通过理想气体模型认识温度是分子平均动能的标志*
2020-05-18何春生
何春生
(北京市第八十中学 北京 100102)
1 问题的提出
温度是分子平均动能的标志(人教版用词)或量度(教科版用词).对同种物质，温度越高，分子运动越剧烈，分子的平均动能越大.但对不同种物质，如何比较分子的平均动能呢？既然说温度是分子平均动能的标志，那就是说温度相同时不同种类的分子平均动能也相等.这个结论是如何得到的呢？高中学生受认知水平的限制，很难在这个学段把这个问题研究清楚.
笔者在教学过程中，通过建构理想气体模型，结合高中学生已经掌握的弹性碰撞模型，使用动量和能量的相关知识，让学生认识到，分子质量不同的理想气体温度相同时分子的平均动能也相等.
2 建构理想气体模型
从学生对实际气体的微观认识入手，抓住主要因素，忽略次要因素，建构理想气体模型.
(1)理想气体微观结构
气体很容易被压缩，实验表明，气体的体积约为同种分子组成的相同质量的液体体积的1 000倍.可见气体分子间距离比分子本身的线度大得多.据此可将常温常压下的气体分子理想化，忽略分子的形状和大小，将气体分子视为质点.
(2)理想气体分子之间的相互作用
近几年河南省高校一直引进健美操专业的高学历人才，使河南省高校健美操教师男女比例差异大且年龄趋于年轻化；据国家教委对高校师资应具有研究生及以上学历要求，与当前河南省健美操教师的实际情况相结合，发现河南高校健美操教师学历层次方面存在差距，这对其健美操的相关科研发展有一定的影响。最后，体院培养健美操专项方向的教师时间短，从事健美操方向的专业教师也就少，在允许自由选课前提下，学生选学健美操人数却很多，从而出现健美操教师缺编的问题，学校对健美操教师的培养不能够满足学生们的选课需要，因此，需要对高校健美操教师专业结构进行调整和改进。
分子间存在相互作用的引力和斥力.引力和斥力都随分子间距离的增加而减小，但斥力减小得更快.当r
图1 分子之间相互作用力随距离的变化
(3)理想气体分子与分子之间的碰撞过程
气体分子碰撞前后，分子间距离都比较远.从分子势能随距离变化的图像上(图2)，我们不难看出，气体分子碰撞前后，分子势能都可以视为零.因此碰撞前后，发生碰撞的分子的总动能不变.这和发生弹性碰撞的情况相同.因此我们可以将气体分子间碰撞视为弹性碰撞.
这样就将常温常压下的气体做了理想化处理，建立了理想化模型.这就是理想气体模型.
图2 分子势能随距离的变化
3 温度是理想气体分子平均动能的标志
理想气体分子之间的能量转移是通过分子间频繁的碰撞来实现的.直接研究三维碰撞对高中学生来说，难度较大.先简化模型，假设分子只能在一条直线上运动.探究分子在一维直线发生正碰时，能量转移和哪些因素有关.
3.1 两分子追碰
如图3所示，设A和B两类理想气体分子的分子质量分别为mA和mB，A类分子中A1和B类分子中的B1在一条直线上运动，它们的速度分别为vA11和vB11，A1追上B1发生正碰，碰撞后它们的速度分别为vA12和vB12.因A1和B1间发生的碰撞是弹性碰撞，所以有
图3 两分子追碰
mAvA11+mBvB11=mAvA12+mBvB12
(1)
(2)
碰撞过程中A1分子损失的动能ΔEA1等于A1碰撞前动能减去A1碰撞后动能，即
(3)
联立式(1)～(3)解得
(4)
3.2 两分子对碰
如图4所示，设另一速度大小、方向均与A1相同的分子A2，与另一速度大小与B1相同但速度方向与B1相反的分子B2发生正碰(对碰)，将A2分子的速度记为vA21，B2分子的速度记为vB21.
