核心素养导向下的数学阅读教学*

福建省莆田市教师进修学院 (351100) 林 伟

1.什么是数学阅读

在当今数学教学中，对于数学阅读没有严格的概念界定，但国内外专家对数学阅读的内涵做了很多研究.国外学者贝尔[1]认为数学阅读和一般阅读不大相同，数学阅读要求精确、条理、灵活和精力集中.在阅读课本时，读者必须了解每个数学术语和符号的精确含义，没有含蓄、猜测的余地.邵光华[2]认为数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，但由于数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等，数学阅读有不同于一般阅读的特殊性.辛志强[3]认为数学阅读理解能力是发挥数学潜能的重要前提，但它有自己的特殊性，数学课应该重视阅读理解教学，具体教学对策包括建构结构化的知识、适当的元认知训练等.综上，笔者认为数学阅读是指：在一般阅读中，由于阅读材料包含着数学符号、数据图表、递推关系等数学的语言，必须通过抽象概括、数据分析、推理论证等一系列数学活动才能洞悉理解的阅读.因而数学阅读教学是强化数学应用意识，拓展数学思维，培养学生数学核心素养的一个重要途径.

2.数学阅读的意义

2.1 数学阅读是践行数学文化育人的植入点

数学教学中应当创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.以数学文化为背景的数学阅读，既体现了数学与生活、科技的联系，又凸显了数学文化的美，体现了数学文化育人的价值.在数学课程新教材中常见“阅读与思考”，“探究与发现”等阅读教学的内容.

例1 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积[4]

祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县(今河北省涞源县)人，南北朝时代的伟大科字家，祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理:祖暅原理:“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是,如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等……

利用祖暅原理推导球的体积(图2.1.3)，取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可得，所得的几何体体积和半球的体积相等.

分析：通过材料的阅读让学生到领悟在数学文化中蕴含着数学的思想和方法.利用祖暅原理探究空间立体几何图形的体积，首先对概念的认识要有数形结合的数学思想，夹在两个平行平面间的几何体(图2.1.1)形象描述了概念的内容；其次对概念的理解隐含着化整为零，以直代曲的数学思想，对比一摞堆放在桌面上的纸所形成的不同几何体(图2.1.2)形象解释了概念的内涵；最后对祖暅原理的运用体现化归与转化的数学思想，构造与半球球体积相等的几何体(图2.1.3)是圆柱的中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥,所得的几何体.

图2.1.3

2.2 数学阅读是深化数学应用意识的着力点

数学是源于对现实世界的抽象，数学与人类生活和社会发展有着紧密的联系.数学的应用更是渗透到各个自然科学，融入到现代的生活和人们日常生活的各个领域.通过数学阅读能帮助学生认识科技应用，掌握现代化生活，深化学生数学应用的意识.

例2 二维码有用尽的那一天吗？

进入21世纪，智能手机和互联网技术飞速发展，让中国的支付方式迈进了移动支付时代，如今移动支付已成为市民消费的新习惯.我们越来越习惯“扫码支付”，“扫码入群”，“扫码领红包”…这些都离不开对二维码的读取，那么二维码会有用尽的一天吗？

首先我们来了解二维码的基本生成，常见的二维码是矩阵形式，通过算法中的二进制来进行信息的存储.如图2.2.1在分割的小正方形中通过黑、白像素进行编码，黑点表示二进制“1”，白点表示二进制的“0”.

图2.2.1 图2.2.2

当然一个标准合格的二维码不仅仅只有代表二进制的数据码，其中还设置了定位码、校验码、纠错码等.有的二维码还设置了特殊的多边形图案用来增强二维码的识别性能.比如笔者微信生成的一个二维码(图2.2.2)，以上面这种规格的二维码为例，里面可以涂成黑白色的格子至少有1000个.这1000个方格任意涂成黑白色的涂法总共有21000种.我们保守估计数据码只占其中的20%，这相当于是这1000个方格中只有200个格子作为数据码！那么，二维码数据码就至少相当于是200个方格任意涂成黑白色，而这种涂法总共有2200种.因此，这种规格的标准合格的二维码的数量至少是2200=160693804425899027554196209234116260252220299 3782792835301376个.假设全地球人平均每人每天生成1万个二维码，那么用尽这种规格的二维码需要至少100000000,00000000,00000000,00000000年.

