多项式X2m-1 在环Z(2m-1)k 上的因式分解

杨建生， 孙亚南

(上海大学 理学院, 上海 200444)

迄今为止，准循环码已经发展50 多年[1-3]。1993 年，Conan等[4]在研究有限域上的准循环码时，通过多项式在有限域的分解形式给出了准循环码在有限域上的结构和性质。2001 年，Ling等[5]通过多项式在有限域上的分解形式，结合中国剩余定理研究了有限域上准循环码的代数结构，得到了准循环码的直和分解形式，并且根据离散傅里叶变换构造了准循环码的迹表达式，从而得到了一类(u+v｜u-v)结构的准循环码。2003 年，Ling等[6]又通过研究多项式在链环上的因式分解，得到了链环上的准循环码的直和分解，进而得到了一类(a+x｜b+x｜c+x)结构的准循环码。

多项式的因式分解在研究环上准循环码的结构形式中起着重要的作用。本工作主要研究了多项式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可约因式分解，并给出X2m-1 不可约因式系数之间的约束关系，以及m=4，6 时X2m-1-1 的不可约因式分解。

1 预备知识

假设m，k为正整数，2m-1 为素数；对于正整数n，设Zn={0,1,··· ,n-1}表示模n的剩余类环。

如果A是一个交换环，只存在一个极大理想M，则称A为局部环，此时商环A/M为域。

当2m-1 是素数时，剩余类环Z(2m-1)k是局部环，其中极大理想由元素2m-1 生成，商环Z(2m-1)k/(2m-1)为含有2m-1 个元素的有限域。

对于整数上一元多项式环Z[X]而言，如果p(X)∈Z[X]，且p(X)在Z[X]中只有因式c ∈Z和cp(X)，则p(X)为环Z上的不可约多项式[7]。

设q是素数，Fqn为含有qn个元素的域，则Fq是Fqn的子域，Fq同构于剩余类环Zq。对于a ∈Fqn，Fq上以a为根，首项系数为1，并且次数最低的非零多项式称为a在Fq上的极小多项式，它是Fq上不可约多项式。

若a ∈Fqn，为Fqn的一个本原元，即Fqn非零元形成的乘法循环群的生成元，那么a在Fq上的极小多项式称为a在Fq上的本原多项式。

定理1[8]设s是满足0 ≤s ＜2m-1 的正整数，则ξs在Z(2m-1)上的极小多项式为

引理1[9]设R是含有单位元的交换环。对于γ ∈R，设Dn(x,γ)是R中的n次Dickson多项式，

式中：D0(x,γ)=2。

设x1，x2∈R，则

2 Z(2m-1)k 上多项式X2m-1 的因式分解

由于k的取值不同时X2m-1 的分解性质不同，因此，当k=1 和k ＞1 时，分别采用不同的方法讨论多项式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可约因式分解。

2.1 k=1

设ξ是F(2m-1)2上的2m次本原单位根，即ξ ∈F(2m-1)2，且ξ2m= 1，ξt /= 1,1 ≤t≤2m-1。若s是满足0 ≤s ＜2m-1 的正整数，则s模2m的分圆陪集Us={s(2m-1)i(mod 2m)｜i ∈Z}。

性质1 设s是满足0 ≤s ＜2m-1 的正整数，则

并且

其中Q1,Q2,··· ,Qm-1是Z(2m-1)中两两不同的元素。

证明 由于2m-1≡-1(mod 2m)，有

通过定理1，可知

且Mξs(X)∈Z(2m-1)[X]。

设Qs=ξs+ξ-s，则Qs ∈Z(2m-1)，且Mξs(X)=X2-QsX+1。

因为Ui /=Uj(i/=j)，可得Mξi(X)/=Mξj(X)，所以有Qi /=Qj(i/=j)。

为了得到多项式X2m-1 在Z(2m-1)上的因式分解，需要讨论Qi(i=1,2,··· ,m-1)的取值计算方法。

假设Q0=2，Qm=-2。由引理1 可知，Qi=Di(Q1,1)∈Z(2m-1)(i=2,3,··· ,m)。

性质2Qi满足关系式

且

证明 当i≥2 时，有

相似地，ξ-i-1=Qiξ-1-ξi-1，则

通过引理1，可知式(2)成立。

通过性质2，可知当Q1∈Z(2m-1)是固定数时，能求出Qi(i=2,3,··· ,m-1)的值。因此，需要讨论确定Q1值的计算方法。

推论1Q1是如下方程的根，

证明 当m是偶数时，由于ξm=-1，则。于是有，即；当m是奇数时，则有

由于ξ-m=1，有ξ-m+1=-ξ,ξ-m-1=ξ-1。因此，

通过式(2)，可知m ≡0(mod 2)，

当m ≡1(mod 4)时，有

当m ≡3(mod 4)时，由于

则有，

因此，Q1是方程(3)的解。

设S是方程(3)的根的集合。对于Q1∈S，通过式(1)计算出Q2，Q3，···，Qm-1。如果存在Qi，Qj(i /=j)，使得Qi=Qj，则选择S中的其他元素再次计算Q2，Q3，···，Qm-1。重复该过程，直到得到的Q1，Q2，···，Qm-1是两两不同的元素，结束该过程，从而得到X2m-1 的不可约因式分解。

