存在差异化产品竞争和采购价格时变的EOQ模型

武 涛，郭雄飞 （安徽师范大学 经济管理学院，安徽 芜湖241002）

WU Tao, GUO Xiongfei (School of Economy and Management, Anhui Normal University, Wuhu 241002, China)

0 引 言

随着消费者需求的多样化，大量的品牌制造商正逐步采取产品差异化的策略来满足消费者的个性化需求，而在产品差异化策略背景下，制造商的库存和订货策略则发生了相应变化，故基于需求固定，产品单一和采购价格固定等假设条件的EOQ 模型，已无法准确地刻画目前的供应链商业实践。

因此，近年来国内外许多学者开始将传统的EOQ模型进行扩展，例如将其中的某个参量由固定常数扩展为时变参量，或者将传统的单库存系统演进为双库存系统等。Hadley 和Matsuyama 等[1-3]研究了采购成本为变量的EOQ模型，将传统研究中采购成本固定的条件做了进一步延伸。郑惠莉等[4]考虑了需求和采购价格时变的问题，给出库存的最优采购策略。张旭梅等[5]认为开始补货后缺货补足需要的等待时间与短缺量拖后率有关，建立了补货能力影响短缺量拖后率的边补货边需求EOQ 模型。Birbil 等[6]考虑了积压短缺的情形下额需求、采购价格和运输成本不变的EOQ 模型。罗兵等[7]进一步考虑特价商品在缺货期间顾客的等待意愿与价格和等待时间有关，构建了一个需求相关下顾客等待意愿不相同的特价商品经济订货批量模型。

而上述学者以及国内外的大量对于EOQ 模型的研究，都是基于产品种类单一且不考虑市场竞争的背景，在目前的商业实践中，因消费者需求的个性化和多样化，制造商往往采取横向或纵向差异化的产品策略，而本文则分析了市场中存在高端和低端两种差异化产品相互竞争的情形，并结合采购价格时变、存货影响销售等传统研究假设，研究了产品差异化竞争等情形对EOQ 库存模型的影响。

1 研究假设及符号定义

参照文献[4]中基本的EOQ 模型，并基于市场中差异化产品互相竞争和价格时变的背景，本文的模型假设如下：（1） 系统的计划销售期是确定的。（2） 高端和低端产品的需求确定，且在市场中存在一定程度上的价格竞争。（3） 差异化产品的采购价格皆随时间递减，但高端和低端产品采购价格的递减速率不同。（4） 参考文献[4]，本文假设低端产品存在存货影响销售的情况，影响程度为任意时刻库存水平的函数。而高端产品因其具有稀缺性、高价值性和低替代性等特点，故消费者在购买高端产品时受存货影响的程度较低，本文研究则忽略其影响。而通过调查研究发现，细致的销售服务会让消费者愿意付出更多的等待时间，故本文考虑高端产品存在服务影响销售的情况。（5） 允许缺货，短缺量滞后供给率与短缺量获得满足的等待时间呈负指数关系；并假设补货能及时满足。

本文使用的数学符号如下：

t0：产品开始缺货的时刻点；t1：下一周期开始补货的时刻点；T：补货周期的长度；S：库存系统期初的库存量；β：库存影响销售系数；RH,RL：高端和低端产品的销售收入；CHH,CHL：高端和低端产品的保管成本；CBH,CBL：高端和低端产品的采购成本；CDH,CDL：高端和低端产品的丢单成本；CSH,CSL：高端和低端产品的滞后供给成本；DH,DL：高端和低端产品的市场需求，且高端和低端产品在市场中存在竞争，参考文献[8]中的需求函数。

pBH,pBL：高端和低端产品的采购价格，且采购价格时变，随着时间推移，高端和低端产品的采购价格皆存在一定程度的下降。因诸如高端电子产品和电器元件，受技术更新等因素的影响程度更高，参考文献[9]，假设采购价格随时间呈指数递减，即而低端产品本身具有低价优势且市场替代性较低，本文参考文献[9]，假设其采购价格随时间线性递减，即=p0-ηt。