分析：在日常生活的一般阅读中，往往也渗透着数学阅读.随着现代化科技发展，计算机二维码的产生原理中融入了数学二分法的思想.“二维码会有用尽的一天吗？”用数理的运算来回答这个问题，有理有据.通过文章的阅读，数理的推算也隐含着函数的性质，认识到指数函数的单调性，感受到指数函数的“爆炸式”增长.

2.3 数学阅读是融入数学高考试题的关注点

随着新课标的实施，数学高考试题更加的贴近生活实际，编入了体现弘扬数学传统文化的试题，增加了富有时代气息的数学实际应用的试题，特别是加强了对以统计素材为依托的数学应用能力的考查.这些试题提高了学生对数学阅读能力的要求，凸显了数学工具在解决实际问题中的作用.

例3 (2019年高考数学全国Ⅰ卷·理21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．

(ⅰ)证明：{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)为等比数列；

(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

分析：在2019年高考数学理科全国Ⅰ卷中，概率与统计的解答题题位后置到第21题，它充分体现了高考对数学阅读素养的考查越来越重视，对数学阅读能力的要求越来越高.本题以医学上的药物试验为背景，考查了离散型随机变量的分布列，等比数证明等知识点，考查了抽象概括，推理论证等数学能力以及数学应用的意识.学生能通过知识背景的阅读分析，抽象出变量之间的递推关系式是解决本题的关键点.

3.数学阅读教学

史宁中教授将高中数学学科核心素养归结为“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的的思维思考现实世界，会用数学的语言来表达现实世界.数学阅读正是通过对文字、符号、图表等语言的阅读来获取信息，认识世界，发展数学思维.数学的阅读教学根据阅读内容和考查性质的不同，可划分为三种类型：数学材料的阅读教学，数学概念的阅读教学，数学习题的阅读教学.

3.1 数学材料的阅读教学——懂其理得其意

数学材料的阅读内容丰富，途径多样.诸如：必修教材中的“阅读与思考”，“探究与发现”，选修教材中的“数学史选讲”，还有网络生活中涉及数学的阅读比比皆是.这些数学材料的阅读多数是通过学生自主阅读的方式进行.

数学材料的阅读教学关键是激发学生的阅读兴趣，了解数学的价值.教师可以结合课堂内容引导学生阅读的方向，布置阅读的任务，提供阅读交流的平台.数学材料的阅读教学重在引导学生懂材料中蕴含的数学知识的理，得材料中所表达的数学价值的意.如上述教材中“祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积”的阅读，教学可通过对阅读目标的设立可引导学生自主阅读.

(1)知识与技能：理解祖暅原理的内容，了解利用祖暅原理推导柱体、椎体、球体的体积，掌握柱体、椎体、球体的体积公式；

(2)过程与方法：利用数形结合的方法融合信息技术可通过几何画板作图演示祖暅原理的内容，也可以利用小组合作的形式布置制作几何体的模型，探究几何体间体积的关系；

(3)情感与价值：通过课外时间收集数学家祖冲之、祖暅的资料，了解祖暅原理形成的背景，对比南北朝时期国内外科学家的数学科技成就，并形成材料交流.

3.2 数学概念的阅读教学——知其来明其用

中学数学的教学是由概念，定理，推理，公式，法则等形成一条严谨的逻辑体系.“树无根则不稳”，数学的概念、定理、公式等内容往往具有很强的抽象性，不易掌握和学习.对数学概念的教学就需要引导学生经历概念的生成，知其来方能明其用.从概念到性质，再从性质到应用，体验数学知识的学习是自然而然水到渠成的过程.

