有限差分法求解一维非稳态导热问题研究

摘 要 本文针对导热问题中的一维非稳态导热，引入一维热传导方程。利用有限差分法中的差商公式对一维热传导方程进行差分化并将差分格式矩阵化。对有限差分法做了应用举例，利用MATLAB编程求出已知定解条件的一维非稳态导热问题的数值解。最后对有限差分法的适用范围做了推广。

关键词 有限差分法;一维热传导方程;数值解

1 一维非稳态导热问题

1.1 一维热传导方程

导热、对流和辐射是热量传递的三种基本形式。其中，导热是指物体的各部分之间不发生相对位移，仅依靠分子、原子和自由电子之类的微观粒子的热运动引起的热量传递过程[1]。类似于电磁场和重力场，传热的物体中存在着温度场。物体的温度场是指物体在不同时刻各空间点处的温度分布总称。根据物体温度场的不同来划分，一维非稳态导热是指温度场空间分布为一维，同时还具有时间分布的导热方式。工程领域中诸多导热问题可以抽象成一维非稳态导热，其中涉及一个重要的模型，即长宽远大于厚度的平壁导热模型。

考虑上述平壁导热模型，其温度仅在厚度方向上有差异。设温度函数为关于平壁厚度和时间的二元函数。根据文献[1]中的推导，有如下关系方程：

（1-1）

此即为一维非稳态导热的偏微分方程，又称一维热传导方程。其中常数，被称为热扩散率，和分别为材料的导热系数、比热容和密度。

1.2 一维非稳态导热的定解条件

通过求解热传导方程，能够得到非稳态导热物体的温度场在时间和空间上的分布情况。当然，为求解热传导方程，还需要加入特定导热问题的定解条件。对于一维非稳态导热问题，定解条件分为初始条件和边界条件，初始条件为零时刻时温度在不同空间位置的分布，边界条件为物体两端边缘处温度在不同时刻的分布。

一维非稳态导热问题涉及偏微分方程的求解，往往不能得到解析解或解析解形式過于复杂，一般考虑采用有限差分法来求其数值解。有限差分法是解决偏微分问题的常用方法之一，其本质是基于差分的思想，将微分和导数用差分和差商来近似代替。由于有限差分法是将自变量和函数值离散化，因此其能与计算机软件相结合，通过计算机编程来求解结果从而减轻人工计算量。

2 有限差分法求解

2.1 有限差分法中的差商公式

为方便描述，取一元函数为研究对象。将其区间等分，得到一组离散化后的自变量点，即，定义步长为相邻两点的距离。以下利用泰勒公式推导一阶和二阶导数的差商公式：

将在处进行一阶泰勒展开，即：

（2-1）

忽略无穷小项，则在处的一阶导数可以用差商来表示：

（2-2）

此即为一阶导数的前向差商公式。同理，可将在处进行一阶泰勒展开，忽略无穷小项整理后得：

（2-3）

此即为一阶导数的后向差商公式。同理将和分别在处进行二阶泰勒展开，将展开后的两式相加，忽略无穷小项整理后得：

（2-4）

此即为二阶导数的中心差商公式。

由此，对于函数，其在各个离散点处的一阶导数和二阶导数都可以用对应的差商公式来表示。而对于偏微分方程中的一阶偏导数和二阶偏导数，仍然可以用上述一阶和二阶差商公式来表示，进而可以整理出原函数的差分格式，这也是有限差分法求解一维热传导方程的核心思想。

2.2 有限差分法的求解过程

考虑一维非稳态导热问题中的平壁模型，设关于时间和厚度的温度函数为，平壁的厚度为，导热的总时间为，平壁的导热系数、比热容和密度皆为已知常数。可建立如下数学模型：

（2-5）

其中为定解条件中的初始条件，给出了时刻温度的分布情况;为定解条件中的边界条件，给出了平壁两边界处温度随时间的分布情况。有限差分法的求解过程可分为以下3个步骤：

（1）定义域的离散化

将定义域区间和分别进行和等分，定义表示空间步长，表示时间步长，则。自变量和离散化后的点为：

（2）热传导方程的差分化

用离散化后的点来表示热传导方程，即：

（2-6）

根据二阶导数的中心差商公式，有：

（2-7）

根据一阶导数的前向差商公式，有：

（2-8）

将式（2-7）和（2-8）代入式（2-6）中整理后得：

（2-9）

令常数，同时将简写成的形式，则上式为：

（2-10）

这便是热传导方程的差分格式。上式中为防止和等超出区间边界，应将取值范围调整为：且。上述差分格式提供了温度的迭代计算方法，时间上的迭代为，空间上的迭代为。

（3）差分格式的矩阵化

将差分格式矩阵化是为了方便计算机编程求解，上述差分格式为线性表达式，改写成矩阵形式如下：

最右边向量中的表示两个边界条件。上述涉及的常量反映了时间步长与空间步长的二次方的比值，又被称为步长比。应当注意，由于上述差分化时一阶偏导采用的是前向差商公式，步长比应当满足，否则差分格式不稳定[2]。若具体问题中不能通过调整步长来满足上述稳定性条件，则可考虑采用后向差商公式对一阶偏导数做差分化处理。

2.3 已知定解条件的案例应用

用一个简单的例子来应用上述方法。将120mm厚的普通砖墙考虑成一维非稳态导热的平壁，部分性能参数参考普通砖给出，即导热系数，比热容，密度，由此可求得热扩散率。设定空间步长1mm，时间步长1s，则步长比，满足上述差分格式的稳定性条件。

定解条件从以下虚设环境中确定：考虑夏天空调房间的外墙墙壁（忽略面层），墙壁外侧温度恒为室外空气温度36℃，内侧温度恒为室内空气温度25℃，假设初始时刻墙壁内温度为25℃。

设该平壁温度分布函数为，厚度为（单位：mm），导热时间为（单位：s），结合以上条件可建立一维非稳态导热数学模型：

（2-11）

利用上述差分格式的矩阵形式，在MATLAB中编程计算，求出不同导热时间下（）的墙壁内温度场随时间空间的分布情况。为了将数值结果更直观地展示出来，绘制成三维图像如下：

3 结束语

有限差分法求解一维非稳态导热问题具有直观、易于操作的特点，且能够很好地与计算机软件相结合，既减少人工计算量，又能将计算结果通过三维图像展示出来。有限差分法同时还能解决定解条件为复杂函数的一维或多维非稳态导热问题，而对于具有多个不同热传导方程的导热问题（如多层平壁非稳态导热），也可利用有限差分法结合定解条件和衔接条件求出温度分布的数值解。

参考文献

[1] 杨世铭，陶文铨.传热学（第四版）[M].北京：高等教育出版社， 2006：19.

[2] 徐建良，汤炳书.一维热传导方程的数值解[J].淮阴师范学院学报（自然科学版），2004，3（3）：40-44.

作者简介

韩家玄（1999-），男，安徽蒙城人;华侨大学土木工程学院在读本科生。