对Chung 等[10]的短缺量滞后供给分数进行改进，具体表示为：

其中，k1,k2分别表示价格和服务的短缺量拖后率影响因子，τ 为短缺量获得满足的等待时间。

2 数学模型

图1 各周期内库存水平的变化情况

在企业差异化产品策略影响下，同时考虑到高端和低端产品采购价格随时间推移呈现不同程度的递减趋势。本文建立的差异化产品EOQ 模型中，在补货周期i内，高端和低端产品的库存水平（分别以表示） 随时间变化的曲线由两个阶段构成。如图1 所示：第一阶段，库存系统中不发生缺货，存货被市场需求消耗至t0时刻，库存水平降为0；第二阶段，库存系统中发生缺货，且短缺量部分滞后供给，直到时间到达补货的开始时刻t1。

在计划时域内，库存水平的变化如图1 所示，采购周期中时间区间为［0,t1］内，高端和低端产品的库存水平分别满足以下方程：

由此可以分别计算出单个周期内，高端和低端产品的销售收入和各项成本：

销售收入：

采购成本：

保管成本：

丢单成本：

因此高端和低端产品库存系统中，单个销售周期内的平均利润（以πH,πL表示） 为：

根据逆向归纳法和子博弈纳什均衡原理，分析高端和低端产品库存系统的平均利润函数，可得制造商的最优决策变量为：

3 模型分析及管理意义

证明：通过将低端产品的利润函数πL对缺货时间t2做一阶和二阶偏导可得：依据上文假设及分析，低端产品的市场需求始终存在且参数k0,k3和指数始终大于0。故当低端产品的市场销售价格满足条件则始终存在

由定理1 可知，当低端产品的销售价格低于某一阈值时，随着缺货时间t2的增加，低端产品的利润降低，因为当产品价格过低时，消费者放弃购买的机会成本较低，此时若缺货时间增加，消费者则会放弃或选择市场中的其他零售商，从而造成利润降低，且随着缺货时间推移，消费者的购买欲望降低和等待成本增加，进一步造成利润损失加大。

定理2 高端和低端产品的利润始终是关于期初库存量S的凹函数，令若S＜SL，则∂πL/∂S＞0；若S＞SL，则∂πL/∂S＜0。令若S＜SH，则∂πH/∂S＞0；若S＞SH，则∂πH/∂S＜0。

由定理2 分析可知，当差异化产品的期初库存量较小且小于某一阈值时，随着高端和低端产品库存系统的期初库存量增大，高端和低端产品的利润会逐渐增加；当差异化产品的期初库存量较大且大于某一阈值时，随着高端和低端产品库存系统的期初库存量增大，高端和低端产品的利润会逐渐减少。但始终存在两者利润的增加速率随期初库存量的增大而递减。

定理3 如图2 所示，当低端产品售价pL和丢单成本cDL位于区域T2,T3时，∂πL/∂b＜0；当pL和cDL位于区域T1,T4时，∂πL/∂b＞0。如图3 所示，当高端产品销售服务SH和丢单成本cDH位于区域Tb,Tc时，∂πH/∂B＜0；当SH和cDH位于区域Ta,Td时，∂πH/∂b＞0。

图2 低端产品售价pL 和丢单成本cDL 的变动范围

图3 高端产品销售服务SH 和丢单成本cDH 的变动范围

由定理3 分析说明，高端和低端产品的竞争程度越大，给高端和低端产品利润带来的影响是不明确的，就低端产品而言，当产品的售价和丢单成本较低，且低于某一阈值时，差异化产品之间竞争越激烈，给低端产品带来的利润损失越大。就高端产品而言，当产品销售服务程度和丢单成本较低，且低于某一阈值时，差异化产品间竞争越激烈，则会造成高端产品利润的减少。

