浅析基于小波包变换的时变系统振动频率参数识别

摘 要 本文以小波包变换为基础，提出一种自适应地提取非平稳振动信号瞬时频率的方法。首先提取小波包时频块中的有效成分，用Hilbert变换进一步求出有效时频块内的瞬时频率，再使用最小二乘法拟合出一条近似的时频函数，以该时频函数为广义解调的相位函数，多次迭代下，将非平稳信号逐步转化为近似平稳信号。对于平稳信号与近似平稳信号，每一个小波包分解层级上的信号都是窄带信号甚至是单分量信号，具有较明确的物理意义，可以方便地使用Hilbert变换求出其瞬时频率。仿真结果证明，该方法可以有效处理频率变化较快的信号，也适用于处理具有多分量尤其是存在密集模态的振动信号。

关键词 小波包变换;瞬时频率;时变系统;广义解调;参数识别

Abstract Based on wavelet packet transform， an adaptive method for extracting the instantaneous frequency of non-stationary vibration signals is proposed. Firstly， the effective components in the time-frequency block of wavelet packet are extracted， and the instantaneous frequency in the effective time-frequency block is further calculated by Hilbert transform. Then an approximate time-frequency function is fitted by the least square method and taking the time-frequency function as the phase function of generalized demodulation. Under multiple iterations， the non-stationary signal will be gradually transformed into approximately stationary signal. For stationary signals and nearly stationary signals， the signals at each wavelet packet decomposition level are narrow-band signals or even signal component signals， which has a clear physical significance. It is very convenient to calculate the instantaneous frequency by using Hilbert transform. The simulation results show that this method can effectively deal with the signal with fast changing frequency， and also can be used to deal with the vibration signal with multi-component， especially with dense mode.

Keywords Wavelet packet transform; Instantaneous frequency; Time-varying system; Generalized demodulation; Parameter identification.

引言

随着航空航天技术的发展，结构的轻量化、智能化、大型化对结构的时变特性的研究提出了越来越高的要求。时变结构的动力学参数随时间变化，因而其振动信号是非稳态的，这导致振动信号的频率随时间改变，经典的傅里叶变换由于不含有时间信息而失效，此时必须采用具有时频分析能力的工具[1-2]。

短时傅里叶变换通过引入时间窗的概念，使得自身具备一定的时频分析能力，但由于窗的大小固定，对不同频率信号的自适应性较差。小波变换通过改变母小波的尺度因子与平移因子，使得该方法在高频段具有较好的时间分辨率，在低频段具有较好的频率分辨率[3]。小波包变换则继承小波变换的优点，针对小波分解树只对低频信号作进一步分解的缺点，对高频信号也作进一步的分解，这样做一方面提高了信号高频的分辨率，另一方面使得整个小波树的分辨率保持一致[8-10]。目前小波分析方法已在时变结构的频率识别中获得了广泛的应用。同时该方法也具有一定的缺陷。对于频率变化缓慢的、各信号分量在频域相距较远的信号，小波分析方法可以将某一分量的信号完整地用某一层级的分割来覆盖，这样每一层级的分解结果都是一个窄带信号，具有一定的物理意义[4]。但对于频率变化较快的信号，单个分解层的子频带无法覆盖信号分量，如果能提取有意义的子时频块，或者能够将快变信号转化为慢变信号，将极大提高小波变换的分解效果。

本文基于小波包变换对振动信号作分解，依据分解结果的能量、瞬时频率与幅值，提取有意义的分量，通过最小二乘法预估信号分量的频率，再通过广义解调与广义逆解调，提取信号的频率，具有较好的频率识别效果，且具有一定的自适应性和抗噪声干扰能力。

1小波包变换

小波包变换是小波变换的一种改进，与小波变换相比，小波包变换对小波变换得到的高频信号作进一步分解，且没有下采样过程，这樣做不仅能提高高频分辨率，也可使得整个分解树的每一个层级与节点的时间分辨率保持一致。

3广义解调

广义解调可以看作是广义傅里叶变换的另一个解释。对给定信号，它的广义傅里叶变换定义为，，其中，是一个关于时间的函数。该式既可以理解为是对的广义变换，也可以理解成对的傅里叶变换。对作逆广义傅里叶变换，得到。即：

特殊地，当，那么有，这个式子有着明确的物理意义。假设原信号的瞬时频率为，由于总可以写成一个常量和一个变量之和的形式，即，特殊地，当不包含常数项，即所有的常数部分都包含在内。合适的广义傅里叶变换可以将其相位函数变成平行于时间轴，我们选取的相反数作为广义解调的相位函数，对原始信号作Hilbert变换变成解析信号，再对解析信号作广义解调，那么从理论上讲，我们得到的信号的频率为。此时，信号是一个平稳信号，对该信号作小波包分解，那么分解出的结果将具有非常理想的效果。

本文对振动信号采用小波包分解的方法，将原始的振动信号分解到小波树的时频块中，用Hilbert变换计算各个时频块中各个信号分量的信号能量与瞬时频率，通过预先给定的阈值、，提取满足条件的时频块，给定信号频率的阶次，用最小二乘法求得频率随时间的变化函数，以作为解调变量，对原始信号作广义解调，直到小波分解树在第J层的每一个时间段内都满足提取条件为止。