例1 当m=4 时，设

其中Qi ∈Z7(i=1,2,3)是两两不同的。

由于m ≡0(mod 2)，通过方程(3)，有

则Q1≡±3(mod 7)。

通过式(1)，得出Q2=0，Q3=∓3。因此，多项式X8-1 在Z7上的不可约因式分解为

例2 当m=6 时，设

其中Qi ∈Z11(i=1,2,3,4,5)是两两不同的。

由于m ≡0(mod 2)，通过方程(3)，有Q31-3Q1≡0(mod 11)。因此，Q1≡±5(mod 11)。

由式(1)可知，Q2=1，Q3=0，Q4=-1，Q5=∓5。因此，多项式X12-1 在Z11上的不可约多项式分解为

例3 当m=7 时，设

其中Qi ∈Z13(i=1,2,3,4,5,6)是两两不同的。

因为m ≡3(mod 4)，通过方程(3)，有

因此，Q1∈{3,5,6,11}。若Q1= 3，可得Q2=-6，Q3= 5，Q4=-5，Q5= 6，Q6=-3。

因此，多项式X14-1 在Z13上的不可约因式分解为

若Q1=11，通过式(1)可得，Q2=2，Q3=11，与Q1/=Q3矛盾。因此，Q1/=11。进一步验证可知，Q1可取3、5、6。

2.2 k ＞1

引理2[10]设k是正整数，f(X)∈Z[X]，f(X)≡g1(X)g2(X)(mod(2m-1))，则存在多项式f1(X)，f2(X)∈Z[X]，使得

并且满足

通过引理2，可知存在二元不可约多项式X2- Qk,iX+ 1(k≥2,Qk,i ∈Z)，使得fk,i(X)≡X2-QiX+1(mod(2m-1))，且多项式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可约分解为

下面，讨论当m=4 和6 时，多项式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可约因式分解。

性质3 设ak ∈Z，满足a1=3,，则X4+1 在Z7k上的不可约因式分解为

证明 首先证明ak ≡a1(mod 7)，1+2ak ≡0(mod 7)，a2k ≡2(mod 7k)。

当k=1 时，结论显然成立。

对于k-1 ≥1，假设结论成立，即ak-1≡a1(mod 7),1+2ak-1≡0(mod 7)，≡2(mod 7k-1)。现在证明对于k，结论也成立。对于k，有

因此，对于k≥1，结论成立。

下面证明命题成立。

由例1 可知，X4+1 在Z7上的不可约分解为

由上述分析可知，

且有

因此，由引理2 可得，X2+akX+1，X2-akX+1 是Z7k上的不可约多项式。所以X4+1在Z7k上的不可约分解为

由性质3，显然有下列推论。

推论2设ak ∈Z，a1=3，ak=a2k-1+ak-1-2(k≥2)，则X8-1 在Z7k上的不可约多项式分解为

性质4 设ak ∈Z，满足a1=5，ak=a2k-1+ak-1-3(k≥2)，则X4-X2+1 在Z11k上的不可约因式分解为

证明 首先证明ak ≡a1(mod 11)，1+2ak ≡0(mod 11)，

当k=1 时，显然结论成立。

对于k-1 ≥1，假设结论成立，即ak-1≡a1(mod 11)，1+2ak-1≡0(mod 11)，a2k-1≡3(mod 11k-1)。现证明对于k，结论也成立。

对于k，有

因此，对于k≥1，结论成立。

下面，证明命题成立。

由例2 可知，多项式X4-X2+1 在Z11上的不可约因式分解为

通过以上的证明，可得

并且

通过引理2 可知，X2+akX+1，X2-akX+1 是Z11k上的不可约多项式。因此，X4-X2+1在Z11k上的不可约因式分解是

由性质4，可得出如下推论。

推论3设ak ∈Z，a1=5，ak=a2k-1+ak-1-3(k≥2)，则X12-1 在Z11k上的不可约因式分解为

例4 设m=4，k=1，2，3，4，5，多项式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可约因式分解如表1 所示。

表1 X8-1 在Z7k 上的因式分解Table 1 Factorization of X8-1 over Z7k

例5 设m=6，k=1，2，3，4，5。多项式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可约因式分解如表2 所示。

表2 X12 -1 在Z11k 上的因式分解Table 2 Factorization of X12 -1 over Z11k

3 结束语

本工作主要研究了多项式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可约因式分解，分别研究了X2m-1在Z(2m-1)上和在Z(2m-1)k上不可约分解因式系数之间的关系，最后根据系数之间的关系给出了m=4 和6 时X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可约因式分解形式。