定理6 当时，高端产品的期初库存量SH随高端产品售价pH的提升而增加；当/2 时，高端产品的期初库存量SH随高端产品售价pH的提升而减少。

证明：

4 数值仿真及灵敏度分析

为了求解本文提出模型的最优策略，以及进行主要参数的灵敏度分析，参考文献[4]的数据，假定库存系统的基本参数为：a=10，b=0.3，β=0.25，η=-0.005，k0=5，k1=0.1，k2=0.1，k3=0.2，ρ=1.3，p0=2，hL=1.5，hH=2.5，cDL=1，cDH=3，pH=9，pL=3，sH=4，本节对高低端产品替代程度、存货影响销售因子、等待时间敏感因子和消费者对低端产品价格、高端产品服务敏感因子做了灵敏度分析。表1 至表5 反映了各参数分别对低端和高端产品的缺货时间、期初库存量和平均利润的影响。

表1 存货影响销售因子β 的灵敏度分析

表2 高低端产品替代程度b 的灵敏度分析

由表1 可知，随着存货影响销售因子的增大，低端产品的期初库存量和平均利润略微增加，缺货时间不变，而高端产品的缺货时间、期初库存量和平均利润不受影响。这是因为随着存货影响销售因子增大，制造商则会通过进一步增加低端产品的期初库存量，以此增加低端产品在现货期间的存货量，刺激顾客消费，从而增加销售低端产品的平均利润。而高端产品销售时，顾客更多地是关注销售服务和产品本身，受产品存货数量的影响较小，故决策变量和平均利润不受影响。

由表2 可知，随着高低端产品的替代程度增加，高端和低端产品的期初库存量和平均利润均增大，而产品的缺货时间均不受影响。这是因为随着高低端产品的替代程度增加，差异化产品间的市场竞争愈加激烈，低端产品销售商通过增加产品库存，来增加产品销售。高端产品销售商通过增加产品库存，一定程度上降低了缺货带来的丢单损失，以增加利润。

表3 低端产品价格敏感因子k1 的灵敏度分析

表4 高端产品服务敏感因子k2 的灵敏度分析

由表3 和表4 可知，随着低端产品价格敏感因子的增大，低端产品的缺货时间减少，平均利润先减少后增加，期初库存量不变。高端产品的缺货时间、期初库存量和平均利润均不受影响；随着高端产品服务敏感因子增加，高端产品的缺货时间和平均利润均减少，期初库存量不变。低端产品的缺货时间、期初库存量和平均利润均不受影响。这是因为无论是随着k1或k2增大，会造成低端或高端产品的短缺量供给分数减小，使得产品的订货量减少，此时低端或高端产品销售商应缩短缺货时间，及时满足消费者需求，从而弥补丢单带来的利润损失。

由表5 可知，随着等待时间敏感因子的增大，低端产品的缺货时间减少，期初库存量不变，平均利润减少；高端产品的缺货时间减少，期初库存量略微增加，平均利润减少。同表3 和表4分析过程，这是因为随着k3增加，会造成低端和高端产品的短缺量供给分数减小，差异化产品的订货量均减少。此时，差异化产品销售商应缩短缺货时间，以增加利润。

表5 等待时间敏感因子k3 的灵敏度分析

5 结束语

本文在传统对于单一产品EOQ 模型研究的基础上，基于市场中存在差异化产品竞争的背景，提出高端和低端产品短缺量滞后供给率是关于顾客等待时间、低端产品售价和高端产品服务水平的函数，并综合考虑了差异化产品采购价格时变，低端产品存货影响销售等因素，建立了相应的异质品EOQ 模型，拓展了传统EOQ 模型的实用性。通过建模计算和理论分析，可以发现对于高端和低端产品供应链系统，存在最优缺货时间和产品期初库存量使得差异化产品销售商获得最大平均利润，并且差异化产品的销售价格和竞争程度在不同的阈值范围内，决策变量对利润的影响不同。并通过算例的数值仿真验证了模型求解的结论，发现低端产品的价格敏感因子、高端产品的服务敏感因子和顾客等待时间敏感因子的增加，会分别造成差异化产品的短缺量拖后率降低，从而销售商需通过减少缺货时间或增加产品期初库存量来获得最大平均利润。本文提出的模型为商业实践中采取产品差异化策略的制造商在产品定价、期初库存量设置等方面的决策提供了参考。