具体流程如图1所示。

4仿真算例

算例1：对于给定的包含密集模态的仿真信号：

仿真信号的频率是线性变化的，其中，，采样率250Hz。其原始信号如图2所示，

直接用小波包分解方法进行分解，不仅需要手动截断，并且具有较强的端点效应，如图3所示，

由于两个分量的频率在频域有部分重叠，因而使用小波包分解时，各个信号分量会互相干扰。同时，由于信号的时频分布本身不平行与时间轴，而在确定的一个小波时频块中的小波包的中心频率是一个确定的值，所以当信号段实际频率远离小波中心频率时，小波包变换不能理想地提取信号特征，这也是端点效应产生的一部分原因。

使用本文所述方法进行分解，取为信号最大幅值平方的10%，取，经过多次迭代得出相位函数为：，与真实的时频函数接近。频率提取结果如图4所示，

通过迭代进行小波包分解，可以保证大部分时候的每一次迭代的相位函数更加接近于真实的时频分布函数，也使得振动信号的频率更加平行于时间轴，其非平稳特性降低，而平行于时间轴的平稳信号容易被小波包分解到一个完整的分解层级上，每一层级的信号均为窄带信号，具有较好的物理意义。除此以外，小波包分解的端点效应也得到了遏制，原因在于对于非平稳信号，端点信号的瞬时频率距离小波函数的中心频率距离较远，小波分解时，端点位置往往不能较好地被投影到小波包空间中，且易受到噪声的影响;而本文方法是将非平稳信号逐步转化为平稳信号，不存在端点信号频率远离小波中心频率的问题，因而端点效应得到了遏制。

算例2： 对于一个三自由度弹簧阻尼系统，其物理模型如图5所示：

假设质量块上的刚度发生线性变化，刚度随时间的变化为，，。初始时刻在质量块3上施加的脉冲激励，使用算法，计算在150s内的质量块2上的加速度响应信号，加速度响应信号如图6所示：

质量块2加速度信号理论上的三阶频率如图7所示，

容易看出，加速度信号的二、三阶模态为密集模态，在这种情况下，常见的短时傅里叶变换、连续小波变换和EMD方法均无法将二、三阶频率分离。

直接对该加速度信号做小波包分解，提取其频率结果如图8所示，

可以看出，第一阶频率由于远离第二、三阶频率，因而有着比较好的分解效果。但由于第二、三阶的密集模态特性，对其直接做小波包分析的结果并不理想，混叠严重。使用本文提出的方法，取为信号最大幅值平方的10%，取，经过多轮迭代，其相位函数分别约为，，，与实际的信号分量的时间-频率函数基本相符。其频率提取结果如图9所示，

由图9可以看出，尽管第二、三阶模态混叠严重且几乎无法分辨其频率，但由于其有着大致的上升趋势，因而从统计学的角度看，仍然可以拟合出一个斜率为正的直线时频分布函数。也可以看出，小波包分解方法依然有着一定的端点效应现象，即在信号两端误差较大。但由于端点在整个时间轴上点数较少，因而占比较小，因而对相位函数的更新时的影响较小，当信号分量的频率从不平行于时间轴解调成平行于时间轴时，小波包分解的能力大大加强，端点效应明显减弱[11-13]。

为了定量说明识别结果的精度，我们定义平均绝对百分误差MAPE（Mean Absolute Percentage Error）：

为了测试噪声对频率识别的影响与该方法的抗噪声干扰能力，分别在质量块2的加速度响应上加入信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）为100dB，50dB，10dB的高斯白噪声，其识别结果如表2所示：

在不同信噪比的高斯噪声干扰下，该方法的识别精度都很高，误差也没有随着信噪比的增大而由明显的增加，因而可以认为该方法具有良好的抗噪能力。

5结束语

对仿真信号与质量块系统的振动响应信号的分析结果表明，使用本文所述方法可以有效地提取出小波包分解中的有效时频块，通过对有效时频块的分析，提取出有意义的频率，再通过最小二乘法拟合出一个时频分布函数作为广义解调的相位函数，对原始信号的解析信号作广义解调，对解调结果重复上述流程，以达到自适应提取频率的目的。一般而言，第一次拟合得到的相位函数并不是真实的时频函数，但的大致方向不会有很大的差距，此时，尽管解调的结果不完全平行于时间轴，但相对初始信号，其频率的斜率将更小，即非平稳性减弱。经过多次迭代分解，最终使得振动信号的分量信号几乎完全平行于时间轴，此时信号再做小波包分解，那么該分量将完全被某一个层级的小波包覆盖，则该层级的小波包内的信号为窄带信号，可以很好地提取出其频率特性。

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作者简介

周航（1992-），男，江苏沭阳人;毕业院校：南京航空航天大学，专业：工程力学，学历：硕士，现就职单位：中国直升机设计研究所，研究方向：起落架设计、计算与动力学。