。在Rt△DBE中，BE=[BD2-DE2]=2，∴AB=AE+BE=8，或AB=AE-BE=4，∴平行四边形ABCD的面积为8×2[3]=16[3]或4×2[3]=8[3]。故答案为8[3]或16[3] 。

【点评】由题中给出的∠A=30°，AD=4[3]，BD=4可以看出，在△ABD中，两条边和一个角是按照“SSA”的顺序给定的，这样的三角形可能不是唯一的，△ABD存在两种可能，因此[?]ABCD也有两种情况。如图3所示，点B落在以D点为圆心、DB为半径的圆上。

四、注重知识间的联系

解：若线段AB为平行四边形的边，则OC和AB平行且相等，由点A和点B的坐标可知，将点A先向右平移1个单位长度，再向上平移两个单位长度即可得到点B，所以点O和点C之间一定也是这种平移方式。如果是点O到点C按此方式平移，可得点C1坐标为（1，2）;相反，如果是点C到点O按这种方式平移，则将点O向反方向移动即可得到点C2（-1，-2），从图4到图5所示。若线段AB为对角线，则线段OC也是平行四边形的对角线，并且具有相同的中点。从点O到点A，可知点C3的纵坐标不变，横坐标为4+3，因此点C3坐标为（7，2），如图6所示。综上所述，点C坐标为（1，2），（-1，-2），（7，2）。

【点评】利用平行四边形的性质，可以快速得到第四个点的坐标。这种方法同样适用于菱形、矩形、正方形存在性的探讨。随着日后学习的深入，当平行四边形与其他问题相结合时，越发可以显示它的“威力”。

（作者单位：江苏省无锡金桥双语实验学校）