数学物理方法教学探索

付尧春 迭东

摘 要

本文通过施图姆-刘维尔本征值问题理论为切入点，将数学物理方法中的傅里叶级数和傅里叶积分以及特殊函数仅仅作为其理论应用的特殊实例展开教学，为探索数学物理方法的教学改革提供一种参考模式。

关键词

S-L方程;完备函数系;级数展开;教法

中图分类号：  G642;O411.1-4                文献标识码： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2020.07.029

0 引言

数学物理方法是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨各种物理现象和规律的数学模型，利用已知的物理定律和物理原理对未知物理现象和规律在可以容许的界限内作出精确的数学描述，并对模型已确立的数学问题给出或者研究出数学解法，最后，再依据其给出的数学解答来诠释和预见物理现象或规律。在实际应用中，有可能实际情况与理论有一定出入，这就需要进一步根据物理事实来修正初始模型。二阶偏微分方程是数学物理方法的重要组成部分，是核心，内容涉及数学和物理学的交叉领域，有许多数学物理方法方面的教材常常将经典力学、电磁场理论、热力学和统计物理、量子力学学习过程中可能遇到的几个常见物理方程归集到一起加以系统的研究，如苏联物理数学家阿诺尔德著作《经典力学中的数学方法》（1974），这也是教学的重点和难点。数学物理方法作为一门物理学专业的必修课其地位十分重要，是学生能否顺利进入下一阶段学习其他后续课程的关键，但是，由于授课时数、学生生源质量的参差不齐的限制，加之这门课程本身的学习需要具有一定的数学背景知识，所以，在实际教学过程中有不少学生对这门课程有着畏惧情绪，在课堂中，时常会出现由于缺乏扎实的基础数学知识而表现出不知所措的现象。在目前物理方程的教学中，几乎所有的教材都将不同边界、初始条件的方程放在不同章节分别加以讲授，但是这就大大地增加了学生学习的压力，分散了学生的关注焦点，极大地影响了对问题透过全局的理解和把握。本文结合自己多年从事数学物理方程的教学经验，谈谈笔者在这门课程教学中处理以上情况的心得和方法。

1 施图姆-刘维尔方程本征值问题-理解其他章节内容关键

教学理论告诉我们，学生的学习习惯和学习经历决定了他们一般都不太适应抽象的理论而更加喜欢具体的实例，但这不仅要耗费大量的授课时间，还需要学生具备大量的数学背景知识——而这正是大多数学生在学习过程中遇到的问题，由于受限于授课时数太少（远远低于正常要求授课时数的）无法在短时间里给学生们补短，笔者结合多年的教学经验，在教学活动中，积极探索启用灵活的反向教学原则：理论——实践;抽象——具体。在后续的学习中，随着施图姆-刘维尔本征值理论不断地在大量的带边界条件的物理方程问题中的应用实例的增多，学生对S-L理论有了进一步理解，可以应用S-L理论解決一些常见的方程求解问题。

2 S-L本征值问题理论应用

数学物理方法中，傅里叶级数和傅里叶积分以及后面的特殊函数都是解决数学物理方程的十分有力的工具，这些内容也是教材《数学物理方法》里的几个大章节，但由于某些特殊原因讲授课时数被大幅缩减，为了使学生很好地掌握傅里叶级数展开理论及特殊函数知识，在具体的实例中理解消化抽象生涩S-L理论，笔者仅仅将这些章节内容作为运用S-L理论解决问题的一个练习题而已，由这些具体实例进一步说明：傅里叶级数基础函数系、傅里叶积分基础函数系、特殊函数等都可以用S-L本征值问题的解函数——具有完备正交性质本征函数定义。

2.1 生成-复数傅里叶级数的完备正交系

由于篇幅限制就不一一罗列了，许多常见的重要的特殊函数都可以用S-L本征值问题加以定义，都可以表述为这种具有解析系数的线性微分方程解。

3 结束语

在数学物理方法的教学中，作者结合多年的教学实践，试图探索一条行之有效的教法，既能保证在较短时间里完成教学任务，又要尽量避开学习过程中需要的大量数学背景知识，同时还要保证学生对新知识的掌握，以施图姆-刘维尔本征值问题为基本线索将《数学物理方法》的几个部分穿起来讲授就是一次尝试，当然，一门高难度课程的学习仅仅靠教法的改进是不行的，学习效果受多种因素的影响，比如课堂、课后练习就是影响效果的决定因素。如何将课堂、课后作业练习与课堂教学有机结合，从而达到事半功倍的效果是笔者今后教学改革的重点方向。

参考文献

[1]柯朗，希尔伯特.数学物理方法[M].科学出版社，2012.

[2]邵恵民.数学物理方法[M].科学出版社，2004.