图4 两分子对碰
类比A1和B1的碰撞，易解得A2与B2分子碰撞前后，A2损失的动能为
(5)
3.3 上述两对追碰和对碰的两个A类分子损失的动能之和
3.1追碰和3.2对碰过程中，两个A类分子损失的动能之和应为ΔEA1+ΔEA2.又因为vA11与vA21大小和方向都相同，vB11与vB21大小相等，方向相反，所以ΔEA1中的中括号里的第三项和ΔEA2中的中括号里的第三项满足
所以
(6)
ΔEA1+ΔEA2=
(7)
可见在这样速率分别相等的一对追碰和对碰中，A类两分子损失的动能之和，等于k倍的A分子碰撞前的总动能减去B分子碰撞之前的总动能.
3.4 大量的A类分子和B类分子发生碰撞
(1)对大量分子而言，速度大小为vA11的A类分子和速度大小为vB11分子发生追碰和对碰的几率相等.所以具有这两个速率的分子发生碰撞，A类分子损失的动能等于k倍的发生碰撞的A分子的总初动能减去B类分子的总初动能.
(2)因为vB11可以为任意值，所以速度大小为vA11的A类分子与任意速率的B类分子发生碰撞，A类分子损失的动能之和等于k倍的所有参与碰撞的A分子动能之和减去参与碰撞的B类分子动能之和.
(3)再因为vA11也是任意的，所以任意速率的A分子与B分子发生碰撞，A类分子损失的动能之和等于所有参与碰撞的A类分子的动能总和减去B类分子的动能总和.所以只要参与碰撞的分子数量足够多，就可以认为在所有A类分子和B类分子的碰撞中，A类分子损失的动能等于k倍的参与碰撞的所有A类分子总动能减去参与碰撞的B类分子的动能之和.
3.5 若只考虑一维运动 对理想气体温度是分子平均动能的标志
由上面的分析不难看出，如果只考虑一维碰撞，若vA1和vB1分别表示A和B分子碰撞前的速率，则A和B两类气体分子碰撞中A分子损失的动能可以表示为
(8)
等式两边同时除以碰撞的次数，则有
(9)
可见，如果A分子的平均动能和B分子的平均动能相等，则在A和B分子发生碰撞时，A类分子损失动能的平均值为零.即A和B两类理想分子热交换的总量是零.而在宏观现象中，只有两个物体温度相等，它们之间的热交换才满足这个规律.所以宏观表现为温度相同的两类理想气体，它们分子的平均动能相等.所以温度可以看做分子平均动能的标志.
3.6 三维运动下的理想气体温度也是分子平均动能的标志
上述结论是只考虑理想气体分子只参与一维运动和碰撞得出的.实际上理想气体分子参与的是三维的运动和碰撞.一维碰撞中的速度可以看做理想气体的速度在这个维度上的速度分量.利用速度的合成与分解，通过更复杂的统计运算，也可以得到
(10)
4 总结与反思
(1)学生对问题的认识是不断发展的，随着学生认知水平逐步提升，学生对问题的认识也会逐渐深入，这也就是学习的进阶.在阶段性的教学中，教学也应该是开放式的，即既要提供适合学生认知的教学手段和教学层级，也要提供开放式的接口，告诉学生有些内容和环节，目前我们还不能进行深入研究，等条件成熟了，我们再逐步学习和探究.
(2)通过物理模型研究物理问题是物理学的重要方法和手段.模型建构是科学思维的重要组成部分.培养学生建构和应用模型的能力，也是学生学习物理课程的重要目标之一.教学中应该让学生多一些体验和感受.
(3)运动和相互作用观、能量观是重要的物理观念.教学中应该注意促进学生物理观念的形成.虽然在热学的研究和教学中，研究大量分子行为使用的是统计规律，但研究单个分子的运动时，仍然使用力和运动与能量等经典物理知识.使用碰撞探讨温度和分子平均动能的关系，既在宏观和微观物理量之间示范性搭建了一座桥，也有利于学生相关物理观念的形成.