重视数学概念生成的阅读教学.概念的生成都有丰富的现实意义和历史背景，如人教A版2019年新编普通高中教科书数学必修第一册，对函数概念的学习，首先是通过对现实的4个问题：“问题1复兴号高速列车路程和时间的关系”，“问题2电气维修公司工人工资与工作天数的关系”，“问题3北京空气质量指数和时间的关系”，“问题4居民的恩格尔系数和年份的关系”的阅读认识数学变量之间的对应关系，再通过对关系式、图形、表格的阅读、理解、分析，从而抽象出函数的概念.同时教材在本章末的“阅读与理解”中还编写了关于函数概念的阅读材料“函数概念的发展历史”，充分体现了函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要的紧密联系.

重视数学概念定义的阅读教学.数学的概念都具有高度的抽象性，叙述精炼但含义深刻，所以对数学概念的阅读教学要通过精读概念的语句，推敲关键的字眼，深挖符号的含义，才能准确的理解概念的内涵.如函数概念阅读教学中对“对于集合A中的任意一个数”，阅读要引导学生探讨“任意”的含义，并不是“一个，两个，无数个”能代替“任意”含义，“任意”则必须是集合A中每一个元素都要满足条件.

3.3 数学习题的阅读教学——晓其法解其题

高考的核心立场是为了“立德树人，服务选拔，导向教学”.以2019年高考理科Ⅰ卷为例，增加了大量的数学阅读题.如，第4题以“断臂维纳斯”图为背景，第6题以我国古代典籍《周易》为背景，第15题结合时代气息的七场四胜制篮球赛，还有如上叙述的第21题与医疗技术关联的药物检测.高考试卷中增多了数学阅读试题，体现了高考加大了对数学阅读能力的考查.我们的学生对数学阅读题的反馈是：畏惧数学阅读题，只要题目的阅读量大就不明其意，无从下手.因此要重视对数学阅读题的教学，让学生熟悉这种题型，知晓对数学阅读题的处理方法，从而顺利解题.

数学阅读习题的教学关键是培养学生数学抽象的能力，如何从题目的文字、图形、表格等语言中抽象出所需的数据和变量的关系.数学阅读习题的特点是题目的阅读量较大，对于阅读量比较大的习题，我们常根据题目的条件或求解的目标采用分解任务的方法，如上述2019年高考数学试卷理科Ⅰ卷第21题，根据求解的目标可采用分解任务的方法.

(1)求X的分布列；

任务一：X代表什么，其分布的特征是什么？

分析：X为一轮试验中甲药的得分，特征为相互独立试验.

任务二：X的可能取值是多少？

分析：根据题目信息分析，研究对象为甲药的得分，所有可能取值为-1，0，1.

任务三：对应变量取值的概率如何求？

分析：试验为相互独立的试验，可根据相互独立试验的概率公式分别求出P(X=-1)，P(X=0)，P(X=1)的值.

(2)(ⅰ)证明：{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)为等比数列.

任务一：确定pi、pi+1之间的递推关系.

分析：pi=api-1+bpi+cpi+1，由α=0.5，β=0.8及(1)中分布列求得a=0.4，b=0.5，c=0.1．

任务二：构造pi+1-pi，pi-pi-1的关系证明其为等比数列.

分析：从证明等比数列的方法入手，欲证{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)为等比数列，从等比的定义出发可得(pi+1-pi)=4(pi-pi-1).

(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

任务一：确定题意中求pi所具备的条件.

分析：由(ⅰ)可知(pi+1-pi)=4(pi-pi-1)，且p0=0，p8=1.

任务二：通过递推式的关系特点，构造求p4的方法.

数学的表象是生动的.数学的形美如画，她用1.618的黄金分割成就了蒙娜丽莎的微笑；数学的音美如歌，她是华丽音阶背后的等比数列；数学的意美如诗，她是“一去二三里，烟村四五家”的恬静淡雅.数学的本质又是严谨的，她是研究数量关系和空间形式的科学.数学阅读正是透过她的表象看数学的本质.数学阅读教学就是数学抽象，逻辑推理，直观想象,数据分析等数学核心素养的培养.重视数学的阅读教学，让数学的阅读教学走进课堂，融入生活刻不容缓.